电路理论基础：第8章 相量法

8.1 8.1 正弦电压和电流正弦电压和电流8.2 8.2 正弦量的相量表示正弦量的相量表示8.3 8.3 电路元件伏安特性的相量形式电路元件伏安特性的相量形式8.4 8.4 基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式第第8 8章章 相量法基础相量法基础 2.2.正弦量的相量表示正弦量的相量表示3.3.电路定理的相量形式；电路定理的相量形式；l 重点：重点：1.1.正弦量的表示、相位差；正弦量的表示、相位差；下 页上 页返 回8.1 8.1 正弦电压和电流正弦电压和电流1.1.正弦量正弦量瞬时值表达式：瞬时值表达式：i(t)=Imcos(w w t+y y)波形：波形：tiOy y/w wT周期周期T 和频率和频率f:频率频率f f ：每秒重复变化的次数。：每秒重复变化的次数。周期周期T T ：重复变化一次所需的时间。：重复变化一次所需的时间。单位：单位：HzHz，赫，赫(兹兹)单位：单位：s s，秒，秒Tf1 正弦量为周期函数正弦量为周期函数 f(t)=f(t+k kT T)下 页上 页返 回l 正弦电流电路正弦电流电路激励和响应均为正弦量的电路激励和响应均为正弦量的电路（正弦稳态电路）称为正弦电路（正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。或交流电路。（1 1）正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重）正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重 要的地位。要的地位。l 研究正弦电路的意义：研究正弦电路的意义：1 1）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分 运算后仍是同频率的正弦函数运算后仍是同频率的正弦函数优点：优点：2 2）正弦信号容易产生、传送和使用。）正弦信号容易产生、传送和使用。下 页上 页返 回（2 2）正弦信号是一种基本信号，任何变化规律复杂的信号）正弦信号是一种基本信号，任何变化规律复杂的信号 可以分解为按正弦规律变化的分量。可以分解为按正弦规律变化的分量。)cos()(1knkktkAtf w w 对正弦电路的分析研究具有重要的理对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义。论价值和实际意义。下 页上 页返 回(1)(1)幅值幅值 (振幅、振幅、最大值最大值)Im(2)(2)角频率角频率2.2.正弦量的三要素正弦量的三要素tiOy y/w wT(3)(3)初相位初相位y yIm2 y yw wtTf w w22 单位：单位：rad/s ，弧度弧度/秒秒反映正弦量变化幅度的大小。反映正弦量变化幅度的大小。相位变化的速度，相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。反映正弦量变化快慢。反映正弦量的计时起点，反映正弦量的计时起点，常用角度表示。常用角度表示。i(t)=Imcos(w w t+y y)下 页上 页返 回同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。ti0一般规定：一般规定：|y y|。y y=0y y=y y=/2下 页上 页返 回例例已知正弦电流波形如图，已知正弦电流波形如图，w w10103 3rad/srad/s，（1 1）写出）写出i(t)表达式；表达式；（2 2）求最大值发生的时间）求最大值发生的时间t t1 1ti010050t1解解)10cos(100)(3y y ttiy ycos100500 t3 y y 由于最大值发生在计时起点右侧由于最大值发生在计时起点右侧3 y y )310cos(100)(3 tti有最大值有最大值当当 310 13 tmst047.110331 下 页上 页返 回3.3.同频率正弦量的相位差同频率正弦量的相位差 。设设 u(t)=Umcos(w w t+y y u),i(t)=Imcos(w w t+y y i)则则 相位差相位差：j j =(w w t+y y u)-(w w t+y y i)=y y u-y y ij j 0，u超前超前i j j 角，或角，或i 落后落后u j j 角角(u 比比i先到达最大值先到达最大值)；j j 0，i 超前超前 u j j 角角，或或u 滞后滞后 i j j 角角,i 比比 u 先到达最大值。先到达最大值。