重要的连续型分布PPT课件

2 2 重要的连续型分布重要的连续型分布(一)连续型均匀分布1axb(x)ba0当其它2ab1ED(ba)212 (二)指数分布xex0(x)0当其它0,其中称 服从参数为 的指数分布。x0(x)dxedx1x0Ex edx 122x0Exedx 222221D 故210F(x)x0-x当x0时分布函数为1-e当时(0ab)对任何实数a,bP(ab)F(b)F(a)bxaedxabee指数分布常用来作为各种“寿命”分布的近似。如：随机服务系统中的服务时间。产品的寿命有时称为失效率。产品在t时间(t0)失效的概率为P(t)F(t)t1 e 而产品的可靠度为R(t)P(t)1F(t)te1(1000)310001 某元件寿命服从参数为小时 的指数分布。个这样的元件使用小时后，都没有损坏的例概率是多少？参数为 的指数分布的分解：布函数为x1000F(x)1 e(x0)P(1000)1P(1000)11 F(1000)e 各元件寿命相互独立3个元件使用1000小时后都未损坏的概率为e-30.05()三分布r0关于 函数的复习：时r 1x0(r)xe dx22r 1t02tedt它有性质：(r1)r(r)特别地(n1)n!(1)n！1x201xe dx22t02edtrr 1xxex0(x)(r)0 x0 0,r0 其中(,r)称 服从 分布，记作rr 1x0(x)dxxedx(r)r 1t01te dt(r)xt 1(r)(r)1r因此，是两个参数rr 1x0Exxedx(r)xt rt01t e dt(r)1(r1)(r)rr22r 1x0Exxedx(r)xt r 1t201te dt(r)21(r2)(r)2(r1)r22(r1)rrD 2r分布在概率论、数理统计等方面有很多应用。当r=1时，xex0(x)0 x0即为指数分布。当r为正整数时，rr 1xxex0(x)(r1)!0 x0这是排队论中常用的爱尔朗分布n1r,n22当是正整数，时nx122n21xex0n(x)220 x02n(n)2这是具有 个自由度的一分布，记作1nii1n1n1r.r+.+r 定理如果，.，相互独立，且 服从参数为，的 分布(i=1,.,n)，则服从参数为，的 分布。22112212212121(n),(n),(nn)推论若与相互独立，则(四)正态分布22(x)21(x)e20 其中，为常数，且2N(,)称 服从正态分布，记作这是最重要、最常见的分布。许多微小的，独立的随机因素作用的总后果，一般可以认为服从正态分布。例如人的身高、零件长度，考试成绩等。特点为“中间大，两头小”。22(x)21(x)dxedx2xt22t1edt122(x)2xEedx2 xt22t1(2 t)edt22tt2edttedt0 2D(xE)(x)dx 22(x)221(x)edx2xt2222t2t edt222t022t edt223222112222 01当 ，时2x21(x)e2记作0(x)N(0,1)称为标准正态分布，记作0(x)除具有概率密度的性质之外，还有如下性质：0(1)(x)具有各阶导数00(2)(x)(x)0(3)(x)在x=0左右分别单调上升和单调下降01x0(x)0.39892在达到最大值：0(4)(x)在x=1处有两个拐点。0 x(5)lim(x)=00(x)的大致图形为对于任给的x值，0可以利用标准正态分布的概率密度函数表查出(x)的值。样表如下：-110 x0(x)2x0.000.030.040.050.080.090.00.39890.39880.39860.39840.39770.39730.10.39700.39560.39510.39450.39250.3918.1.50.12950.12380.12190.12000.11450.11271.60.11090.10570.10400.10230.097280.09566.3.00.0 4432222222222225555550.0 40490.0 39280.0 38100.0 34750.0 33703.10.0 32670.0 29750.0 28840.0 27940.0 25410.0 2461.4.90.0 24390.0 21050.0 20030.0 19070.0 16430.0 156300000N(0,1),(1.63)(0.18),(3),(27),(0)已例知查表求出0(1.63)0.1057解：0(0.18)0.392500(3)(3)0.004432 0(7)00(0)0.3989标准正态分布的分布函数为2txx201F(x)(t)dtedt20(x)一般记为其函数值也要通过标准正态分布的分布函数表查出。