212空间中直线与直线之间的位置关系

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系1.1.了解空间两条直线位置关系的分类标准了解空间两条直线位置关系的分类标准.2.2.理解异面直线的定义理解异面直线的定义,会画两条异面直线会画两条异面直线.3.3.掌握公理掌握公理4 4和定理和定理,并会应用并会应用.4.4.会通过转化将空间角转化为平面角会通过转化将空间角转化为平面角,并会求解并会求解.1.1.空间直线的位置关系空间直线的位置关系(1)(1)异面直线：不同在异面直线：不同在_平面内的两条直线平面内的两条直线.(2)(2)空间直线的三种位置关系：空间直线的三种位置关系：位置关系位置关系共面情况共面情况公共点个数公共点个数相交相交在同一平面内在同一平面内_平行平行在同一平面内在同一平面内_异面异面不同在任何一个平面内不同在任何一个平面内_任何一个任何一个有且只有一个有且只有一个零个零个零个零个2.2.公理公理4 4及定理及定理(1)(1)公理公理4 4：平行于同一条直线的两条直线互相：平行于同一条直线的两条直线互相_._.符号表示：符号表示：ab,bcab,bc_._.(2)(2)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两那么这两个角个角_._.平行平行acac相等或互补相等或互补3.3.异面直线所成的角异面直线所成的角(1)(1)定义：已知两条异面直线定义：已知两条异面直线a,b,a,b,经过空间任意一点经过空间任意一点O O作直线作直线aa,bb,aa,bb,则异面直线则异面直线a a与与b b所成的角就是直线所成的角就是直线aa与与bb所成的所成的_._.(2)(2)范围：范围：_._.特别地特别地,当当=_=_时时,a,a与与b b互相垂互相垂直直,记作记作_._.锐角锐角(或直角或直角)0 090909090abab1.“1.“判一判判一判”理清知识的疑惑点理清知识的疑惑点(正确的打正确的打“”,”,错误的打错误的打“”).”).(1)(1)分别在两个平面内的直线一定为异面直线分别在两个平面内的直线一定为异面直线.(.()(2)(2)两条直线垂直两条直线垂直,则一定相交则一定相交.(.()(3)(3)平行于同一条直线的两条直线一定平行平行于同一条直线的两条直线一定平行.(.()(4)(4)两条直线和第三条直线成等角两条直线和第三条直线成等角,则这两条直线平行则这两条直线平行.(.()提示：提示：(1)(1)错误错误.分别在两个平面内的直线有可能存在第三个分别在两个平面内的直线有可能存在第三个平面同时经过这两条直线平面同时经过这两条直线,这时这两条直线是共面的这时这两条直线是共面的.(2)(2)错误错误.当两条异面直线所成角为当两条异面直线所成角为9090时时,两条直线异面垂直两条直线异面垂直,但它们不相交但它们不相交.(3)(3)正确正确.根据公理根据公理4 4知知,该结论正确该结论正确.(4)(4)错误错误.这两条直线还可能相交或异面这两条直线还可能相交或异面.答案：答案：(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)2.“2.“练一练练一练”尝试知识的应用点尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线请把正确的答案写在横线上上).).(1)(1)若空间两条直线没有公共点若空间两条直线没有公共点,则这两条直线的位置关系为则这两条直线的位置关系为.(2)(2)如图如图,正方体正方体ABCD-ABCDABCD-ABCD中异面直线中异面直线ABAB与与BCBC所所成的角为成的角为.异面直线异面直线ADAD与与BCBC所成的角为所成的角为.(3)(3)如图如图,正方体正方体ABCD-ABCDABCD-ABCD中中,判断下列直线的位置判断下列直线的位置关系：关系：直线直线ABAB与直线与直线DCDC的位置关系是的位置关系是;直线直线ABAB与直线与直线BCBC的位置关系是的位置关系是.