“抽屉原理”课堂教学实录-文档

“抽屉原理”课堂教学实录教学目标：1初步了解抽屉原理，会用抽屉原理解决简单的实际问题。2经历“放苹果”的探究过程，发展学生的概括能力与类推能力。3在理解与灵活应用“抽屉原理”的过程中感受数学的魅力。教学过程：一、揭示课题师：今天我们学什么内容？（学生看着银幕上的课题齐声：放苹果）数学课放苹果干什么？生：放苹果有什么规律。生：放苹果一定与数学知识有关。师：对啊！看看同学们在放苹果的过程中能不能发现有趣的数学原理。 二、实践探究（一）探究1（多媒体出示）把3个苹果放入2个抽屉，想一想有几种不同的放法？ 学生陷入沉思。师：小巧在动手放苹果之前有一个大胆的猜想。 （多媒体出示文字与配音）不管怎么放，一定有一个抽屉有2个或2个以上的苹果。1说明小巧的猜想师：你明白小巧这句话的意思吗? 说说你的理解生：不管怎么放，一定有一个抽屉有2个苹果。生：还可能有一个抽屉有2个以上的苹果。师：把3个苹果放入2个抽屉（板书），会用除法算式表示吗？生：32=1（个）1（个）（教师板书算式）师：算式中的2个1分别表示什么？生：表示每个抽屉里放1个苹果，还剩1个苹果。师：那么剩下的1个苹果还得放，所以一定有什么情况出现?生：每个抽屉里放1个苹果，还剩1个苹果，把剩下的1个苹果，随便放到哪个抽屉里，这个抽屉就有2个苹果。师：哦，你说得太棒了！（教师板书：1+1=2）师：为什么还会出现有一个抽屉有2个以上的苹果呢？生：如果有一个抽屉不放，那另一个抽屉就有3个苹果了。2验证小巧的设想（1）动手放苹果师：刚才同学们讨论了小巧的猜想，发现有道理。现在我们用乒乓球代替苹果，用纸杯代替抽屉，自己动手放一放，用实验验证小巧的猜想是否正确。请大家记录摆放的结果。（多媒体出示）记录方法： 如果一个抽屉里放1个，另一个抽屉里放2个，可以简记为 1，2；教师请一组学生操作课件，在电脑中摆放苹果，并做好记录，写在黑板上。（2）学生小组活动（3）得出结论师：看着实验的纪录，你得出什么结论与大家分享？生：我们组有4种放法（教师加以板书：1，2；2，1；0，3；3，0）生：不管怎么放，一定有一个抽屉有2个或2个以上的苹果。师：哪几种放法说明有一个抽屉有2个苹果？生：1，2；2，1师：哪几种放法说明有一个抽屉有2个以上的苹果？生：0，3；3，0师：对于验证小巧的猜想来说，可以不考虑抽屉的不同，所以1，2与2，1两种放法，其实只是一种情况，我们保留其中的一种。0，3；3，0也一样。（教师檫去2，1；3，0）师：通过动手放一放，我们验证了小巧的设想是正确的，一定有一个抽屉有2个或2个以上的苹果。（二）探究2师：把4个苹果放入3个抽屉（板书），会出现什么情况？小巧的猜想还成立吗？1小组合作，自己动手放一放，并做好记录。同时，请一组学生操作电脑放苹果。记录在黑板上。2讨论（1）检查记录中的数据，删除相同情况（黑板上保留：1，1，2；0，1，3；0，0，4；0，2，2）（2）讨论放法1，1，2师：这种放法用算式怎样表示？生：43=1（个）1（个）生：剩下一个还要放，1+1=2（个）（3）讨论余下的三种放法师：第、第、第种放法说明什么？生：说明一定有一个抽屉有2个或2个以上的苹果。师：可是第种放法有2个抽屉里各有2个苹果，这句话应该怎样修改一下？学生思考片刻，教师提示：把“一定”换一个词。生：把“一定”改成“至少”就可以了。生：至少有一个抽屉有2个或2个以上的苹果，说明还可以有几个抽屉里2个或2个以上的苹果。教师把板书中的“一定”改为“至少”，让学生再读这句话，体会“一定”与“至少”的不同之处，同时感悟“至少有一个抽屉有2个或2个以上的苹果”，这句话能概括所有4种放法。（三）探究3师：把5个苹果放入4个抽屉（教师板书），猜猜可能有什么结果？生：至少有一个抽屉有2个或2个以上的苹果。师：认同这一结论的同学举举手。师：能否用算式说明?生：54=1（个）1（个）1+1=2（个）教师板书师：这个算式摆放出的苹果是怎样的？生：（1，1，1，2）师：能否举2个例子说明把5个苹果放入4个抽屉，至少有一个抽屉有2个或2个以上的苹果。生：（0，2，2，1）、（0，1，3，1）、（0，0，2，3）（四）小结师：同学们放了三次苹果，研究了苹果数与抽屉数之间的关系。那苹果数与抽屉数之间有什么关系？生：苹果数大于抽屉数。教师板书：苹果数抽屉数生：苹果数比抽屉数多1。师：如果把抽屉数用字母n表示，那么苹果数可以怎么表示？