定积分的概念和性质积分上限函数及其导数

第十讲 定积分的概念和性质积分学积分学不定积分不定积分定积分定积分变上限积分函数 一、定积分的概念一、定积分的概念二、定积分的性质二、定积分的性质三、变上限积分函三、变上限积分函数数1 1、定积分问题举例、定积分问题举例1)曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线)0)()(xfxfy，轴及x以及两直线bxax,所围成,求其面积 A.?A机动 目录 上页 下页 返回 结束)(xfy 矩形面积ahhaahb梯形面积)(2bah一、定积分的概念一、定积分的概念1xix1ixxabyo解决步骤解决步骤:a)大化小大化小.在区间 a,b 中任意插入 n 1 个分点bxxxxxann1210,1iiixx用直线ixx 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;b)常代变常代变.在第i 个窄曲边梯形上任取作以,1iixx为底,)(if为高的小矩形,并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积,iA得)()(1iiiiiixxxxfA),2,1,nii机动 目录 上页 下页 返回 结束 c)近似和近似和.niiAA1niiixf1)(d)取极限取极限.令,max1inix则曲边梯形面积niiAA10limniiixf10)(lim机动 目录 上页 下页 返回 结束 xabyo1xix1ixi2)变速直线运动的路程变速直线运动的路程设某物体作直线运动,)(21TTCtvv且,0)(tv求在运动时间内物体所经过的路程 s.解决步骤解决步骤:a)大化小大化小.,1iiitt任取将它分成,),2,1(,1nittii在每个小段上物体经b)常代变常代变.,)(代替变速以iv得iiitvs)(,1,21个分点中任意插入在nTT),2,1(nisi),2,1(ni已知速度机动 目录 上页 下页 返回 结束 n 个小段过的路程为c)近似和近似和.iniitvs1)(d)取极限取极限.iniitvs10)(lim)max(1init上述两个问题的共性共性:解决问题的方法步骤相同:“大化小,常代变,近似和,取极限”所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限机动 目录 上页 下页 返回 结束 abxo2、定积分定义、定积分定义,)(上定义在设函数baxf的若对,ba任一种分法,210bxxxxan,1iiixxx令任取,1iiixxi时只要0max1inixiniixf1)(总趋于确定的极限 I,则称此极限 I 为函数)(xf在区间,ba上的定积分定积分,1xix1ixbaxxfd)(即baxxfd)(iniixf10)(lim此时称 f(x)在 a,b 上可积可积.记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 baxxfd)(iniixf10)(lim积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和称为积分区间,ba说明说明:定积分仅与被积函数及积分区间有关定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分而与积分变量用什么字母表示无关变量用什么字母表示无关,即即baxxfd)(battfd)(bauufd)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 3、定积分的几何意义、定积分的几何意义:Axxfxfbad)(,0)(曲边梯形面积baxxfxfd)(,0)(曲边梯形面积的负值abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba各部分面积的代数和（各部分面积的代数和（几何意义几何意义）A机动 目录 上页 下页 返回 结束 o1 xyni定理定理1.上连续在函数,)(baxf.,)(可积在baxf定理定理2.,)(上有界在函数baxf且只有有限个间断点 4、可积的充分条件、可积的充分条件:(证明略)例例1.利用定义计算定积分.d102xx解解:将 0,1 n 等分,分点为niix),1,0(ninix1,nii取),2,1(ni机动 目录 上页 下页 返回 结束.,)(可积在baxf2xy iiiixxf2)(则32nio1 xyniiinixf)(1niin1231)12)(1(6113nnnn)12)(11(61nniniixxx120102limdnlim31)12)(11(61nn2xy 注 目录 上页 下页 返回 结束 注注 利用,133)1(233nnnn得133)1(233nnnn1)1(3)1(3)1(233nnnn1131312233两端分别相加,得1)1(3n)21(3nn即nnn3323nii12332)1(nnnnii1261)12)(1(nnn)21(3222n121lim)2(ppppnnnnnipn1lim1nixxpd10iix例例2.