【解析】【解析】(1)(1)根据空间两条直线的位置关系知根据空间两条直线的位置关系知,两条直线没有两条直线没有公共点公共点,则两条直线平行或异面则两条直线平行或异面.答案：答案：平行或异面平行或异面(2)(2)因为因为ABAB,ABAB,所以所以ABCABC为异面直线为异面直线ABAB与与BCBC所成的所成的角角,又又ABBC,ABBC,所以异面直线所以异面直线ABAB与与BCBC所成的角为所成的角为9090.因为因为ADBC,ADBC,所以所以DADDAD为为ADAD与与BCBC所成的角所成的角,因为四边形因为四边形ADDAADDA为正方形为正方形,所以所以DAD=45DAD=45.答案：答案：90904545(3)(3)因为直线因为直线ADAD与与BCBC平行且相等平行且相等,所以四边形所以四边形ADCBADCB为为平行四边形平行四边形,所以直线所以直线ABAB与直线与直线DCDC平行平行.点点A,B,BA,B,B在平在平面面ABBAABBA内内,而点而点C C不在平面不在平面ABBAABBA内内,所以直线所以直线ABAB与直与直线线BCBC异面异面.答案：答案：平行平行异面异面一、空间两条直线的位置关系一、空间两条直线的位置关系探究探究1 1：观察图形：观察图形,思考下面的问题：思考下面的问题：(1)(1)同一平面内的两条直线有几种位置关系同一平面内的两条直线有几种位置关系?提示：提示：同一平面内的两条直线的位置关系有平行、相交同一平面内的两条直线的位置关系有平行、相交.如题如题图中图中a a与与c c平行平行,a,a与与l相交相交.(2)(2)空间中没有公共点的直线一定平行吗空间中没有公共点的直线一定平行吗?没有公共点的两条没有公共点的两条直线一定在同一平面内吗直线一定在同一平面内吗?提示：提示：从题图可知从题图可知,没有公共点的两条直线不一定平行没有公共点的两条直线不一定平行,如直如直线线a a与直线与直线b;b;没有公共点的直线也不一定在同一平面内没有公共点的直线也不一定在同一平面内.(3)(3)从两条直线有没有公共点的角度分析从两条直线有没有公共点的角度分析,空间两条直线都有空间两条直线都有哪些位置关系哪些位置关系?提示：提示：有一个公共点：相交直线有一个公共点：相交直线;没有公共点：没有公共点：平行直线，平行直线，异面直线异面直线.探究探究2 2：异面直线定义中：异面直线定义中“不同在任何一个平面内不同在任何一个平面内”是否可改是否可改为为“不在一个平面内不在一个平面内”呢呢?提示：提示：不可以不可以,因为不在这个平面内因为不在这个平面内,有可能在另一个平面有可能在另一个平面内内,“,“不同在任何一个平面内不同在任何一个平面内”可以理解为可以理解为“不存在一个平面不存在一个平面,使两异面直线在该平面内使两异面直线在该平面内”.【探究提升】【探究提升】空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系(1)(1)空间直线的位置关系有且只有三种：空间直线的位置关系有且只有三种：相交关系相交关系同一平面内，有且只有一个公共点；同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线平行直线同一平面内，没有公共点；同一平面内，没有公共点；异面直线异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点不同在任何一个平面内，没有公共点.(2)(2)从两条直线是否共面角度看，可分为两类：从两条直线是否共面角度看，可分为两类：在同一平面内在同一平面内不同在任一平面内不同在任一平面内异面直线异面直线.平行直线，平行直线，相交直线；相交直线；二、异面直线所成的角二、异面直线所成的角探究探究1 1：探究以下问题，认识异面直线所成的角：探究以下问题，认识异面直线所成的角.(1)(1)已知直线已知直线a,ba,b是两条异面直线，如何作出这两条异面直线是两条异面直线，如何作出这两条异面直线所成的角？所成的角？提示：提示：如图，在空间中任取一点如图，在空间中任取一点O O，作直线，作直线aa,bbaa,bb，则两条相交直线则两条相交直线a,ba,b所成的角所成的角即两条异面直线即两条异面直线a,ba,b所成所成的角的角.