九年级数学上册专题突破《二次函数和反比例函数》二次函数与一元二次方程的关系(新)北京课改

二次函数与一元二次方程的关系二次函数与一元二次方程的关系与x轴有两个交点与x轴有一个交点与x轴无交点a0a0 xyOxOx1x2yx1x2xOyx1x2xOyx1x2xOyxOya0a0a0a0b24ac0b24ac0b24ac0两个不相等的实数根两个相等的实数根没有实数根x1，2bb24ac2ax1x2b2a二次函数 yax2+bx+c的图象一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根的情况方法归纳：（1）由抛物线的对称性易求对称轴为直线xx1x22，且对称轴与x轴交点恰为两交点间线段的中点。（2）可用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。（3）求两个函数的交点坐标，就是求出两个函数解析式组成的方程组的解。总结：1.能根据一元二次方程根的情况判断抛物线与x轴交点的个数及由交点个数判断根的情况。2.深入理解抛物线与坐标轴的交点、一元二次方程的解、一元二次不等式的解集之间的关系。例题 1已知：二次函数yx22ax2b1 和yx2（a3）xb21 的图象都经过x轴上两个不同的点M，N，则a与b的值分别是（）A.a1b0或a1b2B.a1b0C.a1b2D.无法确定解析：两个二次函数图象都经过x轴上两个不同的点M，N，将两个解析式转化为一元二次方程，比较两个方程的根与系数的关系，得出方程组，解方程组求a、b的值，再结合方程有两个不等根进行讨论。答案：依题意，设这两个不同点的坐标为M（x1，0），N（x2，0），且x1x2，则x1，x2为方程x22ax 2b10 的两个实数根。x1x2 2a，x1?x2 2b1。x1，x2又是方程x2（a3）xb210 的两个实数根，x1x2a3，x1?x2 1b2，2aa32b11b2，解得a 1b 0或a1b2。当a1，b0 时，二次函数的图象与x轴只有一个交点，a1，b0 舍去；当a1，b2 时，二次函数为yx22x3 和yx22x3 符合题意，a1，b2。选 C 点拨：本题考查了二次函数解析式与一元二次方程的根与系数关系的联系，较难理解。解答这类问题时应注意两点：一是二次函数与一元二次方程的问题必然涉及抛物线与x轴的交点；二是注意检验所得结果是否符合题意。例题 2已知抛物线M的解析式为yax2bxc，且抛物线M经过（5，0），（0，52），（1，6）三点，直线l的解析式为y2x3。（1）求抛物线M的解析式；（2）求证：抛物线M与直线l无公共点；（3）若与直线l平行的直线y2xm与抛物线M只有一个公共点P，求点 P的坐标。解析：第（1）题可根据三点式确定抛物线的解析式；第（2）和（3）题应将函数问题转化成方程问题，由方程可求交点或证明有无交点。答案：（1）抛物线M经过（5，0），（0，52），（1，6）三点，25a5bc0c52abc6，解得a12b 3c52，抛物线M的解析式为y12x23x52。（2）由y2x3y12x2 3x52消去y，得12x2x1120，1412112 100，方程无实根，即抛物线M与直线l无公共点。（3）由y2xmy12x2 3x52消去y，得12x2x52m 0。抛物线M与直线y2xm只有一个公共点 P，1412（52m）0，解得m2。把m2 代入12x2x52m0 得x1x2 1，当x 1 时y12x23x520，点 P的坐标为（1，0）。点拨：两个函数图象的交点是由这两个函数解析式所组成的方程组的解来确定的，当两个函数解析式组成的方程组中有二次函数或通过变形能转化成一元二次方程时，它们的交点个数可由判别式的取值判断。设二次函数yax2bxc（a0）的图象与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，且x1x2，若抛物线开口向上，则ax2bxc0 的解集为xx1或xx2，ax2bxc0 的解集为x1xx2；若抛物线开口向下，则ax2bxc0 的解集为x1xx2，ax2bxc 0 的解集为xx1或xx2。xyOxOx1x2yx1x2例如图，直线yxm和抛物线yx2bxc都经过点A（1，0），抛物线与y轴交点的纵坐标是 2，则不等式x2bxcxm的解集为（）A.x1 B.x3 C.x1 或x3 D.1 x3 解：直线yxm经过点 A（1，0），所以01m，m 1，所以yx1。