等于初相位之差等于初相位之差规定：规定：|j j|(180)。w tu,iu iyuyijo下 页上 页返 回j j 0，同相：同相：j j =(180o)，反相：反相：特殊相位关系：特殊相位关系：w w tu,iu i0w w tu,iu i0j=/2/2：u 领先领先 i/2/2,不说不说 u 落后落后 i 3/2；i 落后落后u/2/2,不说不说 i 领先领先 u 3/2。w w tu,iu i0同样可比较两个电压或两个电流的相位差。同样可比较两个电压或两个电流的相位差。下 页上 页返 回例例计算下列两正弦量的相位差。计算下列两正弦量的相位差。)15 100sin(10)()30 100cos(10)()2(0201 ttitti )2 100cos(10)()43 100cos(10)()1(21 ttitti)45 200cos(10)()30 100cos(10)()3(0201 ttuttu )30 100cos(3)()30 100cos(5)()4(0201 ttitti 解解045)2(43 j j43452 j j 000135)105(30 j j000120)150(30 j j)105100cos(10)(02 tti 不能比较相位差不能比较相位差21w ww w)150100cos(3)(02 tti 两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。号，且在主值范围比较。下 页上 页返 回4.4.周期性电流、电压的有效值周期性电流、电压的有效值 周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。平均效果工程上采用有效值来表示。l 周期电流、电压有效值定义周期电流、电压有效值定义R直流直流IR交流交流ittiRWTd)(20 TRIW2 电流有效电流有效值定义为值定义为有效值也称均方根值有效值也称均方根值物物理理意意义义下 页上 页返 回同样同样，可定义电压有效值：，可定义电压有效值：l 正弦电流、电压的有效值正弦电流、电压的有效值设设 i(t)=Imcos(w w t+)ttITITd )(cos1022m w wTtttttTTT2121d2)(2cos1d )(cos 0002 w ww wmm2m707.0221 IITITI )cos(2)cos()(mtItIti w ww wII2 m 下 页上 页返 回同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：UUUU2 21mm 或或若一交流电压有效值为若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为，则其最大值为Um 311V；U=380V，Um 537V。（1 1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。最大值考虑。（2 2）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一 般为有效值。般为有效值。（3 3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。I,I,im注注下 页上 页返 回8.2 8.2 正弦量的相量表示正弦量的相量表示1.1.问题的提出：问题的提出：电路方程是微分方程：电路方程是微分方程：两个正弦量的相加：如两个正弦量的相加：如KCL、KVL方程运算。方程运算。+_RuLCi)(2tuudtduRCdtudLCCCC )cos(2111y yw w tIi)cos(2222y yw w tIi下 页上 页返 回i1I1I2I3w ww ww wi1+i2 i3i2 1 2 3角频率：角频率：有效值：有效值：初相位：初相位：因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只要确定初相位和有效值要确定初相位和有效值(或最大值或最大值)就行了。因此，就行了。因此，w w tu,ii1 i20i3正弦量正弦量复数复数实际是变实际是变换的思想换的思想下 页上 页返 回)1(j为虚数单位为虚数单位FbReImao|F|bajFeFFj)sin(cos|jbaFj|jFeFFj|eFF 代数式代数式指数式指数式极坐标式极坐标式三角函数式三角函数式l 复数复数A的表示形式的表示形式2.2.