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第四节 向量的数量积、第四节 向量的数量积、向量积、混合积向量积、混合积 一物体在常力一物体在常力F?作用下沿直线从点作用下沿直线从点1M移动到点移动到点2M，以，以s?表示位移，则力表示位移，则力F?所作的功为所作的功为 cos|sFW?=(其中其中 为为F?与与s?的夹角的夹角)启示启示向量向量a?与与b?的的数量积数量积为为ba?cos|baba?=(其中其中 为为a?与与b?的夹角的夹角)实例实例两向量作这样的运算两向量作这样的运算,结果是一个数量结果是一个数量.定义定义一、两向量的数量积一、两向量的数量积a?b?cos|baba?=,Prcos|bjba?=,Prcos|ajab?=ajbbab?Pr|=.Pr|bjaa?=数量积也称为“数量积也称为“点积点积”、“”、“内积内积”.结论两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.结论两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.关于数量积的说明：关于数量积的说明：0)2(=ba?.ba?)(,0=ba?,0|a?,0|b?,0cos=.ba?.|)1(2aaa?=)(,ba?,0cos=.0cos|=baba?,0=.|cos|2aaaaa?=证证证证=,2,2=数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律：（1）交换律：（1）交换律：;abba?=（2）分配律：（2）分配律：;)(cbcacba?+=+（3）若为数：（3）若为数：),()()(bababa?=若、为数：若、为数：).()()(baba?=,kajaiaazyx?+=kbjbibbzyx?+=设设=ba?)(kajaiazyx?+)(kbjbibzyx?+,kji?,0=ikkjji?,1|=kji?.1=kkjjii?zzyyxxbabababa+=?数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式 cos|baba?=,|cosbaba?=222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa+=两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式 ba?0=+zzyyxxbababa由此可知两向量垂直的充要条件为由此可知两向量垂直的充要条件为例 1 例 1 已知已知4,1,1=a?，2,2,1 =b?，求（，求（1）ba?；（；（2）a?与与b?的夹角；（的夹角；（3）a?在在b?上的投影上的投影.解解ba?)1(2)4()2(111 +=.9=222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa+=,21=ajbbab?Pr|)3(=.3|Pr=bbaajb?=.43 例 2例 2 证明向量证明向量c?与向量与向量acbbca?)()(垂直垂直.证证cacbbca?)()()()(cacbcbca?=)(cacabc?=0=cacbbca?)()(.Pr,Pr,3),(1,2,3,32.3AjBjBAbababaBbaABA?=+=求设例=+=求设例.3128Pr,3728Pr,31,3728376)3()32(.2222=+=+=+=+=BBAAjABABjBBBAAAbbaababaBABA?解解 设设O为一根杠杆为一根杠杆L的支点，有一力的支点，有一力F?作用于这杠杆上作用于这杠杆上P点处力点处力F?与与OP的夹角为的夹角为，力，力F?对支点对支点O的力矩是一向量的力矩是一向量M?，它的模，它的模|FOQM?=sin|FOP?=M?的方向垂直于的方向垂直于OP与与F?所决定的平面所决定的平面,指向符合右手系指向符合右手系.实例实例二、两向量的向量积二、两向量的向量积LF?PQO 向量向量a?与与b?的的向量积向量积为 为 bac?=sin|bac?=(其中其中 为为a?与与b?的夹角的夹角)定义定义c?的方向既垂直于的方向既垂直于a?，又垂直于，又垂直于b?，指向符合右手系.，指向符合右手系.0)1(关于向量积的说明：关于向量积的说明：?=aa)0sin0(=ba?)2(/.0?=ba)0,0(?ba向量积也称为“向量积也称为“叉积叉积”、“”、“外积外积”.a?b?c?向量积符合下列运算规律：向量积符合下列运算规律：（1）.abba?=（2）分配律：）分配律：.)(cbcacba?+=+（3）若 为数：）若 为数：).()()(bababa?=)(,0?=ba,0|a?,0|b?,0sin=,0=)(0sin=.0sin|=baba?证证ba?/ba?/或或0=,kajaiaazyx?+=kbjbibbzyx?+=设设=ba?)(kajaiazyx?