因为抛物线yx2bxc经过点 A（1，0）且与y轴交点的纵坐标是2，所以1bc0c2，解得b 3，所以yx23x2。解方程组yx23x2yx1，得x1 1y1 0，x23y22。所以直线与抛物线的交点坐标是（1，0）、（3，2），根据图象可知，当x1 或x 3 时二次函数值大于一次函数值，所以不等式x2bxcxm的解集为x 1或x 3。故选 C。解析：本题主要考查了二次函数与不等式的关系，解题的关键是根据图象找出直线yxm和抛物线yx2bxc的交点，要具备一定的读图能力，能够从图象中找出符合题意的区域。一、选择题1.若抛物线yx22xc与y轴的交点为（0，3），则下列说法不正确的是（）A.抛物线的开口向上B.抛物线的对称轴是x1 C.当x1 时，y的最大值为4 D.抛物线与x轴的交点为（1，0），（3，0）2.如图，一小孩将一只皮球从A处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A距地面的距离OA为 1m，球所经过路线的最高点B（8，9），则小孩将球抛出了约（）xyOABA.16米B.16.5 米C.17 米D.17.5米*3.函数ykx2 7x7 的图像和x轴有交点，则k（）A.k74B.k74C.k74且k0 D.k74且k0*4.如图，抛物线yax2bxc与x轴交于点 A、B，与y轴交于 C。如果 OB OC 12OA，那么b的值为（）xyOABCA.2 B.1 C.12D.12*5.已知：二次函数yx24xa，下列说法错误的是（）A.当x1 时，y随x的增大而减小B.若图象与x轴有交点，则a4 C.当a3 时，不等式x24xa0 的解集是1x3 D.若将图象向上平移1 个单位，再向左平移3 个单位后过点（1，2），则a3*6.若二次函数yax2bxc（a0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，则下列判断正确的是（）A.a0 B.b2 4ac 0 C.x1x0 x2D.a（x0 x1）（x0 x2）0 二、填空题7.已知二次函数yx23xm（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x23xm0 的两实数根是_。*8.二次函数y2x2mx8 的图象如图所示，则m的值是 _。*9.若直线yb（b为实数）与函数yx24x 3的图象至少有三个公共点，则实数b的取值范围是 _。*10.若抛物线yx2bxc与x轴只有一个交点，且过点 A（m，n），B（m 6，n），则n_。三、解答题11.已知二次函数yx2（m 2）xm1，试证明不论m取何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点。12.抛物线yax2bxc经过点（0，0）与（12，0），最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的表达式。*13.已知二次函数yx22kxk2k2。（1）当实数k为何值时，函数图象的顶点在第四象限内？（2）当实数k为何值时，图象过原点？*14.已知抛物线yax2bxc（a0）与x轴的交点坐标为（1，0）、（3，0），当 2x5时，y的最大值为12，试求该抛物线的解析式。*15.已知抛物线yx2mxm22与抛物线yx2mx34m2在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示，其中一条与x轴交于 A、B两点。xyABO（1）试判定哪条抛物线经过A、B两点，并说明理由；（2）若 A、B两点到原点的距离OA、OB满足1OB1OA23，求经过 A、B两点的这条抛物线的解析式。一、选择题1.C 解析：抛物线过点（0，3），抛物线的解析式为：yx22x3。A、抛物线的二次项系数为10，抛物线的开口向上，正确。B、根据抛物线的对称轴xb2a 1，正确。C、由 A知抛物线的开口向上，二次函数有最小值，当x1 时，y的 最小值为 4，而不是最大值。故本选项错误。D、当y0 时，有x22x30，解得：x1 1，x23，抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0），正确。2.B 解析：根据题意，此抛物线的顶点坐标是（8，9），所以设二次函数的解析式为：ya（x8）2 9，把 A（0，1）代入得a18，y18（x8）29，当y0 时，解得x186216.5，x2862 0（舍去）。