大学数学：ch5-2 多元函数的极限与连续性-3

2013年4月南京航空航天大学 理学院 数学系1第第2节节 多元函数的极限与多元函数的极限与连续性连续性(3)二元函数的连续性二元函数的连续性有界闭域（紧集）上连续函数的性质有界闭域（紧集）上连续函数的性质21 1 二元函数的连续性二元函数的连续性 连续性的定义连续性的定义.A,0,0 0(;)PU PA 若若只要只要,就有就有0|()()|,(1)f Pf P 则称则称 f 关于集合关于集合 A在点在点 连续连续.在不致误解的情形在不致误解的情形 0P下下,也称也称 f 在点在点 连续连续.0P若若 f 在在 A 上任何点都关于集上任何点都关于集A 连续连续,则称则称 f 为为 A 上的上的连续函数连续函数.2RA 定义定义1 设设 f 为定义在点集为定义在点集上的二元函数上的二元函数,0P30P f 的连续点的连续点.若若 是是 A 的聚点的聚点,则则 f 关于集合关于集合 A在点在点 由上述定义知道由上述定义知道:若若 是是 A 的孤立点的孤立点,则则 必定是必定是 0P0P00lim()().(2)PPP Af Pf P 连续等价于连续等价于 0P如果如果 是是 A 的聚点的聚点,而而(2)式不成立式不成立(其含义与一元其含义与一元0P函数的对应情形相同函数的对应情形相同),则称则称 是是 f 的的不连续点不连续点(或或 0P称称间间断点断点).特别当特别当(2)式左边极限存在式左边极限存在,但不等于但不等于 如上节例如上节例1 给出的函数在原点连续给出的函数在原点连续;例例2、3、4 0()f P0P是是 f 的的可去间断点可去间断点.时时,给出的函数在原点不连续给出的函数在原点不连续.4例例1 1 设设 2222(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0),xyxyx yf x yxyx y，证明证明(,)(0,0)lim(,)0.x yf x y 22(,)xyf x yxy (,)(0,0)x y 例例2 讨论讨论当当时是时是否否存在极限存在极限210,(,)0yxxf x y ，,，其其余余部部分分.3例例设设(,)(0,0)lim4x yxyxy 例例极限不存在极限不存在极限不存在极限不存在5又若把上述例又若把上述例2 的函数的函数改为改为222,(,)(,)|,0,(,),(,)(0,0),1xyx yx yymx xxyf x ymx ym上，这时由于上，这时由于2(,)(0,0)lim(,)(0,0),1x yymxmf x yfm 其中其中 m 为固定实数为固定实数,亦即函数亦即函数 f 只定义在只定义在 ymx因此因此 f 在原点沿着直线在原点沿着直线 是连续的是连续的ymx6间断点间断点：.;点点极限值不等于函数值的极限值不等于函数值的极限值不存在的点极限值不存在的点无定义的点无定义的点例如例如,函数函数222222,0(,)0,0 x yxyxyf x yxy 在点在点(0,0)极限不存在极限不存在,又如又如,函数函数221(,)1f x yxy 上间断上间断.221xy 故故(0,0)为其间断点为其间断点.在圆周在圆周7 全增量与偏增量全增量与偏增量 00000(,)(,),P xyP x yAxxxyyy 、设设0000(,)(,)(,)zf xyf x yf xy 称称0000(,)(,)f xx yyf xy 量形式来描述连续性量形式来描述连续性,即当即当为函数为函数 f 在点在点 的的全增量全增量.和一元函数一样和一元函数一样,可用增可用增 0P(,)(0,0)(,)lim0 xyx yAz 时时,f 在点在点 连续连续.0P8(,)(0,0)(,)lim0 xyx yAz 时时,f 在点在点 连续连续.0P00,xy 或或如果在全增量中取如果在全增量中取 则相应得到的则相应得到的 增量称为增量称为偏增量偏增量,分别记作分别记作000000(,)(,)(,),xf xyf xx yf xy 000000(,)(,)(,).yf xyf xyyf xy 一般说来一般说来,函数的全增量并不等于相应的两个偏增函数的全增量并不等于相应的两个偏增量之和量之和.9容易证明容易证明:当当 f 在其定义域的内点在其定义域的内点 连续时连续时,00(,)xy0(,)f x y0(,)f xy在在 x0 与与 在在 y0 都连续都连续.