复数及运算复数及运算下 页上 页返 回两种表示法的关系：两种表示法的关系：ab baAarctg|22 或或 A b|A|asin|cos l 复数运算复数运算则则 A1A2=(a1a2)+j(b1b2)(1)(1)加减运算加减运算采用代数形式采用代数形式若若 A1=a1+jb1，A2=a2+jb2A1A2ReIm0AbReIma0|A|图解法图解法A=a+jb A=|A|ej =|A|直角坐标表示直角坐标表示极坐标表示极坐标表示下 页上 页返 回(2)(2)乘除运算乘除运算采用极坐标形式采用极坐标形式若若 A1=|A1|1 ，A2=|A2|22121)j(212j2j1221121|e|e|e|211AAAAAAAAAA 除法：模相除，角相减。除法：模相除，角相减。例例1.乘法：模相乘，角相加。乘法：模相乘，角相加。则则:2121)(212121 2121 AAeAAeAeAAAjjj?2510475 )226.4063.9()657.341.3(2510475jj 569.047.12j 61.248.12 解解下 页上 页返 回例例2.?5j20j6)(4 j9)(17 35 220 (3)(3)旋转因子：旋转因子：复数复数 ej =cos +jsin =1 A ej 相当于相当于A逆时针旋转一个角度逆时针旋转一个角度 ，而模不变。，而模不变。故把故把 ej 称为旋转因子。称为旋转因子。解解2.126j2.180 原式原式04.1462.203.56211.79.2724.19 16.70728.62.126j2.180 329.6j238.22.126j2.180 365.2255.132j5.182 AReIm0A ej 下 页上 页返 回jjej 2sin2cos,22 jjej )2sin()2cos(,221)sin()cos(,jej故故+j,j,-1 都可以看成旋转因子。都可以看成旋转因子。几种不同几种不同 值时的旋转因子值时的旋转因子ReIm0II j I j I 下 页上 页返 回造一个复函数造一个复函数)j(e2)(w w tItA对对A(t)取实部：取实部：i(t)tItA )cos(2)(Rew w对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数)j(2)()(c2tIetAtosIi w ww wA(t)包含了三要素：包含了三要素：I、w w，复常数包含了复常数包含了I I ,。A(t)还可以写成还可以写成tteIItAwwyjj2ee2)(j复常数复常数)sin(2j)cos(2tItI w w w w 无物理意义无物理意义是一个正弦量是一个正弦量 有物理意义有物理意义3.3.正弦量的相量表示正弦量的相量表示下 页上 页返 回 )cos(2)(IItIti w w )cos(2)(UUtUtu w w称称 为正弦量为正弦量 i(t)对应的相量。对应的相量。II 相量的模表示正弦量的有效值相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位相量的幅角表示正弦量的初相位同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：已知已知例例1 1试用相量表示试用相量表示i,u.)V6014t311.1cos(3A)30314cos(4.141oo uti解解V60220A30100oo UI下 页上 页返 回在复平面上用向量表示相量的图在复平面上用向量表示相量的图 IItosIti)(c2)(UUtosUtu )(c2)(w w例例2试写出电流的瞬时值表达式。试写出电流的瞬时值表达式。解解 A)15314cos(250 ti.50Hz A,1550 fI已知已知l 相量图相量图 U I下 页上 页返 回4.4.相量法的应用相量法的应用(1)(1)同频率正弦量的加减同频率正弦量的加减故同频正弦量相加减运算变故同频正弦量相加减运算变成对应相量的相加减运算。成对应相量的相加减运算。i1 i2=i3321 III )2(R)cos(2)()2(R)cos(2)(j2222 j1111tteUetUtueUetUtuw ww ww ww w )(2(R)22(R )2(R)2(R)()()(j21j2j1j2j121ttttteUUeeUeUeeUeeUetututuw ww ww ww ww w U21UUU 可得其相量关系为：可得其相量关系为：下 页上 页返 回例例V)60314cos(24)(V )30314cos(26)(o21 ttuttu也可借助相量图计算也可借助相量图计算V604 V 306o2o1 UUV )9.41314cos(264.9)()()(o21 ttututu60430621 UUUReIm301U9.41UReIm9.41301U602UU46.32319.5jj 46.619.7j V 9.4164.9o 602U首尾相接首尾相接下 页上 页返 回 2.2.