用定积分表示下列极限:ninnin111lim)1(121lim)2(ppppnnn解解:ninnin111lim)1(nninin11lim1iixxxd110机动 目录 上页 下页 返回 结束 x01ni 1ni说明说明:机动 目录 上页 下页 返回 结束,)(baCxf设,d)(存在则baxxf根据定积分定义可得如下近似计算方法:),1,0(nixiaxi,nabx),1,0()(niyxfii记baxxfd)(.1xyxyxyn110)(110nnabyyy将 a,b 分成 n 等份:abxoyix1ix(左矩形公式)(21nnabyyy(右矩形公式)baxxfd)(.2xyxyxyn21baxxfd)(.3xyyii211)()(21110nnyyyynab(梯形公式)11ni为了提高精度,还可建立更好的求积公式,例如辛普森机动 目录 上页 下页 返回 结束 abxoyix1ix公式,复化求积公式等,并有现成的数学软件可供调用.二、定积分的性质二、定积分的性质(设所列定积分都存在)abbaxxfxxfd)(d)(.10d)(aaxxfbaxd.2xxfkxxfkbabad)(d)(.3(k 为常数)bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(.4ab机动 目录 上页 下页 返回 结束 bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(.5推论推论1.若在 a,b 上则.0d)(xxfba,0)(xf6.若在 a,b 上,)()(xgxf则xxfbad)(xxgbad)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 推论推论2.xxfbad)(xxfbad)()(ba 7.设,)(min,)(max,xfmxfMbaba则)(d)()(abMxxfabmba)(ba 8.积分中值定理积分中值定理,)(baCxf若则至少存在一点,ba使)(d)(abfxxfba性质7 目录 上页 下页 返回 结束 oxbay)(xfy 说明说明:.都成立或baba 可把)(d)(fabxxfba.,)(上的平均值在理解为baxf 积分中值定理对是有限个数的平均值概念的推广.例例3.计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均速度.解解:已知自由落体速度为tgv 故所求平均速度v2211TgT2TgTttg0d01T机动 目录 上页 下页 返回 结束 otgv vTt221TgS 01xn1n2nn 1思考与练习思考与练习1.用定积分表示下述极限:nnnnnIn)1(sin2sinsin1lim解解:10sinlimnknnkI1n0dsin1xxnn2nn)1(0 x或)(sinlim10nknnkIn110dsinxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、积分上限的函数及其导数三、积分上限的函数及其导数在变速直线运动中,已知位置函数)(ts与速度函数)(tv之间有关系:)()(tvts物体在时间间隔,21TT内经过的路程为)()(d)(1221TsTsttvTT这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性.机动 目录 上页 下页 返回 结束.)()(的原函数是这里tvts1、引例、引例)(xfy xbaoy)(xxhx2、积分上限函数及其导数、积分上限函数及其导数,)(baCxf则变上限函数xattfxd)()(证证:,bahxx则有hxhx)()(h1xahxattfttfd)(d)(hxxttfhd)(1)(f)(hxxhxhxh)()(lim0)(lim0fh)(xf)(x机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1.若.,)(上的一个原函数在是baxf,)(baCxf说明说明:1)定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.2)变限积分求导:bxttfxd)(dd)(xf)(d)(ddxattfx)()(xxf同时为通过原函数计算定积分开辟了道路.机动 目录 上页 下页 返回 结束)()(d)(ddxxttfx)()()()(xxfxxf)()(d)(d)(ddxaaxttfttfx)sin(2cosxex例例4.求0limxtextd1cos22x解解:原式0limx00 x2e21说明 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.确定常数 a,b,c 的值,使).0(d)1ln(sinlim20ccttxxaxbx解解:,0sin0 xxax时,0c.0 b00原式=)1ln(coslim20 xxaxcxxax20coslim c 0,故.1a又由221cos1xx,得.21c ttf txfxd)()(0例例6.,0)(,),0)(xfxf且内连续在设证明)(xFttf txd)(0ttfxd)(0在),0(内为单调递增函数.证证:)(xF20d)(ttfxttfxfxxd)()(020d)(ttfxttfxfxd)()(0)(tx0.)0)(内为单调增函数，（在xF只要证0)(xF机动 目录 上页 下页 返回 结束 20d)(ttfxxfx)()()(xf)0(x