但是反过来但是反过来,由二元函数对单个自变量都连续，一般不能保证该由二元函数对单个自变量都连续，一般不能保证该函数的连续性函数的连续性(除非另外增加条件除非另外增加条件).例如二元函数例如二元函数10,(,)00 xyf x yxy ，在原点处显然不连续在原点处显然不连续,但由于但由于 f(0,y)=f(x,0)=0,因此它在原点处对因此它在原点处对 x 和对和对 y 分别都连续分别都连续.10 连续函数的局部性质连续函数的局部性质 以及相应的有理运算的各个法则以及相应的有理运算的各个法则.若二元函数在某一点连续若二元函数在某一点连续,则与一元函数一样则与一元函数一样,可以可以证明它在这一点近旁具有局部有界性、局部保号性证明它在这一点近旁具有局部有界性、局部保号性 ,0连连续续函函数数的的和和 差差 积积 商商 分分母母不不为为 处处 均均为为连连续续函函数数11定理定理1 (复合函数的连续性复合函数的连续性)设函数设函数(,)ux y 和和 义义,并在点并在点 Q0 连续连续,其中其中 000000(,),(,).uxyvxy 则复合函数则复合函数(,)(,),(,)g x yfx yx y 在点在点 P0 也也 连续连续.(,)vx y 在点在点 的某邻域内有的某邻域内有定义定义,并在并在 000(,)P xy点点 连续连续;f(u,v)在点在点 000(,)Q u v0P的某邻域内有定的某邻域内有定 ,0,：连连续续函函数数的的和和 差差 积积 商商 分分母母不不为为 处处 均均为为连连续续函函数数 连连续续函函数数的的复复合合函函数数结结论论也也是是连连续续.12定义（二元初等函数）定义（二元初等函数）以以x或或y为自变量的基本初为自变量的基本初等函数与常数经过有限次的四则运算和复合步骤等函数与常数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的式子称为以所构成的式子称为以x或或y为自变量为自变量二元函数初等二元函数初等函数函数.由由结结论论二二元元初初等等函函数数在在其其定定义义域域内内是是连连续续的的例如例如:222222);2ln();sin(yxxyzyxxzxyz 分别在半平面分别在半平面 x 0；x2+y22；(x,y)(0,0)内连续内连续.1300000lim()()()()lim()().PPPPf Pf PPf Pf PPf Pf P 一般地，求时，如果是初等函一般地，求时，如果是初等函数，且是的定义域的内点，则在数，且是的定义域的内点，则在点处连续，于是点处连续，于是.2arcsinlim;1coslim221030 yxyxeyxxyyx22(,)(2,1)lim()7.x yxxyy142.有界闭域上连续函数的性质有界闭域上连续函数的性质本段讨论有界闭域上多元连续函数的整体性质本段讨论有界闭域上多元连续函数的整体性质.这这 可以看作闭区间上一元连续函数性质的推广可以看作闭区间上一元连续函数性质的推广.定理定理1 (有界性定理与最大、小值定理有界性定理与最大、小值定理)若二元若二元 函数函数 f 在在有界闭域有界闭域2RD 上连续上连续,则则 f 在在 D上有界上有界,且能取得最大值与最小值且能取得最大值与最小值.15定理定理2 (一致连续性定理一致连续性定理)若函数若函数 f 在有界闭域在有界闭域 2RD 0,上连续上连续,则则 f 在在 D 上一致连续上一致连续.即即存存 0,(,)P Q 在只依赖于在只依赖于 的的 使得对一切满足使得对一切满足,P QD|()()|.f Pf Q 必有必有 的的点点16定理定理3 (介值性定理介值性定理)设函数设函数f在区域在区域2RD 上连续上连续,若若P1,P2 为为 D 中任意两点中任意两点,且且12()(),f Pf P 则对任何满足不等式则对任何满足不等式12()()(4)f Pf P 0PD 0().f P 的实数的实数 ,必存在点必存在点,使得使得 17有连通性的有连通性的.