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第第3 3节空间点、直线、平面之间的位置关系节空间点、直线、平面之间的位置关系 考纲展示考纲展示 1.1.理解空间直线、平面位置关系的定义理解空间直线、平面位置关系的定义.2.2.了解可以作为推理依据的公理和定理了解可以作为推理依据的公理和定理.3.3.能运用公理、定理和已获得能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的结论证明一些空间位置关系的简单命题的简单命题.知识链条完善知识链条完善考点专项突破考点专项突破知识链条完善知识链条完善 把散落的知识连起来把散落的知识连起来知识梳理知识梳理1.1.平面的基本性质及相关公平面的基本性质及相关公(定定)理理mn mn 相等或互补相等或互补2.2.空间中点、线、面之间的位置关系空间中点、线、面之间的位置关系3.3.异面直线所成的角异面直线所成的角(1)(1)定义定义:已知两条异面直线已知两条异面直线a,b,a,b,经过空间任一点经过空间任一点O O作直线作直线aa,bb,aa,bb,把把aa与与bb所成的所成的 叫做异面直线叫做异面直线a a与与b b所成的角所成的角(或夹角或夹角););锐角锐角(或直角或直角)02，【重要结论重要结论】经过平面内一点的直线经过平面内一点的直线(不在平面内不在平面内)与平面内不经过该点的直线是异面直线与平面内不经过该点的直线是异面直线.对点自测对点自测1.1.在下列命题中在下列命题中,不是公理的是不是公理的是()(A)(A)平行于同一个平面的两个平面相互平行平行于同一个平面的两个平面相互平行(B)(B)过不在同一条直线上的三点过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面有且只有一个平面(C)(C)如果一条直线上的两点在一个平面内如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平那么这条直线上所有的点都在此平面内面内(D)(D)如果两个不重合的平面有一个公共点如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公那么它们有且只有一条过该点的公共直线共直线A A2.2.若若OAOA,OBOB,OAOA,OBOB,且且AOB=130AOB=130,则则AOBAOB为为()(A)130(A)130 (B)50(B)50(C)130(C)130或或5050(D)(D)不能确定不能确定C C解析解析:根据定理根据定理,AOB,AOB与与AOBAOB相等或互补相等或互补,即即AOB=130AOB=130或或AOB=50AOB=50.故选故选C.C.3.(3.(教材习题改编教材习题改编)如图如图,圆锥圆锥SOSO中中,AB,CD,AB,CD为底面圆的两条直径为底面圆的两条直径,ABCD=O,ABCD=O,且且ABCD,SO=OB=2,PABCD,SO=OB=2,P为为SBSB的中点的中点,则异面直线则异面直线SASA与与PDPD所成角的正切值为所成角的正切值为()B B4.4.如图是正方体的平面展开图如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中则在这个正方体中:BMBM与与EDED平行平行CNCN与与BEBE是异面直线是异面直线CNCN与与BMBM成成6060角角DMDM与与BNBN是异面直线是异面直线以上四个命题中以上四个命题中,正确命题的序号是正确命题的序号是()(A)(A)(B)(B)(C)(C)(D)(D)C C解析解析:由已知中正方体的平面展开图由已知中正方体的平面展开图,得到正方体的直观图如图所示得到正方体的直观图如图所示:由正方体的几何特征可得由正方体的几何特征可得:BMBM与与EDED是异面直线是异面直线;CNCN与与BEBE是平行线是平行线;ANBM,ANBM,所以所以CNCN与与BMBM所成的角就是所成的角就是ANC=60ANC=60,正确正确;DMDM与与BNBN是异面直线是异面直线,正确正确;所以正确命题的序号是所以正确命题的序号是.故选故选C.C.5.5.把下面结论正确的序号填在横线上把下面结论正确的序号填在横线上.