大学数学：ch6-2 二重积分的计算-2

2013年4月27日南京航空航天大学 理学院 数学系11.直角坐标系下二重积分的计算直角坐标系下二重积分的计算2.极坐标系下二重积分的计算极坐标系下二重积分的计算3.二重积分的换元法二重积分的换元法第第2 2节节 二重积分的计算二重积分的计算（Evaluation of Double IntegralsEvaluation of Double Integrals）2009年5月南京航空航天大学 理学院 数学系2 2.2.极坐标系下二重积分的计算极坐标系下二重积分的计算,),(22项项中含有中含有当当yxyxf 的的边边界界或或者者D,22项项时时表表达达式式中中有有yx 变变换换将将积积分分化化为为,极极坐坐标标下下的的二二重重积积分分 ,sin,cos:ryrxT,20 ,0 r.的的累累次次积积分分去去求求解解和和关关于于 r通常利用极坐标通常利用极坐标然后化为然后化为(,)ddDf x yxy(cos,sin)d dDf rrrr DD2009年5月南京航空航天大学 理学院 数学系3Do)(1r)(2r)(1ro)(2r21()()(cos,sin)df rrrr 设设12()():,rD 则则(cos,sin)d dDf rrrr d 特别特别,对对0():02rD (cos,sin)d dDf rrrr()0(cos,sin)df rrrr 20d )(roD2009年5月南京航空航天大学 理学院 数学系4若若 f 1 则可求得则可求得D 的面积的面积2201()d2 dD 思考思考:下列各图中域下列各图中域 D 分别与分别与 x,y 轴相切于原点轴相切于原点,试试答答:(1)0;)(rDoyx问问 的变化范围是什么的变化范围是什么?(1)(2)(2)22)(rDoyx2009年5月南京航空航天大学 理学院 数学系5 DDrdrdrxdxdyI cos之之间间第第一一象象限限的的部部分分和和为为求求41:2222 yxyxDxdxdyID 20212cos drrd237320213 drxyoD例例1解解2009年5月南京航空航天大学 理学院 数学系622222,.xyDIedxdyDxya 计计算算其其中中积积分分区区域域 为为圆圆域域222200012()(1)2arraaIderdree不不能能用用初初等等函函数数表表示示算算积积不不出出本本题题若若采采用用直直角角坐坐标标计计 dxex2例例1解解 222)(,22ayxdxdyyxfIf求求是是连连续续的的设设例例22009年5月南京航空航天大学 理学院 数学系7 222)(,22ayxdxdyyxfIf求求是是连连续续的的设设 aardrrfrdrrfdI020220)(2)()1()21(2222200aarareerdreI )(2222)(yxeyxf 特特别别不不能能用用初初等等函函数数表表示示算算积积不不出出本本题题若若采采用用直直角角坐坐标标计计 dxex2 02:dxeIx进一步，计算进一步，计算例例2解解注2009年5月南京航空航天大学 理学院 数学系8解解|),(2221RyxyxD 2|),(2222RyxyxD 0,0 yx0,0|),(RyRxyxS 显显然然有有 21DSD ,022 yxe 122Dyxdxdye Syxdxdye22.222 Dyxdxdye1D2DSS1D2DRR2 RxRdxe02lim2009年5月南京航空航天大学 理学院 数学系9又又 SyxdxdyeI22 RyRxdyedxe0022;)(202 Rxdxe 1I 122Dyxdxdye Rrrdred0022);1(42Re 同理同理 2I 222Dyxdxdye);1(422Re 2009年5月南京航空航天大学 理学院 数学系10当当 R时时,41 I,42 I故故当当 R时时,4 I即即 20)(2dxex4,所求广义积分所求广义积分 02dxex2.,21III );1(4)()1(4222220RRxRedxee 概率积分概率积分2009年5月南京航空航天大学 理学院 数学系111 yx122 yx解解在极坐标系下在极坐标系下 sincosryrx所所以以圆圆方方程程为为 1 r,直直线线方方程程为为 cossin1 r,Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 rdrrrfd2009年5月南京航空航天大学 理学院 数学系12EX4 试计算椭球体试计算椭球体2222221xyzabc的体积的体积V.2009年5月南京航空航天大学 理学院 数学系13解解32 61 sin4 r sin2 rdxdyyxD)(22 36sin4sin22rdrrd).32(15 yyx422 yyx222 03 yx03 xy2009年5月南京航空航天大学 理学院 