小孩将球抛出了约 16.5 米。*3.B 解析：当k0 时y是一次函数，与x轴有交点；当k0 时y是二次函数，当（7）24k（7）0 时与x轴有交点，即k74。综上所述，当k74时y与x轴有交点。*4.C 解析：设OA 2m（m0），则 OB OC m，所以A（2m，0）、B（m，0）、C（0，m），则4am22mbc 0am2mbc0cm，解得b12。*5.B 解析：二次函数为yx24xa，对称轴为x2，图象开口向上。则：A、当x 1 时，y随x的增大而减小，故该选项正确；B、若图象与x轴有交点，即164a 0，则a 4，故该选项错误；C、当a3时，不等式x2 4xa 0 的解集是1x3，故该选项正确；D、原式可化为y（x2）24a，将图象向上平移1 个单位，再向左平移3 个单位后所得函数解析式是y（x1）2 3a。其图象过点（1，2），代入解析式得到a3。故该选项正确。所以说法错误的是B。*6.D 解析：抛物线与x轴有不同的两个交点，则b24ac0，与 B矛盾，可排除B 选项；剩下 A、C、D不能直接作出正误判断，我们分a0，a 0 两种情况画出两个草图来分析（见下图）。在图 1 中，a 0 且有x1x0 x2，则a（x0 x1）（x0 x2）0；在图 2 中，a0 且有x0 x1x2，则a（x0 x1）（x0 x2）0，所以正确选项为D。xyOxyOMMx0 x1x2x0 x1x2图1图2二、填空题7.x11，x22 解析：二次函数的解析式是yx23xm（m为常数），该抛物线的对称轴是x32。又二次函数yx23xm（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（2，0），关于x的一元二次方程x2 3xm0 的两实数根分别是：x11，x22。*8.8 解析：由图可知，抛物线与x轴只有一个交点，所以m2428 0，解得m 8，对称轴为直线xm220，m0，m的值为 8。*9.0b 1 解析：函数yx24x3的图象如图所示：此图象相当于把yx24x3 的图象的x轴下面的部分沿x轴翻折到x轴上方。函数yx24x3 的顶点坐标为（2，1），它翻折后的对称点坐标是（2，1），所以当 0b 1 时直线yb（b为实数）与函数yx2 4x3的图象至少有三个公共点。xyO*10.9 解析：抛物线yx2bxc 与 x轴只有一个交点，当xb2时，y0。且b24c0，即b2 4c。又点A（m，n），B（m6，n），点 A、B关于直线xb2对称，A（b23，n），B（b23，n），将 A点坐标代入抛物线解析式，得：n（b23）2b（b2 3）c14b2c9，b24c，n144cc99。三、解答题11.证明：由题意可知（m2）24（1）（m1）m24m44m4m28，m20，m280，即无论m取何值总有0，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点。12.解：点（0，0）与点（12，0）在x轴上，关于抛物线的对称轴对称，抛物线的对称轴为x6，又因为其最高点的纵坐标是3，这条抛物线的顶点是（6，3）。设其表达式为ya（x6）23，把点（0，0）代入解得a112，y112x2x。*13.解：（1）由题意知2k204（k2k2）4k240，解得 0k2。（2）由题意知k2k20，解得k1 或k 2。*14.解：抛物线与x轴交点的横坐标是方程ax2bxc0 的两根，所以可设此抛物线为ya（x1）（x3）。根据题意，当a0 时，由抛物线的对称性可知当x1 时y最大 12；当a0 时，x5 时y最大12。将其分别代入ya（x1）（x3）可得a 3 或a1。所以y 3（x 1）（x3）或y（x1）（x3）。即该抛物线的解析式为y 3x26x 9 或yx2 2x3。*15.解：（1）两条抛物线都不经过原点，m0。对抛物线yx2mxm22，1m241m22m20；对抛物线yx2mx34m2，2m2434m24m20，故抛物线yx2mx34m2经过 A、B两点。（2）设 A（x1，0）、B（x2，0），则x1、x2是方程x2mx34m2 0的两根，x1x2m，x1x234m2。点 A在原点的左边，点 B在原点的右边，AO x1，OB x2。由1OB1OA23得1x21x123，即x1x2x1x223，m34m223，解得m2，当m2 时，20 且x1x20，m2。故所求抛物线的解析式为yx22x3。