界闭集界闭集(证明过程无原则性变化证明过程无原则性变化).但是介值性定理但是介值性定理 中所考察的点集中所考察的点集 D 只能假设是一区域只能假设是一区域,这是为了保这是为了保 证它具有连通性证它具有连通性,而一般的开集或闭集是不一定具而一般的开集或闭集是不一定具 续函数续函数,则则 f(D)必定是一个区间必定是一个区间(有限或无限有限或无限).注注2 由定理由定理3 又可知道又可知道,若若 f 为区域为区域 D 上的连上的连注注1 定理定理1 与与 2 中的有界闭域中的有界闭域 D 可以改为有可以改为有 18 1 证明证明(,)f x y 22,(,)(0,0)xyx yxy 0,(,)(0,0)x y 在全平面连续在全平面连续.证证(,)(0,0),x y 在处在处(,)f x y为初等函数为初等函数,故连续故连续.又220 xyxy 222xyxy222212xyxy 2212xy22)0,0(),(limyxyxyx 0(0,0)f 故函数在全平面连续故函数在全平面连续.)0,0(),(fyxf,0 ,2 当当 时时 220yx19小小 结结1.1.度量空间与度量空间与n维欧氏空间维欧氏空间 2221122(,)()()()x yxynndxyxyxy(1)欧氏空间欧氏空间Rn22212xnxxx(2)欧氏空间欧氏空间Rn点列的极限点列的极限-N式定义式定义See P.2,定义定义1.1邻域式定义邻域式定义20性质：性质：1.点列的极限是唯一的；点列的极限是唯一的；2.n维欧氏空间点列的收敛是按坐标收敛；维欧氏空间点列的收敛是按坐标收敛；4.点列的收敛满足线性性；点列的收敛满足线性性；5.n维欧氏空间中的收敛点列等价于维欧氏空间中的收敛点列等价于Cauchy点列点列See P.3定理定理1.1See P.3定理定理1.2See P.3 定理定理1.421(6)(6)收敛点列必为有界点集，收敛点列必为有界点集，n n维欧氏空间的有界点列必有收敛子列维欧氏空间的有界点列必有收敛子列See P.4定理定理1.32.2.度量空间中的各类点集度量空间中的各类点集内点内点外点外点边界点边界点聚点聚点孤立点孤立点开核、边界、导集、闭包开核、边界、导集、闭包开集和闭集开集和闭集Rn中的有界集和紧集中的有界集和紧集开域、闭域、区域开域、闭域、区域222.多元函数概念多元函数概念n 元函数元函数12(,)nf xxx 常用常用二元函数二元函数(图形一般为空间曲面图形一般为空间曲面)三元函数三元函数PA()wf P nRn 元向量值函数元向量值函数:R,fA(),.yf PPA 或或设设 A为为 Rn 中的点集中的点集,称映射：称映射：m:R(m2),fA 为定义在为定义在A上的一个上的一个n元向量值函数，也记作元向量值函数，也记作()yf x2312(,)xAnx xx其中其中是自变量，是自变量，12(,)myRmyyy12(,)fmfff1112(,)nyf x xx2212(,)nyfx xx12(,)mmnyfx xx.有有111122221212()(,)()(,)()(,)nnmmmnyf xf x xxyfxfx xxyyfxfx xx即即243.多元函数的极限多元函数的极限-二重极限二重极限0lim()PPf Pa 00,0,(,),PUPAfx ya 恒恒有有（1）令令),(yxP沿沿kxy 趋趋向向于于),(000yxP，若若极极限限值值与与k有有关关，则则可可断断言言极极限限不不存存在在；确定确定极限不存在极限不存在的方法的方法：2RA P P0 0为为 A的的一个聚点一个聚点254.多元函数的连续性多元函数的连续性函数函数0()f PP在连续在连续00lim()()PPf Pf P 5 闭域上的多元连续函数的性质闭域上的多元连续函数的性质:.)1(和和最最小小值值值值上上有有界界，且且能能取取得得最最大大必必定定在在上上的的多多元元连连续续函函数数，在在有有界界闭闭区区域域定定理理有有界界性性与与最最大大值值最最小小值值DD).