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东 北 大 学 继 续 教 育 学 院 离散数学 X 试 卷(作业考核 线上2) A 卷(共 4 页)总分题号一二三四五六七八九十得分一、 (13分)有两个小题1分别说明联结词、和在自然语言中表示什么含义。解:“”表示“不成立”,“不”。“”表示“并且”、“不但而且.”、“既又 .”等。“”表示“或者”, 是可兼取的或。“”表示 如果 ,则 ;只要 ,就 ; 只有 , 才; 仅当 。“”表示“当且仅当”、“充分且必要”。2分别列出PQ、PQ、PQ、PQ的真值表(填下表)。PQPQPQPQPQ解:PQPQ PQPQPQFFTFTFFTFTTFTFFTFFTTTTTT二、 (10分)写出命题公式 (QP)Q 的主合取范式。(要求有解题过程)解: 方法1:等价变换 (QP)Q (QP)Q ( 去 ) (QP)Q ( 摩根定律 ) Q ( 吸收律 ) (PP)Q (互补、同一律 ) (PQ)(PQ) ( 分配律 )方法2:真值表法先列(QP)Q的真值表如下:PQPQP(QP)QFFTTFFTTTTTFFTFTTFFT从真值表看出,该命题公式的主合取范式含有大项M0和M2,即(PQ)和(PQ)。于是此命题公式的主合取范式为:(QP)Q (PQ)(PQ)三、(14分) 用谓词逻辑推理的方法证明下面推理的有效性。要求按照推理的格式书写推理过程。 xC(x), $x(A(x)B(x), x(B(x)C(x) $xA(x)四(12分)令集合A=1,1,B=1,P(A)表示A的幂集。分别计算: (注意:要求有计算过程,不能直接写出结果!)(1) AP(B)(2) AB(3) P(A)P(B)解: A=1,1, B=1, AP(B)1,1 ,1 , AB(AB)(AB) =(1,11) (1,1 1)1,111。 P(A)P(B),1,1, 1,1,1 1, 1,1五. (25分)给定集合A=1,2,3,定义A上的关系如下:R=, S=AA(完全关系(全域关系))T=,M=,1. 写出关系R的矩阵;再画出上述各个关系的有向图。解:关系S的矩阵如下:下面是几个关系的有向图:T。132。132M。132R。132S2.判断各个关系性质。用“”表示“是”,用“”表示“否”,填下表:自反的反自反的对称的反对称的传递的RSTM解自反的反自反的对称的反对称的传递的RSTM3.上述四个关系中,哪些是等价关系?哪些是偏序关系?对等价关系,写出此等价关系的各个等价类。解:T和R是等价关系。 M是偏序关系。 A/T=1,2,3 A/R=1,2,34.求复合关系RoT解:SoT,六. (12分) R是实数集合,给出R上的运算如下:、+、|x-y|、min、max,分别表示乘法、加法、x-y的绝对值、两个数中取最小的、两个数中取最大的运算。1. 判断各个运算性质。用“”表示“是”,用“”表示“否”,填下表:|x-y|max min+有交换性有结合性有幂等性有幺元有零元2.指出R对上面哪些运算构成群?.解:1.|x-y|maxmin有交换性有结合性有幂等性有幺元有零元2. 构成半群的有:, , , . 构成独异点的有: , 。 构成群的有: 。七. (14分) 有三个小题 1. 指出下面各个图中哪些是彼此同构的.解:a、 h 、 i同构; b、 d 同构; c、g 同构 e、f同构; 2. 上面图b与c显然是不同构的,请说明不同构的理由(说明一个即可。)解:两个无向图的关联矩阵经过行或者列交换以后完全不相同,那么这两个图不是同构。B图有5个结点,两两结合。而C图并没有两两结合。3.请画出五个具有五个结点的无向图,使之分别满足: (1) 是欧拉图但不是汉密尔顿图。 (2) 既是欧拉图也是汉密尔顿图。 (3) 是完全图K5。(4) 是棵树。(5) 是汉密尔顿图但不是欧拉图 。 解
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