中学物理竞赛讲义微积分初步

1、微积分的基本概念极限极限指无限趋近于一个固定的数值 两个常见的极限公式sinxlim =1x-xt0lim1+2、5.2微积分初步导数当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限叫做导数y 二罠 lim AydxAx导数含义，简竜来说就是y随x变化的变化率。 导数的几何意义是该点切线的斜率。原函数和导函数 对原函数上每点都求出导数，作为新函数的函数值，这个新的函数就是导函数y(x)二 lim Ay(x +Ax)- y(x)sx,AXtO微分和积分= lim由原函数求导函数：微分 由导函数求原函数：积分 微分和积分互为逆运算。例 1、根据导函数的定义，推导下列函数的导函数 (1) y=x2(2) y= xn4、(n丰 0)(3) y = sinx二、微分1、基本的求导公式1)3)(5)C 0(C为常数)ex = ex(lnx)= 17)(9)(si nx)=冬0夾(tanx)二片)=%g 0)( ) = a lna*(4) ax = axlna1(6) (logax) = Xna8) (cosx)=-sinx*(11)(arcsirxSL11(10) (cotx) = sir汗1*(12) (arccox)二(13)(arctarx)二1 + x函数四则运算的求导法则2设 ， v=v(x)(1) ( = uv*2、* (14) (arccotx) = _(2) (ud = uv + uv(3) ( U)UV - UV -= V例2、求y=tan的导数3、复合函数求导对于函数y=f(x)，d可以用复合函数的观点看成y二fg(x),即y=(u), u=g(X) y dxdudx即：y = y uux例3、求y =(1+ 2x2)8的导数例4、求y二lntanx的导数三、积分1、基本的不定积分公式(1)(3)(5)(7)下列U各式中c为积分常数J kdx= kx+ C(k 为常数)J exdx = ex + CJ 1 dx= lnx + CxJ cosxdx= sinx + C Jxndx=蕭 + C (nH1)* (4) J axdx =爲 + Clna2、(9)J 1 dx= arctanc + C什吃简单的定积分求法(即牛顿一莱布尼茨公式)(6) J sinxdx=-cosx + C*(8) J 厂厂亠-dx=tanx + CCOS2x1dx= arcsirx+C2* (10) J物理竞赛中最基本的微积分公式牛顿一莱布尼茨公式：若f(x)是F(x)在区间a,b上的导函数 则J bf(x)dx= F(t) F(a)而根据导函数f(x)求原函数F(x)的过程，其实就是不定积分的过程。 3、换元积分法(1) 第一类换元积分(凑微法) 例 5、求J 2xcosX2dx*(2)第二类换元积分法 技巧性较强，没有一定的通法，高中阶段很少用到。* 例 6、二 66 厲-1+1_ 丄）dt物理例题：例7、已知地球的半径为R,质量为M。将质量为m的质点从地面移动到无穷远处，此过程中，万有引力做了多少功？例8、求半径为R,质量均匀的半圆形薄板的重心位置例9、求常见几何体的转动惯量。各物体质量均为m杆长均为L,半径均为r(1) 均匀杆绕中点转动(2) 均匀杆绕一端转动(3) 均匀圆盘绕中心转动 *(4)均匀球绕中轴转动*一、求极限的罗必塔法贝如果当xt a (或xtg)时，两个函数f (x)与F (x)都趋于零或都趋于无穷大，那么极限lim f(X)可能存在、也可能不存在。通常把这种极限称为0或g型未定此时可以xta(xtg)5.2附 微积分阅读材料式。 对分子分母同时求导后再求极限，从而避免出现未f式无法计算的情况。lim g(X)g(X).g (X)xtaxta如果求导后仍然是未定式，可多次利用罗必塔法则。如果始终是未定式，则此方法失效。(XTg) 例】：求limta7.F0 (tanx)segx 彳原式=lim (xy = hm 1= 1.XT0XT01 lnsinax 例2：求lima cosax. sinbxcosbx原式=lim .=limxt0 bcosbx-sinax0 cosax =10g,g g,0,ig,go型未定式,可以化为:或g召一的形式g*二、分部积分法理解、运用起来容易出错，高中阶段很少用到。 根据函数相乘的求导公式：(uV = uv + uv 移项可得：uv =(UUv ff两边取积分uvdx = uv-J vudxff*例 3、求f xcosxdxudv= uv vduffJ xcoSXdX又 u=X,dv=cosXdXX Sin X sin XdX= Xsi nx + cosx + C贝U du= dx,v=sinx*例 4、求 f x2exdxfX e dX取 u=X2dvexdxX?贝y du= 2xdxv= 8取 u= Xzzdv= exdxe 2XeX + 2 eXdX贝 d u= d x,v= ex=x2ex 2xex + 2ex + C利用分部积分法的步骤：(1)将被积函数分为两部分，一部分可以看做是原函数，即，另一部分可以看做是导函数，艮Pv。(2)右边第一项为两个原函数uv的乘积，第二项将原函数u变为导函数，导函数，变为原函数v,相 乘后再求积分。利用分部积分法的技巧：上述过程的难点在于对，求积分，以及对uv求积分。因此，要将被积函数拆成适当的两部分，使得这 两个积分求解起来都比较容易。三、简单的常微分方程(分离变量法)*例 5：放射性元素衰变问题设铀的衰变速度与未衰变的原子数目M成正比已知t=0时未衰变的铀的含量为M，求M随时间变化的函数。0解：dMdt = _九 Mut:变量为 M 和 t，分离变量得：M = _九 dt两边分别求不定积分：lnM二-九t + C 根据初始状态求出积分常数尙lnM = C带入后消去c可得：Ml = IVI e_xt*例 6：电容器充放电问题电容为C的电容经过充电后，两端电压为U。从t=0时刻开始串联上电阻R进行放电。求电压U随时 间t的变化函数。解：i - dQ_ CdU1 二妙=_7U C dU -R = _Cdt联立上面两式可得:分离变量可得：1=试两边分别求不定积分：|nU二- + CRC 0 根据初始状态求出积分常数c : lnU = C 00 带入后消去c可得：U = U e.J0RC可以看到，RC的值与电容器放电的快慢有关，因此rc也叫做RC电路的时间常数。 类似的，RL电路中，时间常数为L/R。此外，求解简谐运动和电磁振荡问题时也需要求解微分方程，不过采用的方法是试探解法。*四、泰勒展开将一个函数写成多项式的形式各项分别为零阶小量、一阶小量、二阶小量常用于近似处理和对小 量的讨论。f (x )f (n)(x )f(x +AX) =f(x) +f，(X)AX +AX2 + +( n,/AXn +0( AXn)理解公式前两项的几何意义。公式最后一项0(AXn)表示剩下所有的项，相对于AXn都是小量。常见函数在x =0处的泰勒展开：* sinX = X_ X3!3 + X5!5 _ X7!7 + _ 1) 2kX* cosX=1_V； x4；崩聲” + O(X2k+ )!k X2k + O(X2k+(1+ X)厂 1+卩 X +卩(与_1) X2 + ，+上.W + 1)Xn + O(Xn).*1 x 1 - X + x2 x3 +1 + xIn (1+ x) = x x22 + x33 2 3 *+ (1)nxn + o(xn) x44 + + (-1)nP-1 xn + 0(xn)X2Xnex 1 + x + _2! + _n! + Q(xn)不是所有的函数不是在所有的位置都可以进行泰勒展开。只有当高阶项越来越小且趋近于时（此说 法不严格）才能用泰勒展开的前几项之和来近似原函数的值。