(2)a(2)a与与bb所成角的大小与什么有关，与点所成角的大小与什么有关，与点O O的位置有关吗？的位置有关吗？通常点通常点O O取在什么位置？取在什么位置？提示：提示：aa与与bb所成角的大小只由所成角的大小只由a,ba,b的相互位置确定，与点的相互位置确定，与点O O的选择无关，一般情况下为了简便，点的选择无关，一般情况下为了简便，点O O选取在两条直线的选取在两条直线的其中一条直线上其中一条直线上.探究探究2 2：如果两条平行线中的一条与某一条直线垂直，那么另：如果两条平行线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线是否也与这条直线垂直？一条直线是否也与这条直线垂直？提示：提示：垂直，根据异面直线所成角的定义可知，结论成立垂直，根据异面直线所成角的定义可知，结论成立.【探究提升】【探究提升】求两异面直线所成的角需注意的问题求两异面直线所成的角需注意的问题(1)(1)两条异面直线两条异面直线a a与与b b所成的角的大小与点所成的角的大小与点O O的选取无关的选取无关,为了为了方便方便,点点O O常取在两条异面直线中的一条之上常取在两条异面直线中的一条之上,特别地特别地,可以取可以取其中一条直线与过另一条直线的平面的交点处其中一条直线与过另一条直线的平面的交点处,或表示直线的或表示直线的线段的端点或中点线段的端点或中点.(2)(2)将异面直线所成的角转化为平面上相交直线所成的角将异面直线所成的角转化为平面上相交直线所成的角,可可以借助于平面几何的知识进行求解以借助于平面几何的知识进行求解,实现了空间问题的平面化实现了空间问题的平面化.(3)(3)异面直线所成角异面直线所成角的范围是的范围是0 09090,若求得的角在若求得的角在这个范围内这个范围内,则所求的角即为异面直线所成的角则所求的角即为异面直线所成的角.若求得的角若求得的角大于大于9090且小于且小于180180,则其补角为异面直线所成的角则其补角为异面直线所成的角.【拓展延伸】【拓展延伸】定理的几种形式定理的几种形式(1)(1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向相同如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向相同,那么这两个角相等那么这两个角相等.(2)(2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向相反如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向相反,那么这两个角相等那么这两个角相等.(3)(3)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行且其中一组如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行且其中一组方向相同方向相同,另一组方向相反另一组方向相反,那么这两个角互补那么这两个角互补.类型类型 一一 空间直线间位置关系的判定空间直线间位置关系的判定尝试解答下面的问题尝试解答下面的问题,并归纳判断两条直线异面的方法并归纳判断两条直线异面的方法.1.1.如图是一个正方体的展开图如图是一个正方体的展开图,如果将如果将它还原为正方体它还原为正方体,那么那么AB,CD,EF,GHAB,CD,EF,GH这这四条线段所在的直线是异面直线的有四条线段所在的直线是异面直线的有对对.2.2.如图所示如图所示,G,H,M,N,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线则表示直线GH,MNGH,MN是异面直线的图形有是异面直线的图形有.【解题指南】【解题指南】1.1.将正方体的展开图还原为正方体将正方体的展开图还原为正方体,根据平面图根据平面图形中各点在空间图形中的位置关系判断形中各点在空间图形中的位置关系判断.2.2.