《直线和双曲线的交点个数问题》教学设

直线和双曲线的交点个数问题教学设直线和双曲线的交点个数问题教学设计 昌黎汇文二中 李小庆 一、教学目的： 1.通过多媒体演示让学生掌握求直线与双曲线的交点个数的方法； 2.使学生认识到数形结合在解决问题中起到的重要作用。 二、教学重点和难点： 1. 直线与双曲线的交点个数的讨论； 2. 数形结合思想方法在解题中的应用 三、教学过程： 1、复习提问：双曲线的方程和性质 焦点在x轴上 双曲线的标准方程 顶点 渐近线 x2y2-2=1(a0,b0) A1(-a,0),A2(a,0) 2aby2x2-2=1(a0,b0) B1(-a,0),B2(a,0) 2aby=bx aax b焦点在y轴上 y=思考问题：求双曲线x2-y2=1与下列直线的交点的个数： y=x+1 y= -x+1 y=2x+1 y=-2x+1 y=1.2x+1 y= -1.2x+1 y=1 y=2x+1 y= -2x+1 老师提示：在求双曲线与直线的交点个数时，请说出它们的位置关系。 与的答案：1 直线与双曲线相交。 与的答案：1 直线与双曲线相切。 与的答案：2 直线与双曲线相交，交点在一支上。 的答案：2 直线与双曲线相交，交点在两支上。 与的答案：0 直线与双曲线相离。 总结：当直线与双曲线相交或直线与双曲线相切时直线与双曲线有一个公共点。 例1：论直线y=kx+1与双曲线C:x2-y2=1公共点的个数。 1 分析：直线y=kx+1过定点，解决这个问题的关键在于找什么？就是找与双曲线有一个交点的直线。通过多媒体演示得到答案 解：k=1或k=2时L与C有一个公共点； 有两个交点：在左支上时1k2 在右支上时 2k-1 在两支上时 -1k1 所以k(2,-1)(-1,1)(1, 2)时L与C有两个公共点。 k(-,-1)(1,+)时L与C没有公共点。 例2：讨论过点的直线与双曲线x-y=1公共点的个数。 解：直线x=1和直线y=-x+2 与双曲线有一个交点; 222 k(-,-1) 时有两个交点在右支上; k(-1,1) 时有两个交点在两支上; k(1,+) 时没有公共点。 例3：讨论直线y=kx与双曲线x2-y2=1公共点的个数。 解：没有和双曲线只有一个交点的直线； 3 k(-1,1) 时直线与双曲线有两个交点在两支上 ; k(-,-1)(1,+)时直线与双曲线没有公共点。 例4：讨论过点的直线与双曲线x2-y2=1公共点的个数。 解：直线x=1和直线y=x-1和直线y=-x+1与双曲线有一个公共点; 两个交点 在右下支上k-1 在两支上-1k1 在右上支上k1 所以k(,-1)(-1,1)(1,+)时有两个公共点。 (3)k(-,-1)时，没有公共点。 4 x2y20例5：已知双曲线2-2=1的右焦点为F，过点F倾斜角为60的直线与双曲线的右支只有一个交点，ab则此双曲线的离心率的取值范围是 A.(1,2 B.(1,2) C.2,+) D(2,+) 答案：C 22例7：已知a0且a1试求使方程loga(x-ak)=loga2(x-a)有解的k的取值范围。 解：loga(x-ak)=loga2(x-a)有解等价于 函数y=x-ak0与y=x2-a20图象有交点 所以k-1或 0k1 四、总结：过一点和双曲线只有一个交点的直线的条数 过中心 0 过渐近线上一点且不是中心 2 过双曲线外一点且不在渐近线上 4 过双曲线上一点 3 过双曲线内一点 2 22x2y2-=1有且只有一个公共点，则斜率k的取值范围。 四、作业：过P的直线与双曲线45答案：515或 23x2y2过P(1，0)的直线与双曲线-=1有且只有2个公共点，拓展： 45则斜率k的取值范围 答案：-15155k,且k 3325 x2y2过P(1，0)的直线与双曲线-=1没有公共点， 45则斜率k的取值范围 答案：k-1515或k 33x2y2过P(1，0)的直线与双曲线-=1的左、右分支各有一个交点， 45则斜率k的取值范围小结：消元转化为讨论某个一元二次方程解的个数问题。但要注意二次项系数分a=0与a0两种情形的讨论,只有当a0时才可以用来确定解的个数。但有时利用数形结合可以简化运算。 6