正弦量的微分，积分运算正弦量的微分，积分运算 )cos(2iiIItIiy yy yw w 2Re 2Re tjtjejIeIdtddtdiw ww ww w tjtjejIteIti 2Re d 2Redw ww ww w微分运算微分运算:积分运算积分运算:2 y yw ww w iIIjdtdi2 y yw ww w iIjIidt下 页上 页返 回例例 )cos(2)(itItiy yw w 1)(idtCdtdiLRituRi(t)u(t)L+-C用相量运算：用相量运算：CjIILjIRUw ww w 相量法的优点：相量法的优点：（1 1）把时域问题变为复数问题；）把时域问题变为复数问题；（2 2）把微积分方程的运算变为复数方程运算；）把微积分方程的运算变为复数方程运算；（3 3）可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路；）可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路；下 页上 页返 回注注 正弦量正弦量相量相量时域时域 频域频域 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。相量法用来分析正弦稳态电路。相量法用来分析正弦稳态电路。正弦波形图正弦波形图相量图相量图N线性线性N线性线性w w1w w2非非线性线性w w不适用不适用下 页上 页返 回8.3 8.3 电路元件伏安特性的相量形式电路元件伏安特性的相量形式1.1.电阻元件电阻元件VCR的相量形式的相量形式时域形式：时域形式：相量形式：相量形式：iRiRIUII 相量模型相量模型)cos(2)(itIti w w已知已知)cos(2)()(iRtRItRitu w w则则uR(t)i(t)R+-有效值关系有效值关系相位关系相位关系R+-RU IUR u相量关系：相量关系：IRUR UR=RI u=i下 页上 页返 回瞬时功率：瞬时功率：iupRR 波形图及相量图：波形图及相量图：iw w tOuRpRRUI u=iURI瞬时功率以瞬时功率以2w w交变。始终大于零，表明电阻始终吸收功率交变。始终大于零，表明电阻始终吸收功率)(cos22i2tIUR )(2cos1itIUR 同同相相位位下 页上 页返 回时域形式：时域形式：i(t)uL(t)L+-相量形式：相量形式：)cos(2)(itIti w w已知已知)2 cos(2 )sin(2d)(d)(iiLtILtILttiLtuw ww ww ww w则则相量模型相量模型jw w L+-LU I相量关系：相量关系：IjXILjULL w w有效值关系：有效值关系：U=w w L I相位关系：相位关系：u=i+90 2.2.电感元件电感元件VCR的相量形式的相量形式2 w w iLiLIUII下 页上 页返 回感抗的物理意义：感抗的物理意义：(1)(1)表示限制电流的能力；表示限制电流的能力；(2)(2)感抗和频率成正比；感抗和频率成正比；w wXL相量表达式相量表达式:XL=w w L=2 fL，称为感抗，单位为称为感抗，单位为 (欧姆欧姆)BL=1/w w L=1/2 fL，感纳，单位为感纳，单位为 S S 感抗和感纳感抗和感纳:,ILjIjXULw w ;,;,0 ),(0开路开路短路短路直流直流 w w w wLLXXULjULjUjBILw w w w 11下 页上 页返 回功率：功率：)(2sin )sin()cos(miLiimLLLtIUttIUiup w ww ww ww w t iOuLpL2 瞬时功率以瞬时功率以2w w交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消LUI i波形图及相量图：波形图及相量图：电压超前电电压超前电流流900下 页上 页返 回时域形式：时域形式：相量形式：相量形式：)cos(2)(utUtu w w已知已知)2 cos(2 )sin(2d)(d)(uuCtCUtCUttuCtiw ww ww ww w则则相量模型相量模型iC(t)u(t)C+-UCI +-Cj1有效值关系：有效值关系：IC=w w CU相位关系：相位关系：i=u+90 相量关系：相量关系：IjXICjUC w w13.3.