生：n+1师：其实这个原理早在200多年前就被德国数学家发现了。（多媒体出示）把多于n个的苹果放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有2个或2个以上的苹果。德国数学家“狄里克雷”，从这么平凡的事情中发现了规律。人们为了纪念他，就把这个规律用他的名字命名，叫“狄里克雷原理”，又叫“抽屉原理”,还称为 “鸽巢原理”。师：为什么“抽屉原理”,还可以称为 “鸽巢原理”？生：可以把鸽巢看作抽屉，把鸽子看作苹果，所以“抽屉原理”,也可以称为 “鸽巢原理”师：说得很好，抽屉原理可以广泛地运用于生活中，一般可以把某一样东西看作苹果或抽屉。三、初步运用（一）说一说1（多媒体出示）101只兔子放入100个笼子，那么_。生：至少有一个笼子有2个或2个以上的兔子。师：能告诉大家你把什么看作抽屉，把什么看作苹果？生：我把笼子看作抽屉，把兔子看作苹果。师：运用学到的抽屉原理解决了兔子与笼子的问题。2出示：爸爸买来5条金鱼，小凤数了数，共有4个品种，姐姐听了后说：“至少有2条金鱼是同一个品种的。”姐姐说得对不对？为什么？生：姐姐说得对。师：你能说说理由吗？生：可以把金鱼看作“苹果”，把品种看作“抽屉”。根据抽屉原理，可以得出：至少有一个品种有2条或2条以上的金鱼。（二）填一填1（多媒体出示）扑克牌去掉大、小怪，剩下的都是4种花色。任意取 张，至少有2张是同一种花色的。生：任意取5张扑克牌，至少有2张是同一种花色的。因为有4种花色。师：再说清楚些，把什么看作抽屉，什么看作苹果？生：共有4种花色，把它看作抽屉，牌看作苹果。牌比4种花色多1时，至少有2张是同一种花色的。2（多媒体出示）小胖掷数点块，至少掷 次，其中至少有两次的点数相同。生：把1到6的点数它看作6个抽屉，至少掷7次，其中至少有两次的点数相同。3操场上有同学在比赛掷沙包，小亚数了一下人数说：“这里至少有两人的生日在同一个月”，至少有_人在比赛掷沙包。（三）玩一玩1出示：抢位子游戏规则：每个人必须都坐下；一张椅子上允许坐一个以上的人。2学生活动。师：现在有3个位子，老师至少请几人来玩，才会出现抽屉原理的情况？生：4人，因为把椅子看作抽屉，人数看作苹果，人数比椅子数多1。活动开始：大家击掌，4位同学围着椅子转，掌声停，4位同学抢着坐下。师：用一句话说说他们就坐的情况。生：至少有一个椅子有2人或2个以上的人。师：5人抢3把椅子，6人、7人抢3把椅子，会有什么样的结论呢？请感兴趣的同学课后继续研究。抽屉原理教学实录评议 一、“思维定向”的由来放苹果即抽屉原理是二期课改小学数学教材新引进的课题。其内容抽象、费解，在三年级教学是个难点。如何突破？作了多次探索。第一次，按照课本的设计教学，探究3个苹果放入2个抽屉就遇到了困难。学生很容易得出有4种情况，但让他们自己概括结论非常困难。学生首先想到是抽屉里的苹果数最多是3，最少是0。分析原因，很简单，学生很难用“一定有”、“至少”这样的语言来陈述。怎样才能让三年级学生自己说出教师期望的结论呢？我们尝试了多种方法，发现由抢位子游戏引入，学生比较容易说出“3人抢2个座位，一定有一个座位坐2个人”，还要让学生再次探究3个苹果放入2个抽屉。感觉有些重复。这次教学诊断，我仍上这一内容，尝试改变由学生放苹果后得出结论的常规做法，创设“小巧”这一学生喜爱的人物形象参与教学活动，由她的“猜想”给学生“思维定向”，让学生在解读小巧“猜想”的过程中初步理解抽屉原理。从课堂实效来看，这一设计达到了预期的目标。同一课题的多次实践，使我真切感悟：学生的数学语言也有最近发展区。二、“实验结果”为何简化第一次教学时，按照“教参”的提示，对几个抽屉用不同颜色加以区别，这样“把4个苹果放入3个抽屉”的实验结果就有12种情况，虽然通过小组合作与交流，能够避免遗漏，但时间花费过多，毕竟现在一节课只有35分钟。而且，要让学生观察12种情况概括结论，又是勉为其难。于是想到，既然教材对几个苹果不加区分，对抽屉是否也可以不加区分呢？查阅了很多资料，其中多数对抽屉也不加区分的。那么，选择什么时机提出简化建议呢？比较来比较去，还是在得出3个苹果放入2个抽屉的4种情况以后，将4种情况简化为2种，比较适宜。看来，不能依赖“教参”，立足学生与教学实际，该删繁就简就删繁就简。