第二讲递推算法课件

引例引例.Fibonacci数列数列 Fibonacci数列的代表问题是由意大利著名数学家Fibonacci于1202年提出的“兔子繁殖问题”(又称“Fibonacci问题”)。问题：一个数列的第0项为0，第1项为1，以后每一项都是前两项的和，这个数列就是著名的裴波那契数列，求裴波那契数列的第N项。由问题,可写出递推方程解答2120121nffnnfnnn算法：F0:=1;F1:=2;FOR i:=2 TO N DO Fi:=Fi 1+Fi 2;总结 从这个问题可以看出，在计算裴波那契数列的每一项目时，都可以由前两项推出。这样，相邻两项之间的变化有一定的规律性，我们可以将这种规律归纳成如下简捷的递推关系式：Fn=g(Fn-1)，这就在数的序列中，建立起后项和前项之间的关系。然后从初始条件（或是最终结果）入手，按递推关系式递推，直至求出最终结果（或初始值）。很多问题就是这样逐步求解的。对一个试题，我们要是能找到后一项与前一项的关系并清楚其起始条件（或最终结果），问题就可以递推了，接下来便是让计算机一步步了。让高速的计算机从事这种重复运算，真正起到“物尽其用”的效果。递推概念 给定一个数的序列给定一个数的序列H0,H1,Hn,若存在若存在整数整数n0，使当，使当nn0时时,可以用等号可以用等号(或大于号、或大于号、小于号小于号)将将Hn与其前面的某些项与其前面的某些项Hn(0i=1,y=1,z=x 输入：x,y,z的数值 输出：成虫对数 示例：输入：x=1 y=2 z=8输出：37分析 首先我们来看样例：每隔1个月产2对卵，求过8月（即第8+1=9月）的成虫个数月份123456789新增卵 0222610142646成虫111357132337分析 设数组Ai表示第i月新增的成虫个数。由于新成虫每过x个月产y对卵，则可对每个Ai作如下操作:Ai+k*x+2:=Ai+k*x+2+Ai*y (1=k,i+k*x+2z+1 end;begin readln(x,y,z);a1:=1;初始化 for i:=1 to z do add(i);对每个AI进行递推 ans:=0;for i:=1 to z+1 do ans:=ans+ai;累加总和 writeln(ans);end.例例2:Hanoi塔问题塔问题 Hanoi塔由n个大小不同的圆盘和三根木柱a,b,c组成。开始时，这n个圆盘由大到小依次套在a柱上，如图1所示。要求把a柱上n个圆盘按下述规则移到c柱上：(1)一次只能移一个圆盘；(2)圆盘只能在三个柱上存放；(3)在移动过程中，不允许大盘压小盘。问将这n个盘子从a柱移动到c柱上，总计需要移动多少个盘次？a b c 图1分析 设hn为n 个盘子从a柱移到c柱所需移动的盘次。显然，当n=1时，只需把a 柱上的盘子直接移动到c柱就可以了，故h1=1。当n=2时，先将a柱上面的小盘子移动到b柱上去；然后将大盘子从a柱移到c 柱；最后，将b柱上的小盘子移到c柱上，共记3个盘次，故h2=3。以此类推，当a柱上有n(n=2)个盘子时，总是先借助c柱把上面的n-1个盘子移动到b柱上，然后把a柱最下面的盘子移动到c柱上；再借助a柱把b柱上的n-1个盘子移动到c柱上；总共移动hn-1+1+hn-1个盘次。hn=2hn-1+1 边界条件：h1=1例例3:平面分割问题平面分割问题 设有n条封闭曲线画在平面上，而任何两条封闭曲线恰好相交于两点，且任何三条封闭曲线不相交于同一点，问这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。分析 设an为n条封闭曲线把平面分割成的区域个数。由图2可以看出：a2-a1=2；a3-a2=4；a4-a3=6。从这些式子中可以看出an-an-1=2(n-1)。当然，上面的式子只是我们通过观察4幅图后得出的结论，它的正确性尚不能保证。下面不妨让我们来试着证明一下。当平面上已有n-1条曲线将平面分割成an-1个区域后，第n-1条曲线每与曲线相交一次，就会增加一个区域，因为平面上已有了n-1条封闭曲线，且第n条曲线与已有的每一条闭曲线恰好相交于两点，且不会与任两条曲线交于同一点，故平面上一共增加2(n-1)个区域，加上已有的an-1个区域，一共有an-1+2(n-1)个区域。所以本题的递推关系是 an=an-1+2(n-1)边界条件是a1=2。例例4：杨辉三角 分析组合公式的证明：CCCrnrnrn111)!()!1()1()!1(!)!1(111rnrnrnrnCCrnrn！