如果两个不重合的平面如果两个不重合的平面,有一条公共直线有一条公共直线a,a,就说平面就说平面,相交相交,并记并记作作=a.=a.两个平面两个平面,有一个公共点有一个公共点A,A,就说就说,相交于过相交于过A A点的任意一条直线点的任意一条直线.两个平面两个平面,有一个公共点有一个公共点A,A,就说就说,相交于相交于A A点点,并记作并记作=A.=A.两个平面两个平面ABCABC与与DBCDBC相交于线段相交于线段BC.BC.经过两条相交直线经过两条相交直线,有且只有一个平面有且只有一个平面.没有公共点的两条直线是异面直线没有公共点的两条直线是异面直线.答案答案:考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识考点一平面的基本性质及应用考点一平面的基本性质及应用【例例1 1】如图所示如图所示,在正方体在正方体ABCDABCD-A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,E,F,E,F分别是分别是AB,AAAB,AA1 1的中点的中点.求证求证:(1)E,C,D(1)E,C,D1 1,F,F四点共面四点共面;证明证明:(1)(1)如图如图,连接连接EF,CDEF,CD1 1,A,A1 1B.B.因为因为E,FE,F分别是分别是AB,AAAB,AA1 1的中点的中点,所以所以EFAEFA1 1B.B.又又A A1 1BCDBCD1 1,所以所以EFCDEFCD1 1,所以所以E,C,DE,C,D1 1,F,F四点共面四点共面.(2)CE,D(2)CE,D1 1F,DAF,DA三线共点三线共点.共点、共线、共面问题的证明方法共点、共线、共面问题的证明方法(1)(1)证明点共线问题证明点共线问题:公理法公理法:先找出两个平面先找出两个平面,然后证明这些点都是这两个平面的公共点然后证明这些点都是这两个平面的公共点,再根再根据基本公理据基本公理3 3证明这些点都在交线上证明这些点都在交线上;同一法同一法:选择其中两点确定一条直线选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上然后证明其余点也在该直线上.(2)(2)证明线共点问题证明线共点问题:先证两条直线交于一点先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过该点再证明第三条直线经过该点.(3)(3)证明点、直线共面问题证明点、直线共面问题:纳入平面法纳入平面法:先确定一个平面先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内再证明有关点、线在此平面内;辅助平面法辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面先证明有关的点、线确定平面,再证明其余元素确定平面再证明其余元素确定平面,最后证明平面最后证明平面,重合重合.反思归纳反思归纳(1)E,F,G,H(1)E,F,G,H四点共面四点共面;(2)(2)三直线三直线FH,EG,ACFH,EG,AC共点共点.证明证明:(2)(2)易知易知FHFH与直线与直线ACAC不平行不平行,但共面但共面,所以设所以设FHAC=M,FHAC=M,所以所以MM平面平面EFHG,MEFHG,M平面平面ABC.ABC.又因为平面又因为平面EFHGEFHG平面平面ABC=EG,ABC=EG,所以所以MEG,MEG,所以所以FH,EG,ACFH,EG,AC共点共点.考点二空间两条直线的位置关系考点二空间两条直线的位置关系【例例2 2】如图为正方体表面的一种展开图如图为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段则图中的四条线段AB,CD,EF,GHAB,CD,EF,GH所在所在直线在原正方体中互为异面的对数为直线在原正方体中互为异面的对数为对对.解析解析:平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化,则则AB,CD,EFAB,CD,EF和和GHGH在原正在原正方体中方体中,显然显然ABAB与与CD,EFCD,EF与与GH,ABGH,AB与与GHGH都是异面直线都是异面直线,而而ABAB与与EFEF相交相交,CD,CD与与GHGH相交相交,CD,CD与与EFEF平行平行.