函数的单调性

函数函数函数函数3.1.3 函数的单调性函数的单调性重庆市奉节职成教育中心重庆市奉节职成教育中心数学组数学组 主讲人：张建恒主讲人：张建恒 引入引入：下图为上海市：下图为上海市20062006年元旦年元旦2424小时内的气小时内的气 温变化情况请观察这张气温变化图：温变化情况请观察这张气温变化图：问题问题1 1 描述气温随时间推移的变化情况。描述气温随时间推移的变化情况。问题问题2 2 在区间在区间4 4，1414上，气温是否随时间推移而升高？上，气温是否随时间推移而升高？t1t2f(t1)f(t2)情情 景景 引引 入入 学学 习习 任任 务务一、理解函数单调性的概念。一、理解函数单调性的概念。二、掌握判断函数的单调性的方法二、掌握判断函数的单调性的方法1、图象法、图象法2、定义法、定义法xy从左至右图象呈从左至右图象呈_趋势趋势.上升上升xyy=x+1xy观察第一组函数图象，指出其变化趋势观察第一组函数图象，指出其变化趋势.OOO111111任务一、探究函数的单调性概念任务一、探究函数的单调性概念y=-x+1xy从左至右图象呈从左至右图象呈_趋势趋势.下降下降xyxy观察第二组函数图象，指出其变化趋势观察第二组函数图象，指出其变化趋势.OOO111111xyy=x2y从左至右图象呈从左至右图象呈_趋势趋势.局部上升或下降局部上升或下降观察第三组函数图象，指出其变化趋势观察第三组函数图象，指出其变化趋势.xxy11-1-1OOO1111Oxy2.你能看出当自变量增大或减少时，函数值如何你能看出当自变量增大或减少时，函数值如何 变化吗？变化吗？结论结论：自变量增大（减小），函数值也增大（减小）自变量增大（减小），函数值也增大（减小）1.请谈谈图象的变化趋势怎样？请谈谈图象的变化趋势怎样？增函数增函数 减函数减函数 如果函数如果函数f(xf(x)在给定区间上在给定区间上随着随着x x的增大（的增大（减小减小）而增大（）而增大（减小减小）则则f(xf(x)在这个区间上增函数。在这个区间上增函数。如果函数如果函数f(xf(x)在给定区间上在给定区间上随着随着x x的增大（的增大（减小减小）而减小（）而减小（增大增大）则则f(xf(x)在这个区间上减函数。在这个区间上减函数。例例1 给出函数给出函数 y=f(x)的图象，的图象，如图所示如图所示，根据图根据图象说出这个函数在哪些区间上是增函数？哪些区间象说出这个函数在哪些区间上是增函数？哪些区间上是减函数？上是减函数？解：函数在区间解：函数在区间-1，0，2，3上是减函数；上是减函数；在区间在区间0，1，3，4上是增函数上是增函数23x14-1Oy（2）观察教材）观察教材 P 64，例，例2 的函数图象，分别说出函数在的函数图象，分别说出函数在(，0)和和(0，)上是增函数还是减函数上是增函数还是减函数 上图右上图右 （1）观察教材）观察教材 P 64，例，例1 的函数图象，说出函数在的函数图象，说出函数在(，)上是增函数还是减函数上是增函数还是减函数下图左下图左xyO113xy通过图像很容易判断函数的单调性，通过图像很容易判断函数的单调性，但是给出但是给出f(xf(x)的解析式时如何确定函数的单调性？的解析式时如何确定函数的单调性？在函数在函数 y=f(x)的图象上任取两点的图象上任取两点 A(x1，y1)，B(x2,y2)，记记x=x2x1，y=f(x2)f(x1)=y2y1自变量增大，函数值也增大自变量增大，函数值也增大自变量减小，函数值也减小自变量减小，函数值也减小 x y Oxyx1x2f(x1)f(x2)x y0AB增函数增函数：在给定的区间上任取在给定的区间上任取 x1，x2，且且 x1 x2，函函数数 f(x)在给定区间上为增函数的充要条件是在给定区间上为增函数的充要条件是 ，这个给定的区间就为单调增区间这个给定的区间就为单调增区间 x y0Oxyx1x2f(x1)f(x2)给定的区间给定的区间 x1 x2 x y0任务二、判别函数单调性任务二、判别函数单调性Oxyx1x2f(x1)f(x2)增函数增函数：在在给定的区间给定的区间上任上任取取x1，x2，函数函数f(x)在给定区间上为增函数的充要在给定区间上为增函数的充要条件是条件是 ，这个给定的区，这个给定的区间就为单调增区间。间就为单调增区间。)(21xx xy0)(21xx xy0类比得到减函数概念类比得到减函数概念减函数减函数：在在给定的区间给定的区间上任上任取取x1，x2，函数函数f(x)在给定区间上为减函数的充要在给定区间上为减函数的充要条件是条件是 ，这个给定的区，这个给定的区间就为单调减区间。间就为单调减区间。)(21xx)(21xx Oxyx1x2f(x2)f(x1)xy0)(21xx xy0例例2 2 证明函数证明函数 f(x)=3 x2在区间在区间(，+)上是上是 增函数增函数证明：设证明：设 x1，x2 是任意两个不相等的实数，则是任意两个不相等的实数，则y=f(x2)f(x1)=(3x2+2)(3x1+2)=3(x2 x1)因此，函数因此，函数 f(x)3 x2在区间在区间(-，+)上是增函数上是增函数x=x2 x103 xyk计算计算 x 和和y当当 k0时，函数在这个区时，函数在这个区间上是增函数；间上是增函数；当当 k0时，函数在这个区时，函数在这个区间上是减函数间上是减函数计算计算xyk1211xx证明：设证明：设 x1，x2 是是(0,+)内的任意两个不相等的正实数内的任意两个不相等的正实数，则，则 y=f(x2)-f(x1)因此因此 f(x)=在区间在区间(0，)上是减函数上是减函数x1例例3求证：函数求证：函数 f(x)=在区间在区间(0，)上是减函数上是减函数x1x=x2-x10121xxxyk计算计算 x 和和y当当 k0时，函数在这个区时，函数在这个区间上是增函数；间上是增函数；当当 k0时，函数在这个区时，函数在这个区间上是减函数间上是减函数计算计算xyk证明函数证明函数 f(x)=在区间在区间(-(-，0)0)上是减函数上是减函数 x32112xxxx 2.证明函数单调性的步骤：证明函数单调性的步骤：（1）计算）计算 x 和和 y；（2）计算）计算 k=；当当 k0时，函数时，函数 y=f(x)在这个区间上是增函数；在这个区间上是增函数；当当 k0时，函数时，函数 y=f(x)在这个区间上是减函数在这个区间上是减函数xy1.1.增函数、减函数定义增函数、减函数定义【一设二求三判定一设二求三判定】教材教材P69，练习，练习 A 组第组第 2 题；题；练习练习 B 组第组第 2 题题 感谢各位领导、老师和同学们感谢各位领导、老师和同学们望诸位同仁提出宝贵的意见和建议。望诸位同仁提出宝贵的意见和建议。