+)(kbjbibzyx?+,kji?=,0?=kkjjii,jik?=,ikj?=,kij?=.jki?=,ijk?=kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy?)()()(+=向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式向量积还可用三阶行列式表示向量积还可用三阶行列式表示zyxzyxbbbaaakjiba?=ba?/zzyyxxbababa=由上式可推出由上式可推出zzyxbaaa=000,0=yxaa几何上几何上|ba?表示以表示以a?和和b?为邻边的平行四边形的面积为邻边的平行四边形的面积.xb、yb、zb不能同时为零，但允许两个为零，不能同时为零，但允许两个为零，例如，例如，a?b?bac?=此式仅是一个记号此式仅是一个记号例 4例 4 求与求与kjia?423+=+=，kjib?2+=+=都垂直的单位向量都垂直的单位向量.解解zyxzyxbbbaaakjibac?=211423=kji?,510kj?+=,55510|22=+=+=c?|0ccc?=.5152 +=+=kj?例 5例 5 在顶点为在顶点为)2,1,1(A、)2,6,5(B和和)1,3,1(C的三角形中，求的三角形中，求AC边上的高边上的高BD.ABC解解D3,4,0=AC0,5,4 =AB三角形三角形ABC的面积为的面积为|21ABACS=22216121521+=+=,225=|AC,5)3(422=+=+=|21BDS=|AC|521225BD=.5|=BD例例6 设以向量和为边做平行四边形，求平行四边形中垂直于边的高线向量。设以向量和为边做平行四边形，求平行四边形中垂直于边的高线向量。a?b?a?0,:=auauabuaubu?垂直于则设高线为解垂直于则设高线为解a?b?a?u?.,0)(:22aaabbuaabaaabaab?=即=即例 7例 7 设向量设向量pnm?,两两垂直，符合右手规则，且两两垂直，符合右手规则，且4|=m?，2|=n?，3|=p?，计算，计算pnm?)(.),sin(|nmnmnm解解?=,8124=0),(=pnm?pnm?)(cos|pnm?=.2438=依题意知依题意知nm?与与p?同向，同向，定义定义 设已知三个向量 设已知三个向量a?、b?、c?，数量，数量cba?)(称为这三个向量的称为这三个向量的混合积混合积，记为，记为cba?.cba?cba?=)(zyxzyxzyxcccbbbaaa=,kajaiaazyx?+=,kbjbibbzyx?+=设设,kcjcicczyx?+=混合积的坐标表达式混合积的坐标表达式三、向量的混合积三、向量的混合积（1）向量混合积的几何意义：）向量混合积的几何意义：向量的混合积向量的混合积cba?cba?=)(是这样的一个数，它的绝对值表示以向量是这样的一个数，它的绝对值表示以向量a?、b?、c?为棱的平行六面体的体积为棱的平行六面体的体积.a?c?b?ba?)2(cba关于混合积的说明：关于混合积的说明：?cba?=)(acb?=)(.)(bac?=（3）三向量）三向量a?、b?、c?共面共面.0=cba?已知已知2=cba?，计算计算)()()(accbba?+.解解)()()(accbba?+)()accbbbcaba?+=ccbcccacba?+=)(0)()(acbaacaaba?+)(0)()(0=0=0=0=cba?=)(cba?=)(2 2cba?=.4=例例8例 9 例 9 已知空间内不在一平面上的四点已知空间内不在一平面上的四点),(111zyxA、),(222zyxB、),(333zyxC、),(444zyxD,求四面体的体积求四面体的体积.由立体几何知，四面体的体积等于以向量由立体几何知，四面体的体积等于以向量AB、AC、AD为棱的平行六面体的体积的六分之一为棱的平行六面体的体积的六分之一.解解61ADACABV=,121212zzyyxxAB =,131313zzyyxxAC =,141414zzyyxxAD =14141413131312121261zzyyxxzzyyxxzzyyxxV =式中正负号的选择必须和行列式的符号一致式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.向量的数量积向量的数量积（结果是一个数量）（结果是一个数量）向量的向量积向量的向量积（结果是一个向量）（结果是一个向量）向量的混合积向量的混合积（结果是一个数量）（结果是一个数量）（注意共线、共面的条件）（注意共线、共面的条件）四、小结四、小结思考题思考题已知向量已知向量0?a，0?b，证明，证明2222)(|bababa?=.思考题解答思考题解答)(sin|,2222bababa?=)(cos1|,222baba?=22|ba?=)(cos|,222baba?22|ba?=.)(2ba?
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