第3章 资金的时间价值及等值计算

第第3 3章章 资金的时间价值及动态分析资金的时间价值及动态分析3.1 3.1 资金的时间价值资金的时间价值3.2 3.2 资金的动态等值分析资金的动态等值分析 3.1 3.1 资金的时间价值资金的时间价值 （Time Value of MoneyTime Value of Money）一、资金的时间价值概念 资金的价值既体现在额度上，同时也资金的价值既体现在额度上，同时也体现在发生的时间上。体现在发生的时间上。例例：有一个公司面临两个投资方案：有一个公司面临两个投资方案A，B，寿命期都，寿命期都是是4年，初始投资也相同，均为年，初始投资也相同，均为10000元。实现利润的元。实现利润的总额也相同，但每年数额不同，具体数据见下表：总额也相同，但每年数额不同，具体数据见下表：年末年末A方案方案B方案方案0-10000-10000170001000250003000330005000410007000资金的时间价值：资金的时间价值：资金在周转使用过程中由于资金在周转使用过程中由于时间因素而形成的价值时间因素而形成的价值差额差额。资金时间价值如何度量？资金时间价值如何度量？例如：社会总体资金例如：社会总体资金 具体资金具体资金二、现金流量图（cash flow diagram）现金流出量现金流出量：项目所需的项目所需的各种费用各种费用，例如投资、例如投资、成本等成本等现金流量现金流量（cash flowcash flow）：）：由许多次投入（支出由许多次投入（支出）和产出（收入）按时间顺序构成的动态序量）和产出（收入）按时间顺序构成的动态序量 现金流入量：项目带来的各种收入，例如销售收入、利润等收 支disbursement receiptsP01234n-1n年例例：现金流量图现金流量图：现金流量图的观点：现金流量图的观点：1262010001 234借款人 收入支出支出100012624贷款人 0123收入例：3.2 3.2 资金等值（Equivalent Value）计算 一、一、折现的概念现在值（现在值（Present Value 现值）：现值）：未来时点上的资金折现到现在时点的资金价值。将来值（将来值（Future Value 终值）：终值）：与现值等价的未来某时点的资金价值。折现（折现（Discount 贴现）：贴现）：把将来某一时点上的资金换算成与现在时点相等值的金额的换算过程例：定期一年存款100元，月息9.45厘，一年后本利和111.34元。这100元就是现值，111.34元是其一年后的终值。终值与现值可以相互等价交换，把一年后的111.34元换算成现在的值100元的折算过程就是折现：1=+=1PFni=+111.3412 0.00945100利率（Interest Rate）：一定时间（年、月）所得到的利息额与原资金额（本金）之比，通常用百分数表示计息周期（Interest Period）：计算利息的时间单位 付息周期：在计息的基础上支付利息的时间单位 二、二、利息的概念利息（Interest）：资金通过一定时间的生产经营活 动以后的增值部分或投资的收益额 三、单三、单利和复利单利（Simple Interest）：只计本金利息，而利息 不计利息。P本金 n计息期数 i利率 I利息总额 F本利和()FPniPI=+=+1IP=ni例：第0年末存入1000元，年利率6，4年末可取多少钱？124010006%=60118010006%=60112010006%=60106010006%=601000043210年末本利和年末本利和年末利息年末利息年年末末I100046240 F10002401240 复利（Compound interest）：除本金以外，利息也计算下个计息期的利息，即利滚利。1262.481191.026%=71.461191.021123.606%=67.421123.6010606%=63.60106010006%=601000043210年末本利和年末本利和年末利息年末利息年年末末本金越大，利率越高，年数越多时，两者差距就越大。我国银行对储蓄存款实行级差单利计算我国银行对储蓄存款实行级差单利计算例：某年某月定期存款利率例：某年某月定期存款利率存款种类存款种类3 3个月个月6 6个月个月一年一年二年二年三年三年五年五年年利率年利率%1.981.982.162.162.252.252.432.432.702.702.882.88我国银行对贷款实行复利计算我国银行对贷款实行复利计算例：年利率例：年利率2.25%2.25%复利计算，存两年复利计算，存两年1000010000元本金到期可得本利和为元本金到期可得本利和为 10000 10000（1+0.0225)1+0.0225)2 2=10455.06=10455.06 