电容元件电容元件VCR的相量形式的相量形式2 w w uCuCUIUU下 页上 页返 回XC=1/w w C，称为容抗，单位为称为容抗，单位为 (欧姆欧姆)B B C=w w C，称为容纳，单位为称为容纳，单位为 S S 频率和容抗成反比频率和容抗成反比,w0，|XC|直流开路直流开路(隔直隔直)w w ，|XC|0 0 高频短路高频短路(旁路作用旁路作用)w w|XC|容抗与容纳：容抗与容纳：相量表达式相量表达式:UCjUjBIICjIjXUCCw ww w 1下 页上 页返 回功率：功率：)(2sin )sin()cos(2 uCuuCCCtUIttUIuip w w t iCOupC2 瞬时功率以瞬时功率以2w w交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消UCI u波形图及相量图：波形图及相量图：电流超前电电流超前电压压900下 页上 页返 回 0)(ti同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和和KVL可用相应可用相应的相量形式表示：的相量形式表示：上式表明：流入某一节点的所有正弦电流用相量表上式表明：流入某一节点的所有正弦电流用相量表示时仍满足示时仍满足KCL；而任一回路所有支路正弦电压用相量；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足表示时仍满足KVL。02Re)(21tjeIItiw w 0I 0)(tu 0U下 页上 页返 回8.4 8.4 基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式 )5(CjIUCCw w例例1 1试判断下列表达式的正、误：试判断下列表达式的正、误：Liju )1(w w 005 cos5 )2(tiw wmCUjI )3(mw w LLIUX L )4(LILjU )6(Lw w dtdiCu )7(UImUmmIUIU Cjw w1L下 页上 页返 回例例2 2A1A2A0Z1Z2U已知电流表读数：已知电流表读数：A18AA26ACjXZRZ 21 ,1 ）（若若A0?为何参数为何参数）（21 ,2 ZRZ A0I0max=?为何参数为何参数）（21 ,3 ZjXZL A0I0min=?为何参数为何参数）（21 ,4 ZjXZL 解解AI1068 1 220 ）（1,IU2I0IAIZ1468 2 max02 为电阻，为电阻，）（AIjXZC268 ,3 min02 ）（A0A1A2?AIAIIjXZC16 ,8 ,4 2102 ）（下 页上 页返 回例例3 3)(:),5cos(2120 tit u(t)求求已知已知+_15 u4H0.02Fi解解00120 U 2054jjjXL 1002.051jjjXC相量模型相量模型Uj20-j10 1I2I+_15 3IICLCLRjXUjXURUIIII Ajjjjj09.3610681268101201151120 At i(t)9.365cos(210 0 下 页上 页返 回例例4 4)(:),1510cos(25 06tuti(t)S求求已知已知 +_5 uS0.2 Fi解解0155 I 5102.010166jjjXC VjUUUCRS000030225452515555155 相量模型相量模型+_5 SUI-j5 RUI,CUSUCU下 页上 页返 回例例5 5?,78 ,50 BCACABUVUVU问：问：已知已知j40 jXL30 CBAI解解IIIUAB50)40()30(22 VUVUAILR40 ,30 ,1 22)40()30(78BCACUU VUBC3240)30()78(22 Ij40I30BCUABUACU下 页上 页返 回例例6 6图示电路图示电路I1=I2=5A，U50V，总电压与总电流同相位，总电压与总电流同相位，求求I、R、XC、XL。00 CCUU设设U-jXC1I2I+_RIjXLUC+-解解5 ,05201jII 0452555 jI)1(2505)55(45500jRjXjUL 252505 LLXX 2102502552505CXRR令等式两边实部等于实部，虚部等于虚部令等式两边实部等于实部，虚部等于虚部下 页上 页返 回例例7 7 图示电路为阻容移相装置，如要求电容电压滞后图示电路为阻容移相装置，如要求电容电压滞后电源电压电源电压/3，问，问R、C应如何选择应如何选择。IjXIRUCS 解解1 1CSCCCSjXRUjXUjXRUI ,1 CRjUUCSw w也可以画相量图计算也可以画相量图计算U-jXC+_RI+-CU360tan0 CRw wCRCIRIUUCRw ww w /360tan0RUSUICU060上 页返 回