只需判断只需判断GHGH与与MNMN是否平行或相交是否平行或相交,若两直线既不平行也不相若两直线既不平行也不相交交,则两直线异面则两直线异面.【解析】【解析】1.1.将平面图形还原为立体图形为将平面图形还原为立体图形为根据图形可知根据图形可知,四条线段中有四条线段中有3 3对异面直线对异面直线,分别为分别为ABAB与与CD,ABCD,AB与与GH,EFGH,EF与与GH.GH.答案：答案：3 32.2.中直线中直线GHGH与与MNMN平行平行,中中GMHN,GMHN,且且GMHN,GMHN,所以所以GHGH与与MNMN必相交必相交.中中GH,MNGH,MN是异面直线是异面直线.答案：答案：【技法点拨】【技法点拨】异面直线的两种判定方法异面直线的两种判定方法(1)(1)定义法：由定义判定两直线不可能在同一平面内定义法：由定义判定两直线不可能在同一平面内.(2)(2)定理法：过平面外一点与平面内一点的直线定理法：过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不和平面内不经过该点的直线为异面直线经过该点的直线为异面直线.【变式训练】【变式训练】分别与两条异面直线平行的两条直线的位置关分别与两条异面直线平行的两条直线的位置关系是系是.【解析】【解析】画出图形画出图形,得结论得结论,如图如图(1),(1),分别与异面直线分别与异面直线a,ba,b平行平行的两条直线的两条直线c,d,c,d,其中其中c c与与d d是相交关系是相交关系;如图如图(2),(2),分别与异面直分别与异面直线线a,ba,b平行的两条直线平行的两条直线c,d,c,d,其中其中c c与与d d是异面关系是异面关系.答案：答案：相交或异面相交或异面类型类型 二二 公理公理4 4及定理的应用及定理的应用试着解答下面的问题试着解答下面的问题,总结证明直线平行的方法以及证明总结证明直线平行的方法以及证明两角相等的方法两角相等的方法.1.1.空间中有一个角空间中有一个角AA的两边和另一个角的两边和另一个角BB的两边分别平的两边分别平行行,A=70,A=70,则则B=B=.2.2.如图如图,正方体正方体ABCD-ABCDABCD-ABCD中中,E,F,E,FE,F,E,F分别是棱分别是棱AB,AD,BC,AB,AD,BC,CDCD的中点的中点.求证：四边形求证：四边形EFFEEFFE为平行四边形为平行四边形.【解题指南】【解题指南】1.1.考虑定理考虑定理,即可求出即可求出BB的大小的大小.2.2.利用公理利用公理4,4,证明两直线平行于同一直线证明两直线平行于同一直线,再说明两对边相等再说明两对边相等.【解析】【解析】1.1.因为因为AA的两边和的两边和BB的两边分别平行的两边分别平行,所以所以A=BA=B或或A+B=180A+B=180.又又A=70A=70,所以所以B=70B=70或或110110.答案：答案：7070或或1101102.2.连接连接BD,BD,BD,BD,因为因为E,FE,F分别为分别为AB,ADAB,AD的中点的中点,所以所以EFEF BD,BD,同理同理EFEF BD,BD,在正方体在正方体ABCD-ABCDABCD-ABCD中中,四边四边形形BBDDBBDD为平行四边形为平行四边形,所以所以BDBDBD,BD,所以所以EFEFEF,EF,故四边形故四边形EFFEEFFE为平行四边形为平行四边形.1212【互动探究】【互动探究】题题2 2条件不变条件不变,求证求证EAF=ECF.EAF=ECF.【解题指南】【解题指南】利用定理证明角的两边对应平行利用定理证明角的两边对应平行,同时注意方向同时注意方向问题问题.【证明】【证明】取取ABAB的中点的中点M,M,连接连接FM,BM,FM,BM,则则MF BMF B C C BC,BC,所以四边形所以四边形BMFCBMFC为平行四边形为平行四边形,所以所以BMCF,BMCF,又四边形又四边形BMAEBMAE为平行四边形为平行四边形,所以所以BMAE,BMAE,所以所以AECF.AECF.同理同理AFCE.AFCE.因为因为EAFEAF与与ECFECF的两边分别对的两边分别对应平行应平行,且方向相反且方向相反,所以所以EAF=ECF.EAF=ECF.