连续函数的四则运算

1.连续函数的四则运算连续函数的四则运算2.反函数与复合函数的连续性反函数与复合函数的连续性3.初等函数的连续性初等函数的连续性基本初等函数在各自的定义域上都连续基本初等函数在各自的定义域上都连续.初等函数在其各自的定义域上都连续初等函数在其各自的定义域上都连续.这里定义这里定义区间指包含在其定义域内的区间区间指包含在其定义域内的区间.4.闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 连续函数的运算与性质连续函数的运算与性质一、连续函数的算术运算一、连续函数的算术运算定理定理1若函数若函数)(),(xgxf在点在点0 x处连续处连续,则则),()(xgxf),()(xgxf)()(xgxf)0)(0 xg在点在点0 x处也连续处也连续.例如例如,在在,sin xxcos),(内连续内连续,故故,cossintanxxx ,sincoscotxxx ,cos1secxx xxsin1csc 在其定义域内连续在其定义域内连续.二、复合函数的连续性二、复合函数的连续性定理定理2若若,)(lim0axxx 函数函数)(uf在点在点a处处连续连续,则有则有)()(lim0afxfxx ).(lim0 xfxx 证证)(uf在点在点au 处连续处连续,0 ,0 当当|au时时,恒有恒有,|)()(|afuf又又,)(lim0axxx 对上述对上述,0 当当|00 xx时时,恒有恒有|)(|auax ,结合上述两步得结合上述两步得,0 ,0 当当,|00 xx时时,恒有恒有|)()(|)()(|afxfafuf )()(lim0afxfxx ).(lim0 xfxx 意义意义1.2.极限符号可以与连续函数符号互换极限符号可以与连续函数符号互换;)(xu 的理论依据的理论依据.定理定理2给出了变量代换给出了变量代换定理定理3设函数设函数)(xu 在点在点0 x处连续处连续,且且,)(00ux 而函数而函数)(ufy 在点在点0uu 处连续处连续,则复合函数则复合函数)(xf 在点在点0 x处也连续处也连续.注意注意定理定理4是定理是定理3的特殊情况的特殊情况.例如例如,xu1 在在),0()0,(内连续内连续,uysin 在在),(内连续内连续,xy1sin 在在),0()0,(内连续内连续.例例 1完完求求.)1ln(lim0 xxx 解解xxx)1ln(lim0 xxx10)1ln(lim xxx10)1(limlneln.1 例例 完完求求.)1cos(limxxx 解解 xxxxxxx1)1)(1(limcos xxx11limcos0cos.1)1cos(limxxx 例例 2完完求求.)21(limsin30 xxx 解解因为因为xxsin3)21(,)21(6sin121 xxx所以所以6sin210sin30)21(lim)21(lim xxxxxxxx.6e 三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数三角函数及反三角函数的的;指数函数指数函数xay )1,0(aa在在),(内单调内单调且连续且连续;对数函数对数函数xyalog)1,0(aa在在),0(内单内单调且连续调且连续;xy xaalog ,uay xualog 在在),0(内连续内连续.讨论讨论 的不同值的不同值(均在其定义域内连续均在其定义域内连续).在它们的定义域内是连续在它们的定义域内是连续初等函数的连续性初等函数的连续性讨论讨论 的不同值的不同值(均在其定义域内连续均在其定义域内连续).定理定理4基本初级函数基本初级函数定理定理5一切初级函数一切初级函数定义区间定义区间是指是指注意注意1.但在其但在其定义域内不一定连续定义域内不一定连续.例如例如,1cos xy,4,2,0:xD在这些孤立点的领域内没有定义在这些孤立点的领域内没有定义.,)1(32 xxy0:xD及及.1 x在定义域内是连续的在定义域内是连续的.在其定义区间内都是连续的在其定义区间内都是连续的.包含在定义域内的区间包含在定义域内的区间.初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续,在这些孤立点的领域内没有定义在这些孤立点的领域内没有定义.,)1(32 xxy0:xD及及.1 x在在0点的领域内没有定义点的领域内没有定义,函数在区间函数在区间),1 上上2.)()(lim00 xfxfxx 0(x定义区间定义区间).连续连续.初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法(代入法代入法)完完例例 3完完求求.12lim2 xexx解解因为因为12)(xexfx是初等函数是初等函数,且且20 x是其定义区间内的点是其定义区间内的点,所以所以12)(xexfx在点在点20 x处连续处连续,于是于是12lim2 xexx1222 e.52e 幂指函数幂指函数因为因为,)()(ln)()(xuxvxvexu 故幂指函数可化为复合函数故幂指函数可化为复合函数.