若按两年单利若按两年单利2.43%2.43%计算计算,存两年定期本利和为存两年定期本利和为 10000 10000（1+21+20.0243)=104860.0243)=10486一次支付终值公式；一次支付终值公式；一次支付现值公式；一次支付现值公式；等额支付系列终值公式；等额支付系列终值公式；等额支付系列偿债基金公式；等额支付系列偿债基金公式；等额支付系列资金回收公式；等额支付系列资金回收公式；等额支付系列现值公式；等额支付系列现值公式；等差支付系列终值公式；等差支付系列终值公式；等差支付系列现值公式；等差支付系列现值公式；等差支付系列年值公式；等差支付系列年值公式；等比支付系列现值与复利等比支付系列现值与复利公式公式 符号定义符号定义：P 现值 F 终值 i 年利率 n 计息期数 A 年金（年值）Annuity计息期末等额发生的 现金流量 G 等差支付系列中的等差变量值Arithmetic Gradient g 等比系列中的增减率Geometric 0 1 2 3 .n-1 n年F=?P公式推导：设年利率i 年年 末末 年末利息年末利息 年末本利和年末本利和 0123n()iiP+1()Pii12+()Piin11+()iPPiP+=+1()()()PiPi iPi1112+=+()Pi13+()Pin1+0PPi F=P(1+i)n(1+i)n=（F/P，i，n）_一次支付终值系数（Compound amount factor,single payment）即n年后的将来值为：=P（F/P，i，n）例例：某工程现向银行借款某工程现向银行借款100100万元，年利率为万元，年利率为10%10%，借期借期5 5年，一次还清。问第五年末一次还银行本利年，一次还清。问第五年末一次还银行本利和是多少和是多少?或 F=P（F/P，i，n）F=P(1+i)n=（1+10%）5 100=161.1（万元）解：=100（F/P，10%，5）(查复利表）=100 1.611=161.1（万元）P=F(1+i)-n0 1 2 3 .n-1 n 年FP=？(1+i)-n=（P/F，i，n）一次支付现值系数（Present Worth Factor,Single Payment）=F（P/F，i，n）例：例：某企业拟在今后第某企业拟在今后第5 5年末能从银行取出年末能从银行取出2020万万元购置一台设备，如年利率元购置一台设备，如年利率10%10%，那么现应存入，那么现应存入银行多少钱？银行多少钱？解解:P=20 0.6209=12.418（万元）=20（1+10%）-5 A A A .A A 0 1 2 3 .n-1 n年F=?FAAAA=+)(i+1)(i+1()i+1n2n1L()()()()()FiAiAiAiAinn1111121+=+L()()niAAFiF+=+11()FiAin=+11(1+i)n-1i即即=（F/A，i，n）等额支付系列终值系数（compound amount factor,uniform series）=AF(1+i)n-1i=A（F/A，i，n）某厂连续某厂连续3 3年，每年末向银行存款年，每年末向银行存款10001000万元，万元，利率利率10%10%，问，问3 3年末本利和是多少？年末本利和是多少？例：解解:F(1+0.1)3-10.1=1000=3310（万元）(1+i)n-1iA A A .A A=？0 1 2 3 .n-1 n年F =（A/F，i，n）等额支付系列偿债基金系数 （Sinking Fund Factor）=(1+i)n-1iA=F（A/F，i，n）F 某工厂计划自筹资金于某工厂计划自筹资金于5 5年后新建一个基年后新建一个基本生产车间，预计需要投资本生产车间，预计需要投资50005000万元。年利率万元。年利率5%5%，从现在起每年年末应等额存入银行多少钱，从现在起每年年末应等额存入银行多少钱?例：解解:A=F(1+i)n-1i=5000(1+5%)5-15%=50000.181=905（万元）等额支付系列资金回收现金流量图等额支付系列资金回收现金流量图0 1 2 3 .n-1 n 年PA A A .？=A AF=（A/P，i，n）_资金回收系数 （capital recovery factor）(1+i)n-1i(1+i)n()AFiin=+11()FPin=+1而于是=P（A/P，i，n）i=(1+i)n-1A(1+i)n P 某工程项目一次投资某工程项目一次投资3000030000元，年利率元，年利率8%8%，分分5 5年每年年末等额回收，问每年至少回收多少年每年年末等额回收，问每年至少回收多少才能收回全部投资才能收回全部投资?例：解：解：A=P(1+i)n 1 i(1+i)n=(1+0.08)5-10.08(1+0.08)530000=7514（元）某新工程项目欲投资某新工程项目欲投资200万元，工程万元，工程1年建成，生产经营年建成，生产经营期为期为9年，期末不计算余值。