关于多元函数积分学

(1)(1)细棒的质量细棒的质量定积分概念的回顾定积分概念的回顾l质量均匀分布质量均匀分布 线密度线密度 f 为一常量为一常量 乘乘法法lfm 1)例：例：物体质量的计算物体质量的计算关于多元函数积分学关于多元函数积分学（一）两类函数的积分（一）两类函数的积分求非均匀分布的可加量的一种有效的数学方法.1.数量值函数的积分数量值函数的积分质量非均匀分布质量非均匀分布)(xfx的函数的函数线密度是点线密度是点x0bxn“分分”ab1kxkxax 0k“匀匀”kxkkxf)(kmnkkkxfm1)(“合合”|max,)(lim110dknknkkkxdxfm “精精”baxxfd)(2)(2)平面薄板的质量平面薄板的质量 )(质量均匀分布质量均匀分布 面密度面密度 f 为一常量为一常量 fm)(质量非均匀分布质量非均匀分布 面密度面密度)(),(MMfxy o“分分”nknk,),()(21块块任意分成任意分成把把“精精”“合合”nkkkMfm1)(nkkkMfm10d,)(lim 的的为所有子域为所有子域)(kd.直径的最大值直径的最大值“匀匀”)(,)(kkkkkMMfm)(k kM(3)(3)其他类型物体的质量其他类型物体的质量 平面或空间物质曲线段平面或空间物质曲线段(C)(C)物质曲面块物质曲面块(S)(S)空间物体空间物体 (4)(4)有界物质几何形体的质量有界物质几何形体的质量 形体形体度量度量)(nkkkMfm1)(nkkkMfm10)(limdkkkMfm)(“匀匀”“分分”“合合”“精精”nkk,2,1),()(.,2,1,)(,)(nkMfMkkkk 作作乘乘积积：上上任任取取一一点点在在 nkkkMf1)(作作和和式式 nkkkdMf10)(lim取取极极限限,)()(上上的的任任意意选选取取在在的的任任意意划划分分和和如如果果对对于于kkM上上在在则则称称均均趋趋向向于于同同一一个个常常数数上上述述和和式式时时当当)(,0fAd,)(,上上的的积积分分在在称称为为函函数数可可积积fA2).多元数量值函数积分的定义,)(:.,)(Rf可度量可度量为一有界的几体形体为一有界的几体形体设设.,2,1,),()(nknkk 其几何度量为其几何度量为部分部分任意分成任意分成把把 nkkkMfMf10d)()(limd)(直直径径中中的的最最大大值值。是是所所有有其其中中),2,1)(,nkdk 记记作作 nkkkkkSfC10d),(lim)()()5(第第一一型型）曲曲线线积积分分(,d),()(CszyxfzxoykM定定积积分分,d)()(lim,)()1(10d nkbakkxxfxfba 二二重重积积分分,d),(),(lim)()()2(1)(0d nkkkkyxff 三三重重积积分分,d),(),(lim)()()3(1)(0d nkVkkkkVzyxfVfV 特殊情形特殊情形 )(10dd)()(limnkkkMfMf nkkkkkSfS10d),(lim)()()4(第第一一型型）曲曲面面积积分分(,d),()(SSzyxfxkMzyo)(S性质共同（特殊），计算分开性质共同（特殊），计算分开注注 (1)记号nkkkkkCsfszyxf10d)(),(limd),(kkkkttktzyxttztytxsCfttzztyytxxCkk)()()(d)()()()()(),(),(:)(22222211光滑),(),(),(kkkkkkzyx取222d0d011lim(,)lim(),(),()()()()nnkkkkkkkkkkkkkfsf xyzxyzt 连续fttztytxtztytxfszyxfCd)()()()(),(),(d),(222)(即弧微分。从而可知,dd 222tzyxs注注（2）22d01()22()(,)dlim,(,)1(,)(,),(,)1dnkkkkxkkykkkkSxyf x y zSfzzzf x y z x yzz 积函数对区域的微分）曲面面积微元（曲面面故d1d22yxzzS2222()1d1(,)(,)(,)()kkxyxkkykkkkkkSzzzz )(),(),(,),(limd),(110d)(CyxzzCfSfSzyxfnkkkkkS 2.向量值函数的积分 (1)第二型线积分 常力沿直线位移作功：)(PFP)(CFAB)d)(d)()()(CCrPFsPFABFwkkkkMMPFw1)(变力沿曲线作功：1d01lim()nkkkkwF PMM)(C1kMkMkP()kFPd01()()lim()()()ddd(,)(ddd)()nkkkkkkkCCP PxQ PyR PzPxQyRzP Q Rxyz，记号)(d)()(lim 1)(10d记号一般nkCkkksPAMMPAd01()(,)dlim(,)():(),(),()(),(),()()dnkkkkkCP x y zxPxCxx tyy tzz tP x ty tz t x tt 计算法.d)(dttxx方知。于是可知dtzyxdzdydxs),(),(d为弧微分向量。称。其模为弧微分的符号，其方向取决于为切线上的一个向量，故（即曲线的正向），增大时曲线的方向一致与是一个切向量，其方向由于dsdzdydxdsdtdstzyx222)()()(),()()()()()()()(,)(cos,cos,cos)(coscoscos)CCCCCA PdsA Pe dsPdxQdyRdzP Q RdsPQRds （第二型）（第一型）两类有关线积分问题的小结两类有关线积分问题的小结1.不考虑曲线的方向不考虑曲线的方向2.考虑曲线的方向考虑曲线的方向 两种表示：两种表示：dtzyxtztytxfdszyxfABBA)()(222)(),(),(),()(第一型(c)dtzRyQxP)()(.(C)ABtt dttzRtyQtxtztytxP)()()(.)(.)()(),(),(dtzRyQxP.)