易见易见:若若axu)(lim,0,)(limbxv 则则)(ln)()(lim)(limxuxvxvexu )(ln)(limxuxve abeln.ba 即即bxvaxu)()(lim注意公式成立的条件注意公式成立的条件例例6求求.)2(lim110 xxxex称为称为幂指函数幂指函数.解解11lim01100)2(lim)2(lim xxxxxxxexex12 .21 完完形如形如)()()(xvxuxf 的函数的函数)0)(xu定义定义对于在区间对于在区间I上有定义的函数上有定义的函数),(xf如果如果有有,0Ix 使得对于任一使得对于任一Ix 都有都有)()(0 xfxf)()(0 xfxf 则称则称)(0 xf是函数是函数)(xf在区间在区间I上的最大上的最大(小小)值值.例如例如,sin1xy ,2,0 x,2max y.0min y,sgn xy 在在),(上上,1max y.1min y在在),0(上上,.1minmax yy四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质定理定理6 最大值和最小值定理最大值和最小值定理在闭区间上连续的函数在闭区间上连续的函数 一定有最大值和最小值一定有最大值和最小值.定理定理7 有界性定理有界性定理在闭区间上连续的函数在闭区间上连续的函数证证设函数设函数)(xf在在,ba上连续上连续,于是存在于是存在m、,M使得使得,bax 有有,)(Mxfm 取取|,max|MmK .|)(|Kxf 故函数故函数)(xf在在,ba上有界上有界.完完一定在该区间上有界一定在该区间上有界.定义定义如果如果0 x使使,0)(0 xf则则0 x称为函数称为函数)(xf的零点的零点.定理定理8零点定理零点定理 设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间,ba上连续上连续,且且)(af与与)(bf异号异号(即即),0)()(bfaf即至少有即至少有一点一点),(ba 使使.0)(f那么在开区那么在开区),(ba内至少有函数内至少有函数间间)(xf的一个零点的一个零点,即方程即方程0)(xf在在),(ba内至少存在一个实根内至少存在一个实根.定理定理9介值定理介值定理设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间,ba上连续上连续,且且在这区间的端点取不同的函数值在这区间的端点取不同的函数值推论推论1在闭区间上连续的函数在闭区间上连续的函数M与最小值与最小值m之间的任何值之间的任何值.必取得介于最大值必取得介于最大值例例 5完完证证证明方程证明方程01423 xx少有一个实根少有一个实根.令令,14)(23 xxxf则则)(xf在在1,0上连续上连续.又又,01)0(f,02)1(f由零点定理由零点定理,)1,0(使使,0)(f即即.01423 方程方程01423 xx根根.在区间在区间)1,0(内至内至在在)1,0(内至少有一个实内至少有一个实例例 6完完证证设函数设函数)(xf在区间在区间,ba上连续上连续,且且,)(aaf bbf)(证明证明:),(ba 使得使得.)(f令令,)()(xxfxF 则则)(xF在在,ba上连续上连续.而而,0)()(aafaF,0)()(bbfbF由零点定理由零点定理,),(ba 使使即即.0)()(fF.)(f1.设设,1)(,sgn)(2xxgxxf 试研究复合函数试研究复合函数)(xgf与与)(xfg的连续性的连续性.2.估计方程估计方程0263 xx的根的位置的根的位置.课堂练习课堂练习1.设设,1)(,sgn)(2xxgxxf 试研究复合函数试研究复合函数)(xgf与与)(xfg的连续性的连续性.解解,1)(2xxg ，0,10,00,1)(xxxxf.1)1sgn()(2 xxgf)(xgf在在),(上处处连续上处处连续.又又,0,10,2)(sgn1)(2 xxxxfg)(xfg在在),0()0,(上处处连续，上处处连续，故故0 x是它的可去间断点是它的可去间断点.2.估计方程估计方程0263 xx的根的位置的根的位置.解解 设设,26)(3 xxxf则则)(xf在在),(内连续内连续.由于由于,06)2(,07)3(ff,03)1(,02)0(,07)1(fff,011)3(,02)2(ff根据介值定理的推论可知，根据介值定理的推论可知，在在)1,0(),2,3(和和)3,2(内至少各有一个根内至少各有一个根.所以该方程在所以该方程在)1,0(),2,3(和和)3,2(内各有一个根内各有一个根.完完又因为三次方程的根最多有三个，又因为三次方程的根最多有三个，内容小结内容小结1.连续函数的四则运算连续函数的四则运算2.反函数与复合函数的连续性反函数与复合函数的连续性3.初等函数的连续性初等函数的连续性基本初等函数在各自的定义域上都连续基本初等函数在各自的定义域上都连续.初等函数在其各自的定义域上都连续初等函数在其各自的定义域上都连续.这里定义这里定义区间指包含在其定义域内的区间区间指包含在其定义域内的区间.4.闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质