三、教材之外还需充实什么一师附小是“愉快教育”的发源地，为了让学生愉悦地学习，除了将教材上的卡通人物参与进来之外，在设计补充练习时，我还精心挑选了一些学生学习生活的情境，并配上插图。改进以后的练习组合，学生兴趣盎然。抽屉原理的来历，可以介绍给学生，抽屉原理的别名“鸽巢原理”附带出现，既有利于增添趣味，又能为后面抽屉原理的应用做出铺垫。现在的小学生，一年级就开始学习英语，用字母表示数不感困难，所以小结时用上了字母，这样抽屉数与苹果数之间的关系，一目了然。前几次教学，发现尽管抽屉原理的理解起来并不容易，但学生兴趣很浓，因为它和学生以前学的数学知识大不一样。另外题材丰富的练习让学生初步看到抽屉原理应用的广泛性，从中感受了抽屉原理的魅力。所以，这次在课的结尾，利用抢位子的游戏活动，在形成“高潮”的同时，通过教师的追问：7人抢3个椅子呢？孕伏了拓展，让学有余力的学生继续探究“（kn+1）个苹果放入n个抽屉，至少有一个抽屉有（k+1）个苹果”。多次教学抽屉原理的最大感悟是，顺应学生认知特点的教学才是有效的教学。教师师点评：听了该老师的说课，被她不断反思、孜孜以求的精神所感动。这节课的创意、改进，主要的上面已经说到，也说得很明白。要点评只能再深入说两点和补充一点。一、“思维定向”有道理对于成人来讲，本课讨论的抽屉原理（抽屉原理的最简单形式），内容简明朴素，几乎不言自明。但对于小学三年级学生，理解起来确有难度。因为抽屉原理的实质，是揭示了一种存在性，比较抽象。至于抽屉原理的发现与精练表述，明显超出了一般人的数学敏感性和抽象概括能力。要不然，为什么如此平凡、简单的现象，直到19世纪才被狄利克雷首先明确提出呢？如同苹果往地上掉了千百年，直到落在牛顿头上，才深究出万有引力定律。这一联想、类比可能不够确切，但近年来确实有一些脱离学生实际一相情愿的“探究发现”的泛化现象。难怪教师会发出要把握学生的最近发展区、要顺应学生认知特点的感慨，其实这些都是有效教学应当采纳的基本策略。美国心理学家布鲁纳有句名言：“任何学科都能够用在智育上是正确的方式，有效地教给任何发展阶段的任何儿童”1且不说这一假设是否武断，作为发现法的倡导者，布鲁纳说的也只是“教给”，而不是“发现”。既然要让三年级小学生通过将3个苹果放入2个抽屉的操作，面对4种情况自发地发现并概括出抽屉原理，有点勉为其难，那么采用适当的方式给出抽屉原理的“猜想”，着力启发学生理解，便是可取的。心理学的研究早就告诉我们，“思维定向”对于探究学习和问题解决常常是必要的。二、“抢位子”引入未必最佳非常佩服老师的教学创新意识及其努力，想到了“抢位子游戏”的引入方法。通过游戏活动，学生比较容易自发地概括出“一定有一个座位坐2个人”，与预设结论只差“至少”和“2个以上”。因为抢位子游戏一般不会让一个位子空在那里，大家都不去坐。所以（n+1）人抢n个座位坐，通常只有一种情况，即一个座位坐2人，其他座位坐1人。学生想不到“至少”和“2个以上”情有可原。由此判断抢位子游戏未必就是最佳引入。三、“逐步理解”可供借鉴抽屉原理看似简单，但要让小学生建构起自己的实质性理解，还是很有挑战性的。教师采取了“分散难点”的教学策略：第一步，先使学生理解“一定有一个抽屉里有2个苹果”；第二步，再使学生理解“一定有一个抽屉里有2个或2个以上苹果”；第三步，再使学生理解“至少有一个抽屉里有2个或2个以上苹果”。事实上，第一步所得出的算式32=1（个）1（个）1+1=2（个）已经能够说明抽屉原理n=2的特例了，因为它相当于抽屉原理的反证法：如果每个抽屉至多只放进一个苹果，那么苹果的总数至多是n，而不是题设的比n多。但对于小学生而言，后面的两步不能说多余。否则他们会对“为什么还有2个以上”、“为什么要强调至少”心存疑虑。同样，讨论n=4，5时，教师分三种情况一一举例说明，也可以认为是分散难点，各个击破。如此说来，教师将命题分解，引导、启发学生“逐步理解”的教学策略可供借鉴。最后，有必要指出，我个人并不赞成在三年级上学期教学抽屉原理。尽管苏老师的教学实践似乎印证了布鲁纳的上述假设，但对于其他老师以及他们的全体学生来说，这个内容教与学的难度都显得大了。再说，我们的数学课程标准义务教育阶段没有这个知识点（高中阶段的拓展内容有抽屉原理，当然会更展开、深入些）。据此认为，把它推后安排，视为拓展内容，作选学处理，可能比较合适。只是因为这节课上得不错，同时也应该是苏老师和她的一师附小数学教师团队长期教学探索的结晶之一，所以有感而发。