CCCrnrnrnrnrnrnrrnrnn)!(!)!(!)!1()()1(111！例例5：Catalan数数 在一个凸n边形中，通过不相交于n边形内部的对角线，把n边形拆分成若干三角形，不同的拆分数目用hn表示，hn即为Catalan数。例如五边形有如下五种拆分方案，故h5=5。求对于一个任意的凸n边形相应的hn。分析设Cn表示凸n边形的拆分方案总数。由题目中的要求可知一个凸n边形的任意一条边都必然是一个三角形的一条边，边P1 Pn也不例外，再根据“不在同一直线上的三点可以确定一个三角形”，只要在P2，P3，Pn-1点中找一个点Pk(1kn)，与P1、Pn 共同构成一个三角形的三个顶点，就将n边形分成了三个不相交的部分(如图)，我们分别称之为区域、区域、区域，其中区域必定是一个三角形，区域是一个凸k边形，区域是一个凸n-k+1边形，区域的拆分方案总数是Ck，区域的拆分方案数为Cn-k+1，故包含P1PkPn的n 边形的拆分方案数为CkCn-k+1种，而Pk可以是P2，P3，Pn-1种任一点，根据加法原理，凸n边形的三角拆分方案总数为:112inniiCC边界条件C2=1。例例6：贮油点 一辆重型卡车欲穿过1000公里的沙漠，卡车耗汽油为1升/公里，卡车总载油能力为500公升。显然卡车装一次油是过不了沙漠的。因此司机必须设法在沿途建立若干个贮油点，使卡车能顺利穿过沙漠。试问司机如怎样建立这些贮油点？每一贮油点应存储多少汽油，才能使卡车以消耗最少汽油的代价通过沙漠？编程计算及打印建立的贮油点序号，各贮油点距沙漠边沿出发的距离以及存油量。格式如下：No.Distance(k.m.)Oil(litre)1 2 分析 设Wayi第i个贮油点到终点（i=0）的距离；oili第i个贮油点的贮油量；我们可以用倒推法来解决这个问题。从终点向始点倒推，逐一求出每个贮油点的位置及存油量。从贮油点i向贮油点i+1倒推的方法是：卡车在贮油点i和贮油点i+1间往返若干次。卡车每次返回i+1点时应该正好耗尽500公升汽油，而每次从i+1点出发时又必须装足500公升汽油。两点之间的距离必须满足在耗油最少的条件下，使i点贮足i*500公升汽油的要求（0in-1）。倒推第一步 第一个贮油点i=1应距终点i=0处500km，且在该点贮藏500公升汽油，这样才能保证卡车能由i=1处到达终点i=0处，这就是说 Way1=500；oil1=500；倒推第二步为了在i=1处贮藏500公升汽油，卡车至少从I=2处开两趟满载油的车至i=1处，所以i=2处至少贮有2*500公升汽油，即oil2=500*2=1000；另外，再加上从i=1返回至i=2处的一趟空载，合计往返3次。三次往返路程的耗油量按最省要求只能为500公升，即d1,2=500/3km，Way2=Way1+d1,2=Way1+500/3倒推第三步 为了在I=2处贮藏1000公升汽油，卡车至少从I=3处开三趟满载油的车至I=2处。所以I=3处至少贮有3*500公升汽油，即oil3=500*3=1500。加上I=2至I=3处的二趟返程空车，合计5次。路途耗油亦应500公升，即d23=500/5，Way3=Way2+d2,3=Way2+500/5；倒推第k步 为了在i=k处贮藏k*500公升汽油，卡车至少从i=k+1处开k趟满载车至i=k处，即oilk+1=(k+1)*500=oilk+500，加上从i=k返回i=k+1的k-1趟返程空间，合计2k-1次。这2k-1次总耗油量按最省要求为500公升，即dk,k+1=500/(2k-1)Wayk+1=Wayk+dk,k+1=Wayk+500/(2k-1)；i=n的情形 i=n至始点的距离为1000-Wayn,oiln=500*n。为了在i=n处取得n*500公升汽油，卡车至少从始点开n+1次满载车至I=n，加上从I=n返回始点的n趟返程空车，合计2n+1次，2n+1趟的总耗油量应正好为（1000-Wayn）*(2n+1)，即始点藏油为oiln+(1000-Wayn)*(2n+1)。精品课件精品课件！精品课件精品课件！动态规划与递推的关系递推的关系 上题实质上是采用动态规划来求解上题实质上是采用动态规划来求解,那么与递推那么与递推动态规划之间到底是什么关系呢？动态规划之间到底是什么关系呢？我们不妨画个图我们不妨画个图(如下图如下图)。而通常人们理解的递。而通常人们理解的递推关系就是一般递推关系，故认为动态规划与推关系就是一般递推关系，故认为动态规划与递推关系是两个各自独立的个体。递推关系是两个各自独立的个体。动态规划一般递推关系递推关系