【精编】利用Matlab实现Romberg数值积分算法----系统建模与仿真结课作业

1 利用 Matlab 实现 Romberg数值积分算法一、内容摘要针对于某些多项式积分，利用 NewtonLeibniz积分公式求解时有困难，可以采用数值积分的方法，求解指定精度的近似解，本文利用Matlab 中的.m 文件编写了复化梯形公式与Romberg的数值积分算法的程序，求解多项式的数值积分，比较两者的收敛速度。二、数值积分公式1.复化梯形公式求解数值积分的基础是将区间一等分时的NewtonCotes求积公式:I=(x)f(a)f(b)2babafdx其几何意义是，利用区间端点的函数值、与端点构成的梯形面积来近似(x)f在区间 a,b 上的积分值，截断误差为：3(ba)()12f(a,b)具有一次的代数精度，很明显，这样的近似求解精度很难满足计算的要求，因而，可以采用将积分区间不停地对分，当区间足够小的时候，利用梯形公式求解每一个小区间的积分近似值，然后将所有的区间加起来，作为被求函数的积分，可以根据计算精度的要求，划分对分的区间个数，得到复化梯形公式：I=11(ba)(ba)(x)dxf(a)f(b)2(a)2nbakkffnn其截断误差为：2 2(ba)h()12Rf(a,b)数值积分算法使用复化的梯形公式计算的数值积分，其收敛速度比减慢，为此，采用Romberg数值积分。其思想主要是，根据I 的近似值2nT加上 I 与2nT的近似误差，作为新的I的近视，反复迭代，求出满足计算精度的近似解。用2nT近似 I 所产生的误差可用下式进行估算：12221()3nnnITTT新的I的近似值：122nnjTTj=（0 1 2.）Romberg数值积分算法计算顺序i=0(1)002Ti=1(2)102T(3)012Ti=2(4)202T(5)112T(6)022Ti=3(7)302T(8)212T(9)122T(10)032T3 i=4(11)402T(12)312T(13)222T(14)132T其中，第一列是二阶收敛的，第二列是四阶收敛的，第三列是六阶收敛的，第四列是八阶收敛的，即Romberg序列。三、复化梯形法以及Romberg算法程序流程图输入被积函数、积分区间、收敛条件计算 Ti0计算 Ti+10差值是否满足收敛条件输出结果是否图 1 复化梯形法程序流程图4 输入被积函数、积分区间、收敛条件计算并存储Ti0计算并存储Ti+10差值是否满足收敛条件输出结果是构建并存储T1i+1i是否大于等于2否是差值是否满足收敛条件是否否构建并存储T2ii是否大于等于3否是差值是否满足收敛条件是否构建并存储T3ii是否大于等于4否是差值是否满足收敛条件否是图 2 Romberg算法程序流程图5 四、计算实例依据上文所述的流程图，编写复化梯形程序以及Romberg算法程序，并且利用实例验证程序的正确性，示例如下(计算精度)：12041dxx表 2 计算结果计算精度10-510-710-9复化梯形算法时间近似值3.3.3.Romberg算法时间近似值3.3.3.从上表中可以看出，当要求的计算精度不高时，复化梯形算法与Romberg算法计算时间相差不太大，但是 Romberg算法是要快于复化梯形算法的；当要求的计算精度更高的时候，Romberg算法是明显快于复化梯形算法。本文所编写的程序适用于多项式的数值积分，且对于积分区间内，被积函数在每一点必须有定义，在以后的学习中进一步改进。6 附录：1.复化梯形算法程序function=sf(a,b,m,M,d)ticdisp(请输入分子多项式a，分母多项式b，积分下限m,积分上限M,以及计算精度d)f=poly2sym(a)/poly2sym(b)%用于给用户显示被积函数的形式%利用梯形公式计算此数值积分disp(利用梯形公式计算数值积分的结果)kk=zeros();%用于存放结果kk(1,1)=1/2*(M-m)/1*(subs(f,x,m)+subs(f,x,M)%先存储首项for i=1:1:230 t=0;for j=0:1:2(i-1)-1 v=m+(2*j+1)*(M-m)/(2i)vv=polyval(a,v)/polyval(b,v);t=t+(M-m)/(2i)*vv end y=1/2*kk(i,1)+t%通项公式计算各项值 kk(i+1,1)=y%存储其他项 f=i+1;%记录符合条件的值的下标 if(1/3*(kk(i+1,1)-kk(i,1)=d)break;endendtime=tocfprintf(The result is%fn,kk(f,1)算法程序function=romberg(a,b,m,M,d)ticdisp(请输入分子多项式a，分母多项式b，积分下限m,积分上限M,以及计算精度d)f=poly2sym(a)/poly2sym(b)%用于给用户显示被积函数的形式disp(利用梯形公式计算数值积分的结果)7 kk=zeros();%用于存放结果kk(1,1)=1/2*(M-m)/1*(subs(f,x,m)+subs(f,x,M);%先存储首项for i=1:1:240 t=0;for j=0:1:2(i-1)-1 v=m+(2*j+1)*(M-m)/(2i);vv=polyval(a,v)/polyval(b,v);t=t+(M-m)/(2i)*vv;end y=1/2*kk(i,1)+t;%通项公式计算各项值 kk(i+1,1)=y;%存储其他项 if(abs(1/3*(kk(i+1,1)-kk(i,1)=3)if(i+1=3&abs(1/15*(kk(i+1,2)-kk(i,2)=4)if(i+1=4&abs(1/63*(kk(i+1,3)-kk(i,3)=5)if(i+1=5&abs(1/127*(kk(i+1,4)-kk(i,4)=d)disp(The result is:)kk(i+1,4)break;end8 end end end end end endendtime=toc