【技法点拨】【技法点拨】1.1.证明两条直线平行的两种方法证明两条直线平行的两种方法(1)(1)利用平行线的定义：证明两条直线在同一平面内且无公共利用平行线的定义：证明两条直线在同一平面内且无公共点点.(2)(2)利用公理利用公理4 4：寻找第三条直线：寻找第三条直线,然后证明这两条直线都与所然后证明这两条直线都与所找的第三条直线平行找的第三条直线平行,根据公理根据公理4,4,显然这两条直线平行显然这两条直线平行.若题若题设条件中含有中点设条件中含有中点,则常利用三角形的中位线性质证明直线平则常利用三角形的中位线性质证明直线平行行.2.2.证明角相等的两种方法证明角相等的两种方法(1)(1)利用定理利用定理.(2).(2)利用三角形全等或相似利用三角形全等或相似.类型类型 三三 异面直线所成的角异面直线所成的角通过解答下面的问题通过解答下面的问题,掌握求异面直线所成角的一般步骤掌握求异面直线所成角的一般步骤.1.1.正方体正方体ABCD-ABCDABCD-ABCD中中,E,FE,F分别为平面分别为平面ABCDABCD与与AADDAADD的中心的中心,则则EFEF与与CDCD所成所成角的度数是角的度数是.2.2.在空间四边形在空间四边形ABCDABCD中，已知中，已知AD=1AD=1，BC=BC=，且，且ADBCADBC，求求ACAC和和BDBD所成的角所成的角.3133BDAC22，【解题指南】【解题指南】1.1.连接连接BDBD，ABAB，则，则ABEFABEF，将异面直，将异面直线线EFEF与与CDCD所成角转化为所成角转化为ABAB与与ABAB所成的角所成的角.2.2.取取AB,CD,ADAB,CD,AD，ACAC的中点的中点E,G,FE,G,F，H H连接连接EF,FGEF,FG，EGEG，EHEH，HG.HG.将将ACAC和和BDBD所成的角转化为所成的角转化为EFEF与与FGFG的夹角，然后通过解三角形，的夹角，然后通过解三角形，求出求出EFEF与与FGFG的夹角即为的夹角即为ACAC和和BDBD所成的角所成的角.【解析】【解析】1.1.连接连接BDBD，则，则E E为为BDBD的中点，连接的中点，连接ABAB，则，则EFAB,EFAB,又又CDABCDAB，所以，所以BABBAB为异面直线为异面直线EFEF与与CDCD所成角，即所成角，即BAB=45BAB=45.答案：答案：45452.2.如图，取如图，取ABAB，CDCD，ADAD，ACAC的中点的中点E E，G G，F F，H H，连接，连接EFEF，FGFG，GEGE，EHEH，HGHG，则，则EFG(EFG(或其补角或其补角)为为BDBD与与ACAC所成的角，所成的角，且且 EHBCEHBC，HGADHGAD，113EFBD24，13FGAC24，因为因为ADBCADBC，所以，所以EHHGEHHG，所以所以EGEG2 2=EH=EH2 2+HG+HG2 2=(BC)=(BC)2 2+(AD)(AD)2 2=()()2 2+1 12 2=1=1，在在EFGEFG中，中，EGEG2 2=EF=EF2 2+FG+FG2 2=1=1，所以所以EFG=90EFG=90，所以所以ACAC和和BDBD所成的角为所成的角为9090.121214314【技法点拨】【技法点拨】求两条异面直线所成的角的一般步骤求两条异面直线所成的角的一般步骤提醒提醒：根据异面直线所成角的定义作出的角，有时不一定是：根据异面直线所成角的定义作出的角，有时不一定是异面直线所成的角，可能是所求角的补角异面直线所成的角，可能是所求角的补角.【变式训练】【变式训练】如图，等腰直角三角形如图，等腰直角三角形ABCABC中，中，A=90A=90，DAACDAAC，DAAB.DAAB.若若DA=1,DA=1,且且E E为为DADA的中点，求异面直线的中点，求异面直线BEBE与与CDCD所成角的余弦值所成角的余弦值.BC2=，【解题指南】【解题指南】根据异面直线所成的角的定义，需要平移转化根据异面直线所成的角的定义，需要平移转化为两条相交直线所成的角为两条相交直线所成的角.