指数和指数幂的运算

第二章第二章 基本初等函数（基本初等函数（）引入引入:有一只母兔子，第一年生了两只小兔子；有一只母兔子，第一年生了两只小兔子；第二年，这两只小兔子又各自生了两只小兔第二年，这两只小兔子又各自生了两只小兔子；到了第三年，第二年生的小兔子又各自子；到了第三年，第二年生的小兔子又各自生了两只小兔子；如此下去，到第生了两只小兔子；如此下去，到第n年新生年新生的小兔子共有多少只？的小兔子共有多少只？答：到了第答：到了第n年新生的小兔子共年新生的小兔子共 只只.n2指数在生活中的应用举例指数在生活中的应用举例 增长率问题细菌繁殖问题考古中的问题2.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算(1)nnaaaa 10 annaa1 ，)(*Nn，)0(a.,0*）（Nna 规定规定:整数指数幂整数指数幂一一 复习回顾复习回顾1.1.定义定义:2.2.运算性质运算性质:，nmnmaaa)1(；mnnmaa)()2(，nnnbaab)3()(Znm、以上；nmnmaaa(),nnnaabb()nab 1()nab1nnabnnba ().nba?mnR、1.1.根式根式若若x2=a,若若x3=a，定义：定义：如果如果xn=a（n1,且且nN*），），那么那么x叫做叫做a的的n次方根次方根.二二 新课讲授新课讲授，为奇数）记作naxn(.3ax 记作则则x叫做叫做a的平方根的平方根.则则x叫做叫做a的立方根的立方根.)0(aax记作.0(为偶数），或naan例如:327532，3，236a，2a正数的奇次方根是正数，负数的奇次方根正数的奇次方根是正数，负数的奇次方根是负数，用符号是负数，用符号表示表示.na正数的偶次方根是两个互为相反数的数，用正数的偶次方根是两个互为相反数的数，用符号符号表示表示.)0(aan.00 n记作负数没有偶次方根负数没有偶次方根.0的任何次方根都是的任何次方根都是0，416.2 n 叫根指数根指数，a 叫被开方数开方数.na叫根式，式子根据根据n次方根的意义，次方根的意义，当n为奇数时，.anna当n为偶数时，).0()0(aaaa，|annaaann)(问：问：aann成立吗？成立吗？成立吗？成立吗？答：答：.)(成立aann.不一定成立aann归纳：归纳：，）若（axn1为偶数），0(，为奇数）(，则naanaxnn.)()2(aann(3)当n为奇数时，.a当n为偶数时，).0()0(aaaa，|annanna例1 求下列各式的值：338)1(）（210)2(）（443)3(baba2)4(解：338)1(210)2(443)3(2)4(ba；810；103；3ba.)(baba课堂练习：乐学P26变式1、例22.2.分数指数幂：分数指数幂：510a请大家看下列式子：312a552)(a334)(a(a 0)，(a 0)，2a510a4a312a这就是说，当根式的被开方数的指数能这就是说，当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式幂的形式.那么，当根式的被开方数的指数不能被那么，当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式呢指数幂的形式呢？2.2.分数指数幂：分数指数幂：32a32a21b(b 0)，(c 0).(a 0)，b45c45c能否把下列根式写为：能否把下列根式写为：如果可以，那么整数指数幂的运算性质如果可以，那么整数指数幂的运算性质()knknaa 对分数指数幂是否仍然适用对分数指数幂是否仍然适用？nma)10(*nNnma且，nma我们规定正数的正分数指数幂的意义是：我们规定正数的正分数指数幂的意义是：0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义.)10(*nNnma且，nma1即根式都可以写成分数指数幂的形式即根式都可以写成分数指数幂的形式.nma规定：规定：整数指数 有理数指数有理数指数幂的运算性质：有理数指数幂的运算性质：)，Qs，r，a(aaa，aaasrsrsrsr0（1），)，0()()2(Qsraaasrsr).，0，0()()()3(Qrbababababarrrrrr例例2 2 求值求值.)8116(，)41(，100，84332132解解:3283)41(43)8116(；42232323232）（；101212)10(121100121100；6462)3()2(232)2(.8273)32()43(4)32(.，3232aaaaaa例例3.用分数指数幂的形式表示下列各式用分数指数幂的形式表示下列各式(式中式中a0):指数幂的运算：指数幂的运算：3.3.无理数指数幂：无理数指数幂：阅读教材第阅读教材第52页至第页至第53页页.一般地，无理数指数幂一般地，无理数指数幂是一个确定的实数是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂适用于无理数指数幂.(0,aa 是无理数是无理数)整数指数 有理数指数 实数指数有理数指数幂的运算性质：有理数指数幂的运算性质：，)，0(，）1（Rsraaaaaaasrsrsrsr，)0()()2(Rsraaasrsr).，0，0()()()3(Rrbababababarrrrrr21151133662231884(1)(2)(6)(3)(2)()a ba ba bm n 例例4.计算下列各式（式中字母均为正数）计算下列各式（式中字母均为正数）23432(1)(25125)25(2)(0)aaaa ；例例5.计算下列各式计算下列各式:解解:231322(1)(55)5 原原式式22132(2)aaa 原原 式式213132225555 65.a 655；2131322255 165512223a 56a 关于分数指数幂要注意以下几点：关于分数指数幂要注意以下几点：（1）的意义：分数指数幂是根式的另一种的写法，根式与的意义：分数指数幂是根式的另一种的写法，根式与分式指数幂表示相同意义的量，只是形式上的不同而已分式指数幂表示相同意义的量，只是形式上的不同而已.（2）0的指数幂：的指数幂：0的正分数指数幂是的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂没的负分数指数幂没有意义有意义.（3）指数概念在引入了分数指数幂概念后，指数概念就实现指数概念在引入了分数指数幂概念后，指数概念就实现了由整数指数幂向有理指数幂的扩充了由整数指数幂向有理指数幂的扩充.（4）在进行指数幂运算时，应化负指数为正指数，化根式为）在进行指数幂运算时，应化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，这样便于进行乘、分数指数幂，化小数为分数进行运算，这样便于进行乘、除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的.nma23-232-221-212-21-)4(;-)3(;)2(;1,3xxxxxxxxxx）（求求下下列列各各式式的的值值：已已知知：(1)7;(2)5;(3)3 5;(4)4思考：思考：课后作业课后作业1.习题习题2.1A组组14题题2.乐学乐学2.1.1灰皮灰皮3.乐学乐学2.1.1蓝皮变式蓝皮变式2、例、例3、变式、变式34.国庆练习题国庆练习题2套套