样表如下：x0.000.010.040.050.060.080.00.50000.50400.51600.51990.52390.5319.1.60.945200.946300.949500.950530.951540.953521.70.955430.956370.959070.959940.960800.962461.80.964070.964850.967210.967840.968560.96922222222222266666951.90.971280.971930.973810.974410.975000.97615.2.50.9 37900.9 39630.9 44570.9 46140.9 47660.9 50602.60.9 53390.9 54730.9 58550.9 59750.9 60930.9 6319.4.90.9 52080.9 54460.9 60940.9 62890.9 64750.69 6821对小于零的x，由下图0(x)P(x)P(x)1 P(x)01(x)可以间接查表求出-xxtN(0,1),P(1.96),P(1.96),P(|1.96),P(1.62.5),P(5.93)例已知求0P(1.96)(1.96)0.975 解：0P(1.96)(1.96)01(1.96)P(|1.96)P(1.961.96)00(1.96)(1.96)02(1.96)1 00P(1.62.5)(2.5)(1.6)00(2.5)(1(1.6)=0.99379-(1-0.94520)0P(5.9)(5.9)1 N(0,1),概括起来，如果则00(x)x0P(x)0.5x01(x)x0 0P(|x)2(x)1(x0)00P(ab)(b)(a)x50当时，(x)1x5 0当时，(x)0一般正态分布的概率密度的图形为其分布函数22(t)xx21F(x)(t)dtedt2(x)一般记为ux02222N(,),abN(ab,a),(a0)定理若则记 a+证：b,可以求出1xb(x)|a|a221x ba211e|a|2 2221x(ab)2a1e2|a|22故 是参数为a+b,a的正态分布22N(,),N(0,1)推论若则,b 1在定证：理中取a=即可。203N(,),(1)1x(2)(x)0定理若则x-(x)=x(1)(x)=P(证：)xP0 x (2)在(1)两边对x求导即得。这样可利用标准正态分布计算一般正态分布。2N(6,2),P(10)4 设求及P(4例8)6106P(10)P22 解：6P220(2)P(48)P(|6|2)6P1202(1)1 2 0.8413 12N(,),P(5)0.045,P(3),50.618 例设求 及5 -P(-5)=：P解05 00551 3P(3)P 03 51.730.3 查表可得1.84求解得，224N(0,1),(1)定理若则2x21(x)e2证：2,已求出，x0时1(x)xx2 xxx22111ee2 x22x211e2x121x12212xe12x0(x)0时，1,2 21故 服从r=的 分布222(1)即由定理证：4，可知22i(1)i1,.,n1再由推论2221n.(n)1ni2221n5.N(0,1),(i1,.,n),.(n)定理若，相互独立，且则(,)若二元连续型随机变量的联合概率密度为22112222212121(x)(x)(y)(y)22(1 p)2121(x,y)e21 121212,0,0,|1 其中,均为常数，,称()服从二元正态分布1 可以验证(x,y)dxdy221122N(,)N(,)定理6 二元正态分布的边缘概率密度是一元正态分布。通过计算可求出12cov(,)故 与 的相关系数为0一般来说，不能保证 与 独立但对二元正态分布例外。此结论可推广到多元正态分布的情形。还有两个重要的连续型分布7(,),0 定理服从二元正态分布的随机变量它们独立的充分必要条件是相关系数 n 122n1x2(x)1nnn2若nt称 服从具有 个自由度的 分布。t(n)记为1121nnn12n2211121222nnnn2x1xx0nn(x)nn220 x0若12称 服从具有第一个自由度为n,第二个自由度为n 的F分布12F(n,n)记为