()()(,2121PfPfPfDPDPP 都都有有使使得得即即存存在在点点26(2).D介值定理介值定理在有界闭区域上的多元连续函数必在有界闭区域上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值取得介于最大值和最小值之间的任何值 PfDPMm使使得得一一点点至至少少特特别别 .,0,)3(连连续续连连续续函函数数的的复复合合函函数数也也均均为为连连续续函函数数处处分分母母不不为为商商积积差差连连续续函函数数的的和和.),(),(),(),(),(),(),(是复合函数是复合函数，则则，yxwyxyxfzyxwwyxvyxuwvufz (4)一致连续性定理一致连续性定理27以以x或或y为自变量的基本初等函数与常数为自变量的基本初等函数与常数经过有限次的四则运算和复合步骤所经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的式子称为构成的式子称为二元函数初等函数二元函数初等函数定义区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域是指包含在定义域内的区域或闭区域313122232lim2222)1,2(),(）（yxyxyxxyxyyx42lim)0,0(),(求求解解.41421lim)42()4(4lim)0,0(),()0,0(),(xyxyxyxyyxyx原式原式(5).一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的28定理定理1 (复合函数的连续性复合函数的连续性)设函数设函数(,)ux y 和和 义义,并在点并在点 Q0 连续连续,其中其中 000000(,),(,).uxyvxy 则复合函数则复合函数(,)(,),(,)g x yfx yx y 在点在点 P0 也也 连续连续.(,)vx y 在点在点 的某邻域内有的某邻域内有定义定义,并在并在 000(,)P xy点点 连续连续;f(u,v)在点在点 000(,)Q u v0P的某邻域内有定的某邻域内有定证证 由由 f 在点在点 Q0 连续可知：连续可知：0,0,使得当使得当 2900|(,)(,)|.f u vf uv 00|,|uuvv 时时,有有又由又由 、在点在点 P0 连续可知连续可知:对上述对上述 0,0,使使得当得当00|,|xxyy 时时,有有000|(,)(,)|,uuu vuv 000|(,)(,)|.vvu vuv 0000|(,)(,)|(,)(,)|.g x yg xyf u vf uv 00|,|xxyy 综合起来综合起来,当当 时时,便有便有所以所以 (,),(,)fx yx y 在点在点 连续连续.000(,)P xy证证 由由 f 在点在点 Q0 连续可知：连续可知：0,0,使得当使得当 30定理定理1 (有界性定理与最大、小值定理有界性定理与最大、小值定理)若二元若二元 函数函数 f 在在有界闭域有界闭域2RD 上连续上连续,则则 f 在在 D上有界上有界,且能取得最大值与最小值且能取得最大值与最小值.|()|,1,2,.(3)nf Pnn 证证 先证明先证明 f 在在 D 上有界上有界.倘若不然倘若不然,则则 +N,n 存存,nPD 使得使得 在在 31nPD nP于是得到一个有界点列于是得到一个有界点列,且能使且能使中有无中有无 穷多个不同的点穷多个不同的点.由聚点定理的推论由聚点定理的推论,nP 存在收敛存在收敛 knP0limknkPP 0.PD 子列子列,设设.因因 D 是闭域是闭域,从而从而 又因又因 f 在在 D上连续上连续,当然在点当然在点 也连续也连续,于是有于是有0P0lim()().knkf Pf P 这与不等式这与不等式(3)矛盾，所以矛盾，所以 f 是是 D上的有界函数上的有界函数.下面证明下面证明 f 在在 D 上能取到最大、小值上能取到最大、小值.