平移时适当地选择点，平移平移时适当地选择点，平移BEBE或或CDCD，因为题目中给出了中点，可以考虑借助中位线进行平移因为题目中给出了中点，可以考虑借助中位线进行平移.【解析】【解析】如图，取如图，取ACAC的中点的中点F F，连接，连接EFEF，BFBF，则，则EF CD,EF CD,所以所以BEFBEF即为所求的即为所求的异面直线异面直线BEBE与与CDCD所成的角或补角所成的角或补角.已知等腰直角三角形已知等腰直角三角形ABCABC，A=90A=90，BC=BC=，所以，所以AB=1.AB=1.在在RtRtEABEAB中，中，AB=1AB=1，AE=AD=AE=AD=，所以，所以12212125BE.2在在RtRtFABFAB中，中，AB=1AB=1，AF=AF=，所以，所以在在RtRtDACDAC中，中，AC=1,AD=1AC=1,AD=1，DC=DC=，所以在等腰三角形所以在等腰三角形EBFEBF中，中，所以异面直线所以异面直线BEBE与与CDCD所成角的余弦值为所成角的余弦值为 .125BF.2212EF1024cos BEF.BE105210101.1.分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是()()A.A.异面异面 B.B.相交相交C.C.平行平行 D.D.异面或相交异面或相交【解析】【解析】选选D.aD.a，b b为异面直线，为异面直线，c c，d d分别与分别与a a，b b都相交都相交.图图(1)(1)中中c c，d d异面，图异面，图(2)(2)中中c c，d d相交相交.2.2.已知角已知角和角和角的两边分别平行且一组边方向相同的两边分别平行且一组边方向相同,另一组另一组边的方向相反边的方向相反,若若=45=45,则则=.【解析】【解析】由等角定理由等角定理,两角两组对边分别平行两角两组对边分别平行,一组方向相同一组方向相同,另一组方向相反另一组方向相反,则两角互补则两角互补,所以所以=135=135.答案：答案：1351353.AB,CD3.AB,CD是两条异面直线是两条异面直线,则直线则直线AC,BDAC,BD的位置关系一定是的位置关系一定是(选填选填“平行平行”“”“相交相交”或或“异面异面”).).【解析】【解析】若若AC,BDAC,BD相交或平行相交或平行,则则AC,BDAC,BD共面共面,可以推出可以推出AB,CDAB,CD共共面面,与已知与已知AB,CDAB,CD异面矛盾异面矛盾.答案：答案：异面异面4.4.如图所示如图所示,在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,异面直线异面直线ACAC与与B B1 1C C1 1所成所成的角等于的角等于.【解析】【解析】因为因为B B1 1C C1 1BC,BC,所以所以ACBACB即为异面直线即为异面直线ACAC与与B B1 1C C1 1所成的角所成的角.又因为四边形又因为四边形ABCDABCD是正方形是正方形,所以所以ACB=45ACB=45.答案：答案：45455.5.正方体正方体ABCD-ABCDABCD-ABCD中与棱中与棱AAAA平行的棱有平行的棱有条条.【解析】【解析】由正方体由正方体ABCD-ABCDABCD-ABCD知知AABBCCDD,AABBCCDD,故与故与AAAA平行的直线有平行的直线有3 3条条.答案：答案：3 36.6.已知空间四边形已知空间四边形ABCDABCD中中,ABAC,BD=DC,AE,ABAC,BD=DC,AE是是ABCABC的边的边BCBC上上的高的高,DF,DF是是BCDBCD的边的边BCBC上的中线上的中线,求证：求证：AEAE与与DFDF是异面直线是异面直线.【证明】【证明】由已知由已知,ABAC,ABAC且且AEAE是是ABCABC的边的边BCBC上的高上的高,所以点所以点E E不是不是BCBC的中点的中点,又又BD=DC,FBD=DC,F为为BCBC边的中点边的中点,所以所以E,FE,F不重合不重合,又又DFDF平面平面BCD,EBCD,E平面平面BCD,BCD,且且E E DF,ADF,A 平面平面BCD,BCD,所以所以AEAE与与DFDF是异面直线是异面直线.