故互为异面的直线有且只有故互为异面的直线有且只有3 3对对.答案答案:3 3反思归纳反思归纳【跟踪训练跟踪训练2 2】如图如图,在正方体在正方体ABCDABCD-A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,M,N,M,N分别是分别是BCBC1 1,CD,CD1 1的中点的中点,则下则下列判断错误的是列判断错误的是()(A)MN(A)MN与与CCCC1 1垂直垂直(B)MN(B)MN与与ACAC垂直垂直(C)MN(C)MN与与BDBD平行平行(D)MN(D)MN与与A A1 1B B1 1平行平行解析解析:如图如图,连接连接C C1 1D,D,在在C C1 1DBDB中中,MNBD,MNBD,故故C C正确正确;因为因为CCCC1 1平面平面ABCD,BDABCD,BD平面平面ABCD,ABCD,所以所以CCCC1 1BD,BD,所以所以MNCCMNCC1 1,故故A A正确正确;因为因为ACBD,MNBD,ACBD,MNBD,所以所以MNAC,MNAC,故故B B正确正确;因为因为A A1 1B B1 1与与BDBD异面异面,MNBD,MNBD,所以所以MNMN与与A A1 1B B1 1不可能平行不可能平行,故选项故选项D D错误错误.故选故选D.D.反思归纳反思归纳探求常规的异面直线所成角的问题探求常规的异面直线所成角的问题,首先要理清求角的基本步骤为首先要理清求角的基本步骤为“一作一作,二二证证,三求三求”,通过平行线或补形平移法把异面直线转化为相交直线进而求其夹通过平行线或补形平移法把异面直线转化为相交直线进而求其夹角角,其中空间选点任意但要灵活其中空间选点任意但要灵活,如常选择如常选择“端点端点,中点中点,等分点等分点”,通过三角形通过三角形的中位线平行于底边的中位线平行于底边,长方体对面上的平行线进行平移等长方体对面上的平行线进行平移等.这是研究空间图形这是研究空间图形的一种基本思路的一种基本思路,即把空间图形问题转化为平面图形问题即把空间图形问题转化为平面图形问题.【跟踪训练跟踪训练3 3】如图为一个半圆柱如图为一个半圆柱,ADEADE是等腰直角三角形是等腰直角三角形,F,F是线段是线段CDCD的中的中点点,AB=4,AB=4,该半圆柱的体积为该半圆柱的体积为18,18,则异面直线则异面直线ABAB与与EFEF所成角的正弦值为所成角的正弦值为()备选例题备选例题【例例1 1】下列结论中正确的是下列结论中正确的是()在空间中在空间中,若两条直线不相交若两条直线不相交,则它们一定平行则它们一定平行;与同一直线都相交的三条平行线在同一平面内与同一直线都相交的三条平行线在同一平面内;一条直线与两条平行直线中的一条相交一条直线与两条平行直线中的一条相交,那么它也与另一条相交那么它也与另一条相交;空间四条直线空间四条直线a,b,c,d,a,b,c,d,如果如果ab,cd,ab,cd,且且ad,ad,那么那么bc.bc.(A)(A)(B)(B)(C)(C)(D)(D)解析解析:错错,两条直线不相交两条直线不相交,则它们可能平行则它们可能平行,也可能异面也可能异面;显然正确显然正确;错错,若一条直线和两条平行直线中的一条相交若一条直线和两条平行直线中的一条相交,则它和另一条直线可能相交则它和另一条直线可能相交,也可能也可能异面异面;由平行直线的传递性可知正确由平行直线的传递性可知正确.故选故选B.B.【例例2 2】过正方体过正方体ABCDABCD-A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的顶点的顶点A A作直线作直线l,l,使使l l与棱与棱AB,AD,AAAB,AD,AA1 1所成的角都所成的角都相等相等,这样的直线这样的直线l l可以作可以作()(A)1(A)1条条(B)2(B)2条条(C)3(C)3条条(D)4(D)4条条(1)(1)三棱锥三棱锥P-ABCP-ABC的体积的体积;(2)(2)异面直线异面直线BCBC与与ADAD所成角的余弦值所成角的余弦值.
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