期望投资收益率为年，期末不计算余值。期望投资收益率为12，问每年，问每年至少应等额回收多少金额？至少应等额回收多少金额？例例：023456789101PA041.421)12.01()12.01(12.0)12.01(200)9%,12,/)(1%,12,/(200991=+=PAPFA万元万元 P(1+i)n-1i(1+i)n 0 1 2 3 .n-1 n年P=？A A A .A A=A（P/A，i，n）=（P/A，i，n）等额支付系列现值系数 （Present Worth Factor,Uniform Series）=(1+i)n-1i(1+i)n A 某项目投资，要求连续某项目投资，要求连续1010年内连本带利全年内连本带利全部收回，且每年末等额收回本利和为部收回，且每年末等额收回本利和为2 2万元，万元，年利率年利率10%10%，问开始时的期初投资是多少？，问开始时的期初投资是多少？例：解：解：P=2（10%，10P/A，）=12.2892（万元）0 1 2 3 4 5 n-1 nF (n-1)G (n-2)G 4G 3G G 2G 年P()1,/niAF()2,/niAFF=G+G+LG()2,/iAF+G()1,/iAF=()()()()+iiGiiGiiGiiGnn11111111221L()+niiiGn11=()FG i n/,为等差支付系列复利系数（compound amount factor,arithmetic gradient）()+niiin111=记()niPF+=1()()+=+niiiGiPnn111()()PGiiniinn=+1112即()PG i n/,等差支付系列现值系数(arithmetic gradient to present worth)()niGP,/()()+nniiini1112=G=已知某机床售价40000元，可使用10年，不计算残值。据估算第一年维修费为1000元，以后每年按300元递增，i15，求该机床所耗费的全部费用的现值。例：0 1 2 3 8 9 10 年1000 1300 1600 3100 3400 370040000()()PPPP AP G=+=+=+=1240000 100015%,1030015%,1040000 1000 5019300 169850113/,/,.该公式是把等差支付系列换算成等额支付系列()AP A P i n=/,()PG P G i n=/,()()()()()()+=111111 ,/,/2nnnniiiiiiniGniPAniGPGA()()+=1111nniiiniG()()1111+nniiini()niGA,/=记等差支付系列年值系数（arithmetic gradient conversion factor）即()()GniPAniGPGA=,/,/()niGA,/某厂第一年年末销售利润额为50万元，预测在以后4年每年将递增10万元，年利率为10，如果换算成5年的等额支付系列，其年值是多少？例：解：()()101.685%,10,/1050,/1=+=+=GAniGAGAA（万元）0 1 2 3 4 n-1 n A A(1+g)A(1+g)2A(1+g)3 A(1+g)n-2 A(1+g)n-1现金流公式：()11+=ttgAA t=1,n 其中g为现金流周期增减率。经推导，现值公式为：()()+=giigAPnn111gi gi=PnAi=+1()()+giignn111记()nigAP,/=等比支付系列现值系数（geometric gradient to present worth）复利公式：()()()()+=+=giigiAiPFnnnn11111()()()+giiginnn1111=记()nigAF,/某厂投入某厂投入32000元增添一套生产设备，预计第一年产品销售额元增添一套生产设备，预计第一年产品销售额可增加可增加20000元，以后逐年年收入增加率为元，以后逐年年收入增加率为7，计划将每年，计划将每年收入的收入的10按年利率按年利率5存入银行，问存入银行，问10年后这笔存款可否换年后这笔存款可否换回一套新设备？回一套新设备？解：例例：0 1 2 3 10 年2000 2000(1+0.07)2000(1+0.07)9()()()02.2076607.005.005.0107.011200010%,5%,7,/20001010=+=APP()FFP=20766025%,103382566./,.32000元（元）（元）所以10年后可以换一台新设备。五、五、资金等值计算资金等值：资金等值：在同一系统中不同时点发生的相关资金，数额不等但价值相等，这一现象即资金等值。