数学系14解解由对称性，可只考虑第一象限部分由对称性，可只考虑第一象限部分，注意：注意：被积函数也要有对称性被积函数也要有对称性.Ddxdyyxyx2222)sin(4 12222)sin(Ddxdyyxyx 210sin42rdrrrd.4 14DD 1D2009年5月南京航空航天大学 理学院 数学系15解解根根据据对对称称性性有有 14DD 在在极极坐坐标标系系下下)(2)(222222yxayx ,2cos2 ar ,222arayx 1D2009年5月南京航空航天大学 理学院 数学系16由由 arar 2cos2,得得交交点点)6,(aA,所求面积所求面积 Ddxdy 14Ddxdy 2cos2064aardrd).33(2 a2009年5月南京航空航天大学 理学院 数学系17EX4 试计算椭球体试计算椭球体2222221xyzabc解解 2ddDVzxy 222221ddyxabDcxy 由对称性由对称性2222:1,xyDab取取令令cosi,s nxarybr 则则D 的原象为的原象为:1,02Dr(,)(,)x yJr cossinsincosaarbbr 2DVc 212002d1dabcrrr 43abc abr 21r d dabrr 的体积的体积V.2009年5月南京航空航天大学 理学院 数学系18.222222Vaxyxazyx所所包包围围的的立立体体体体积积与与圆圆柱柱面面求求球球面面 DdxdyyxaV2224 2320cos022)(32214 draa)322(34sin434303332 adaa cos022024ardrrad例例8解解2009年5月南京航空航天大学 理学院 数学系19ZXYXY2222azyx axyx 22axyx 222009年5月南京航空航天大学 理学院 数学系20二重积分在极坐标下的计算公式二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用（在积分中注意使用对称性对称性）小结小结 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()()(21 rdrrrfd.)sin,cos()(0 rdrrrfd.)sin,cos()(020 rdrrrfd 2009年5月南京航空航天大学 理学院 数学系21 交交换换积积分分次次序序:).0(),(cos022 adrrfdIa思考题思考题2009年5月南京航空航天大学 理学院 数学系22,cos022:arDoxy思考题解答思考题解答 cosar Daararccos ararccos .),(arccosarccos0 araradrfdrI 2009年5月南京航空航天大学 理学院 数学系23一、一、填空题填空题:1 1、将将 Ddxdyyxf),(,D为为xyx222 ,表示为极坐表示为极坐标形式的二次积分标形式的二次积分,为为_._.2 2、将将 Ddxdyyxf),(,D为为xy 10,10 x,表表示为极坐标形式的二次积分为示为极坐标形式的二次积分为_._.3 3、将将 xxdyyxfdx32220)(化为极坐标形式的二化为极坐标形式的二次积分为次积分为_._.4 4、将将 2010),(xdyyxfdx化为极坐标形式的二次积分化为极坐标形式的二次积分为为_._.练练 习习 题题2009年5月南京航空航天大学 理学院 数学系242009年5月南京航空航天大学 理学院 数学系25三、试将对极坐标的二次积分三、试将对极坐标的二次积分 cos2044)sin,cos(ardrrrfdI交换积分次序交换积分次序.四、设平面薄片所占的闭区域四、设平面薄片所占的闭区域D是由螺线是由螺线 2 r上一段上一段 弧弧(20 )与直线与直线2 所围成所围成,它的面密度为它的面密度为22),(yxyx ,求这薄片的质量求这薄片的质量.五、五、计算以计算以xoy面上的圆周面上的圆周axyx 22围成的闭区域为围成的闭区域为底，而以曲面底，而以曲面22yxz 为顶的曲顶柱体的体积为顶的曲顶柱体的体积.2009年5月南京航空航天大学 理学院 数学系26一、一、1 1、rdrrrfd cos2022)sin,cos(；2 2、1)sin(cos020)sin,cos(rdrrrfd；3 3、sec2034)(rdrrfd；4 4、sectansec40)sin,cos(rdrrrfd；5 5、2cossin0401rdrrd,12.二、二、1 1、)12ln2(4 ；2 2、414a；练习题答案练习题答案2009年5月南京航空航天大学 理学院 数学系27 3 3、)34(33 R；4 4、25.三、三、4420)sin,cos(drrfrdrIa araraadrrfrdr2arccos2arccos22)sin,cos(.四、四、405.五、五、4323a.