为此设为此设 inf(),sup().mf DMf D QD()f QM 可证必有一点可证必有一点,使使(同理可证存在同理可证存在 32QD ()f Qm PD,使使).如若不然如若不然,对任意对任意,都都 有有()0Mf P .考察考察 D 上的正值连续函数上的正值连续函数 1(),()F PMf P 由前面的证明知道由前面的证明知道,F 在在 D上有界上有界.又因又因 f 不能在不能在 D 上达到上确界上达到上确界 M,所以存在收敛点列所以存在收敛点列nPD,使使 lim()nnf PM lim()nnF P .于是有于是有,这导致与这导致与 F 在在 D 上有界的结论相矛盾上有界的结论相矛盾,从而证得从而证得 f 在在 D 上能取上能取 到最大值到最大值.33定理定理2 (一致连续性定理一致连续性定理)若函数若函数 f 在有界闭域在有界闭域 2RD 0,上连续上连续,则则 f 在在 D 上一致连续上一致连续.即即存存 0,(,)P Q 在只依赖于在只依赖于 的的 使得对一切满足使得对一切满足证证 本定理可本定理可理来证明理来证明.这里我们采用后一种证法这里我们采用后一种证法.用有限覆盖定理来证明用有限覆盖定理来证明,也可以用聚点定也可以用聚点定 倘若倘若 f 在在 D 上连续而不一致连续上连续而不一致连续,则存在某则存在某00,0,1,1,2,n n 对对于任意小的于任意小的例如例如,总有总有,P QD|()()|.f Pf Q 必有必有 的的点点34nnPQD、(,)1nnP Qn 相应相应的的,虽然虽然,但是但是 0|()()|.nnf Pf Q 由于由于 D 为有界闭域为有界闭域,因此存在收敛子列因此存在收敛子列,knnPP 0limknkPPD nQknP并设并设 .再在再在中取出与中取出与下下 标相同的子列标相同的子列,knQ 则因则因0(,)10,kknnkPQnk 有有0limlimkknnkkQPP.最后最后,由由f在在 P0 连续连续,得得 3500lim|()()|()()|0.kknnkf Pf Qf Pf Q0|()()|0kknnf Pf Q 这与这与相矛盾相矛盾,所以所以 f 在在 D 上一致连续上一致连续.定理定理3 (介值性定理介值性定理)设函数设函数f在区域在区域2RD 上连续上连续,若若P1,P2 为为 D 中任意两点中任意两点,且且12()(),f Pf P 则对任何满足不等式则对任何满足不等式12()()(4)f Pf P 证证 作辅助函作辅助函数数0PD 0().f P 的实数的实数 ,必存在点必存在点,使得使得 36()(),.F Pf PPD 易见易见 F 仍在仍在 D 上连续上连续,且由且由(4)式知道式知道1()0,F P 2()0.F P 0PD 0()0.F P 下面证明必存在下面证明必存在,使使 1P2PDxyO 37由于由于 D 为区域为区域,我们可以用有限段都在我们可以用有限段都在 D 中的折线中的折线 连结连结 P1 和和 P2 (如上图如上图).若有某一个连接点所对应的函数值为若有某一个连接点所对应的函数值为 0,则定理得则定理得 证证.否则从一端开始逐段检查否则从一端开始逐段检查,必定存在某直线段必定存在某直线段,使得使得 F 在它两端的函数值异号在它两端的函数值异号.不失一般性不失一般性,设连结设连结P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线段含于的直线段含于 D,其方程为其方程为 121121(),01.(),xxt xxtyyt yy 38在此直线段上在此直线段上,F 变为关于变为关于 t 的复合函数：的复合函数：121121()(),(),01.G tF xt xxyt yyt 由于由于 G 为为 0,1 上的一元连续函数上的一元连续函数,且且 12()(0)0(1)(),F PGGF P 因此由一元函数根的存在定理因此由一元函数根的存在定理,在在(0,1)内存在一点内存在一点 0,t0()0G t 使得使得.记记0102101021(),(),xxtxxyytyy 则有则有000(,)P xyD,使得使得000()()0,().F PG tf P 即即