决定资金等值的因素有三个：决定资金等值的因素有三个：资金的金额大小资金的金额大小 资金金额发生的时间资金金额发生的时间 利率的大小利率的大小性质性质：如果两个现金流量等值，则它们在任何时间如果两个现金流量等值，则它们在任何时间折算的相应价值必定相等。折算的相应价值必定相等。按单利计算，相当于只计息不付息，r imc=1%12 12%例：存款100元，每月计息一次，月利率为1，求一年后的本利和。解：按复利计算，相当于计息且付息，()（元）11212.01100=+=F()()（元）68.11201.0110011001212=+=+=ciF%1=cim=12六、名义利率、实际利率与连续利率六、名义利率、实际利率与连续利率i=12.68%（实际利率）（名义利率）m（一年内的）计息期数 名义利率mirc=iciFPP=实际利率其中实际计息期利率按复利计算一年内的利息额与原始本金的比值，即如何根据名义利率计算实际利率呢？()FPicm=+1()()=+=+iPiPPicmcm111irmc=+irmm11又当 时m当m=1时当m 1时即为按连续复利计息计算 i=ri r七、（复利）资金等值计算的几种情况七、（复利）资金等值计算的几种情况在工程经济分析的实践中，有时计息周期是小于一年的，如季、半年、月、周、日等，这时根据支付周期与计息周期的关系可分为三种情况来进行分析。计息周期：计息周期：某某时间计息一次，表明计息且付息，即按复利计算某某时间计息一次，表明计息且付息，即按复利计算支付周期：支付周期：指现金流量的发生周期，亦称支付期。指现金流量的发生周期，亦称支付期。(一一)计息周期等于支付期的情况计息周期等于支付期的情况设年利率12，每季计息一次，从现在起三年内以每季末200元的等额值支出，问与其等值的终值是多少。例：解：irm=0124003.（次）1234=n计息周期利率计息期数()()=FA F Ai nF A/,/,.,.20000312283840 1 2 3 4 8 12（季度）1年 2年 3年200有人目前借入有人目前借入2000元，在今后元，在今后2年中分年中分24次偿还。每次偿还次偿还。每次偿还99.80元元，复利按月计算，试求月实际利率、年名义利率和年实际利率。，复利按月计算，试求月实际利率、年名义利率和年实际利率。()9980200024./,=A P i()A P i/,.249980200000499=例例：即 解：年实际利率 ic=15%.r ic=12 18%irmm=+=+=111018121 1956%12.查表可得 月实际利率年名义利率(二二)计息期小于支付期的情况计息期小于支付期的情况例：某人每半年存入银行500元，共三年，年利率8，每季复利一次，试问3年底他的帐户总额。0 1 2 3 4 5 6（半年）5000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12（季）方法一：先求计息期实际利率，再进行复利计算：计息周期总数为12（季）%24%8=季i()()()()()（元）8.33195002%,2,/500 4%,2,/5006%,2,/5008%,2,/50010%,2,/500=+=PFPFPFPFPFF每季复利一次，则季实际利率方法二：把每个支付周期期末发生的现金流换算为以计息期为基础的等额系列，再求复利和：()（元）季53.2472%,2,/500=FAA()（元）8.331912%,2,/53.247=AFF方法三：先求支付周期的实际利率，再以支付期为基础进行复利计算：%04.4122%212=+=i()（元）8.33196%,04.4,/500=AFF计息期间的存款应放在期末，而计息期间的提款应放在期初。每季度计息一次，年利率8，求年底帐户总额。例：250400100存款提款1001000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12（月）(二二)计息期大于支付期的情况计息期大于支付期的情况解：按上述原则，现金流量图可改画为：10025040010020001234季度300()()()()()（元）3.262 1002%,2,/2503003%,2,/1004%,2,/200400=+=PFPFPFFmirmm=+11()()F P i nirmrmnmnmn/,=+=+=+11111()F P r nenr/,=()P F r nenr/,=()()11,/=rnrnreeenrAP八、连续复利八、连续复利1.连续复利（公式）系数现金流是离散的，复利是连续的，即例如：令m则有同理 此时现金流也是连续的，计算公式虽然较复杂，但在某些情况下，可能也是符合工程项目资金活动实际的。关键是现金流量的数学表达。2.连续现金流量的连续复利计算 THE ENDTHE END演讲完毕，谢谢观看！