(),(),(222222dtzyxzyxxtztytxP BABARQdseAdscoscosPcos)2(（第一型）(c)(c)()()()(P),()1(ABBAABBARdzQdydxdszyxA（第二型）(c)(c)第二型面积分)2(ne)(kMvkM)(kS流过平面的流量常流速v d01()lim()dnkkkSQv MSvS 流过曲面的流量变流速)(MvenQvSv S()e()e()kknkkknkkQv MMSMSS nevS0011lim()()lim()nnknkkkkddkkA MeMSA MS一般(,)(cos,cos,cos)nAP Q Re()(coscoscos)()SPQRdS第一型222211cos,1yxxyyxZZdZZdS dxdzddSdzdyddSzxyz coscos()(SPdydzQdzdxRdxdy笫二型)(cos,cos,cos),dSdSdSdS有向曲面面积微元在三个坐标面上的有向投影；在三个坐标轴上的投影 dSdS),(dydxdxdzdzdydSdSen，（曲面面积微元向量）),(),()(dydxdxdzdzdyRQPS)();(),(:S1CACyxzz ）（dydxddSxy cos()()SAd S记 号()nSA e dS|),()(,d)(1.2222)(22byxayxyx计算例）极坐标变换（二重积分yab()y 1(x)y 2(x)无限累加xoxyy)()(换元法重积分的坐标变换二 )(bayxdd?ddd)(320)(2)(22)()()(21d),(dd),(xyxybayyxfxyxf222222sincos:yxyyxxyxT令作坐标变换解法一：在同一平面上作映射在不同直角坐标平面间解法二：o a b x 3p)(1py2p2p0p020ob00a2p1p3p0p)(T()()baffyxfddd)sin,cos(d),(20)()(sincos:T(?)(1T1yx（圆周圆周）sincos00T01yx)(tansincos000T01射线xyyx)()()(1T伸缩系数，故为累次积分累次积分限，可直接化平面上变换后容易确定若在 xoy 2()()分割说明：222222sincos yxyyxxyx为何用xyyxarctan22而不用对应建立间右（左）半平面与域后者只能在110,22|),(xoy互不包含与条件(3)(2)正则变换2满足以下三个条件：若变换定义mmRGRGT)()(:;11)()()2(变换的到是从GGT);()1(1GCT ()()TGG 可以证明：正则变换 将的内部映射为的内部，外部映射为外部，边界映射为边界。也为一正则变换。为一正则变换，且则称1TT(3)Jacobidet()0,()TD T uuG 的行列式不为零，即。)3()2(条件条件.0,031003det22时当uuuDT1 11(),()()(,)|88,22TTCGGGx yxy 显然22,22|),()(,:23vuvuGvyuxT例(3)T但不满足21,40|),()(,sin,cos:1 GyxT例2)2,2,4()2,4(442oyo11x)1,1()2()3(条件条件 1sincos()det0,(,)(),cossinTC GDTG 显然且(2)但不满足。(2)(3)?.1解对隐函数存在定理的理说明 1 11 1 局部全局cos,sin,xy()(,)|04,12G 0000(,)1 1.x y 在邻域00(,)(,)0(,)x y 000000 cos,sinxy极坐标变换漏洞的弥补2ao22)()(yxo)(222|),()(,d),(ayxyxyxf例.sin,cos:1yxT.sin,cos,:222222yxyyxxyxT).0(0d|ddddd)sin,cos(d),()()()()()()(MDfffffyxfDD才正则。时，当)(20,0,),(),(1TTyxvvv0o0u0P1P3P2Puu 0u0v)(),(),(),()(yxvvyxuuTdyxf：正则变换。划分用vucvcu),()(21yox)(T)(vou曲线坐标变换.33Puuyxu0),(1P0P2P0),(uyxuvvyxv0),(0),(vyxvoxy)(),(),(),(),(),(:0000010vuyvuxvurvuyyvuxxPP),(),(:1vuyyvuxxT11TC00220 10022000022000000(,)(,)d,(;)(;),(01)(,)(,)(,)()vvvvvvvvvvPPx u vy u vvx u vvy u vvvx u vy u vvr u vv 弧微分00020(,)ur uvuP PP同理，是曲线在点的弧微分向量0001000(,).(,)vvr u vP PPr u vv是曲线在 点的一个切向量也是相应的一个切向量，其模为弧微分弧微分向量)(),(),(|00|),(),(|),(0000201000 vuvvuuvuvuyxvuyxyxkjivuvurvurPPPP放缩系数),(),(.d),(),(),(),(d),()()(vuyxvuyxvuyvuxfyxf2P1P),(),(00vuyyvuxx),(),(00vuyyvuxx2Pxyo)(3P1P0P0)b0,(a.1)(d 12222)(2的内部为椭圆，其中计算例byaxx4ddcosddcosd31023203)(222)(2babaabax 于是;,以计算边界曲线比较复杂，难采用极坐标解)20,10(sin.cos 22222222byax令用曲线坐标abbbaayx|cossinsincos|),(),(cos,sin(01,02)xayb即dddd),(),(abyx从而面积元素所围成的区域。及直线53973,3,1其中()是由dx)(y计算I例2：(xyxyxyxy);4,3(),3,6(),61,617(),65,61(DCBA 解：交点为 2131cxycxy xyvxyu31令 vuyvux43414343或,4343414343),(),(vuyx这时3384343),(),(43434341)(13597)()()(ududvududvdudvvuyxvuvudxyI于是 谢 谢