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第二十三讲直角三角形的边角关系考点一三角函数的定义考点一三角函数的定义【主干必备主干必备】锐角三角函数的概念锐角三角函数的概念如图如图,在在RtRtABCABC中中,C=90,C=90,A,B,C,A,B,C所对的边所对的边分别记为分别记为a,b,c.a,b,c.1.1.正弦正弦:sin A=:sin A=_.=_.2.2.余弦余弦:cos A=:cos A=_.=_.3.3.正切正切:tan A=:tan A=_.=_.锐角锐角A A的正弦、余弦、正切统称的正弦、余弦、正切统称A A的锐角三角函数的锐角三角函数.A 的对边斜边A 的邻边斜边AA的对边的邻边acbcab 【微点警示微点警示】(1)(1)注意自变量注意自变量:锐角三角函数的自变量是角度锐角三角函数的自变量是角度,其取值其取值范围是范围是:0:09090.(2)(2)注意锐角三角函数的值注意锐角三角函数的值:当当A A为锐角时为锐角时,0sin,0sin A1,0cos A0.A1,0cos A0.【核心突破核心突破】例例1(20191(2019甘肃中考甘肃中考)在在RtRtABCABC中中,C=90,C=90,tan A=,tan A=,则则cos B=_.cos B=_.3312 【明明技法技法】根据定义求三角函数值的方法根据定义求三角函数值的方法(1)(1)分清直角三角形中的斜边与直角边分清直角三角形中的斜边与直角边.(2)(2)正确地表示出直角三角形的三边长正确地表示出直角三角形的三边长,常设某条直角常设某条直角边长为边长为k(k(有时也可以设为有时也可以设为1),1),在求三角函数值的过程中在求三角函数值的过程中约去约去k.k.(3)(3)正确应用勾股定理求第三条边长正确应用勾股定理求第三条边长.(4)(4)应用锐角三角函数定义应用锐角三角函数定义,求出三角函数值求出三角函数值.(5)(5)求一个角的三角函数值时求一个角的三角函数值时,若不易直接求出若不易直接求出,也可把也可把这个角转化成和它相等且位于直角三角形中的角这个角转化成和它相等且位于直角三角形中的角.【题组过关题组过关】1.(1.(概念应用题概念应用题)如图如图,在在RtRtABCABC中中,ACB=90,ACB=90,ABCD,ABCD于点于点D,D,下下列各组线段的比不能表示列各组线段的比不能表示sinBCDsinBCD的是的是()C CBDBCCDCDA.B.C.D.BCABBCAC2.(20192.(2019宜昌中考宜昌中考)如图如图,在在5 54 4的正的正方形网格中方形网格中,每个小正方形的边长都是每个小正方形的边长都是1,1,ABCABC的顶点都在这些小正方形的的顶点都在这些小正方形的顶点上顶点上,则则sinBACsinBAC的值为世纪金榜导学号的值为世纪金榜导学号()4334A.B.C.D.3455D D3.(20193.(2019眉山中考眉山中考)如图如图,在在RtRtABCABC中中,B=90,B=90,AB=5,BC=12,AB=5,BC=12,将将ABCABC绕绕点点A A逆时针旋转得到逆时针旋转得到ADE,ADE,使得点使得点D D落落在在ACAC上上,则则tanECDtanECD的值为的值为_._.世纪金榜导学号世纪金榜导学号324.4.如图如图,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,直线直线OAOA过点过点(2,1),(2,1),则则tan tan 的值是的值是 _._.世纪金榜导学号世纪金榜导学号12考点二特殊角的三角函数值考点二特殊角的三角函数值【主干必备主干必备】特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值303045456060sin sin _122232303045456060cos cos _ _ tan tan _ _ 3222123331 1 【微点警示微点警示】(1)(1)互余两角三角函数之间的关系互余两角三角函数之间的关系:由上表可得由上表可得,当两角当两角互余时互余时,一角的正弦值等于另一个角的余弦值一角的正弦值等于另一个角的余弦值,即当即当A+B=90A+B=90时时,则则sin A=cos B,cos A=sin B.sin A=cos B,cos A=sin B.(2)(2)锐角三角函数值的变化规律锐角三角函数值的变化规律:在锐角范围内在锐角范围内,sin sin、tan tan 的值随的值随的增大而增大的增大而增大,cos,cos 的值随的值随的增大而减小的增大而减小.【核心突破核心突破】例例2 2【原型题原型题】(2018(2018青海中考青海中考)在在ABCABC中中,若若 =0,=0,则则C C的度数是的度数是_._.211|sin A|(cos B)229090【变形题变形题1 1】(变换条件变换条件)在在ABCABC中中,若若 =0,=0,则则C C的度数是的度数是_._.【变形题变形题2 2】(变换结论变换结论)在在ABCABC中中,若若 =0,=0,则则 的值为的值为_._.2|sin A|222(cos B)29090 1|sin A|221(cos B)2Ctan21 1 【明明技法技法】熟记特殊角的三角函数值的两种方法熟记特殊角的三角函数值的两种方法(1)(1)按值的变化按值的变化:30:30,45,45,60,60角的正余弦的分母都角的正余弦的分母都是是2,2,正弦的分子分别是正弦的分子分别是1,1,余弦的分子分别余弦的分子分别是是 ,1,1,正切分别是正切分别是 ,1,.,1,.2332333(2)(2)特殊值法特殊值法:在直角三角形中在直角三角形中,设设3030角所对的直角边为角所对的直角边为1,1,那么三那么三边长分别为边长分别为1,2;1,2;在直角三角形中在直角三角形中,设设4545角所对的直角边为角所对的直角边为1,1,那么那么三边长分别为三边长分别为1,1,.1,1,.32【题组过关题组过关】1.(20191.(2019天津中考天津中考)2sin 60)2sin 60的值等于的值等于()A.1A.1B.B.C.C.D.2D.2C C232.2.当当A A为锐角为锐角,且且 cos A cos A 时时,A,A的范围是的范围是()世纪金榜导学号世纪金榜导学号A.0A.0A30A30B.30B.30A60A60C.60C.60A90A90D.30D.30A45A45B B12323.(20193.(2019杭州模拟杭州模拟)在在ABCABC中中,已知已知A,BA,B都是锐都是锐角角,+(1-tan B),+(1-tan B)2 2=0,=0,那么那么C C的度数为的度数为_._.1|sin A|2105105 4.(1)(20194.(1)(2019巴中中考巴中中考)计算计算:+(3-):+(3-)0 0+|-2|+|-2|+2sin 602sin 60-.-.(2)(2019(2)(2019遂宁中考遂宁中考)计算计算:(-1):(-1)2 0192 019+(-2)+(-2)-2-2+(3.14-+(3.14-)0 0-4cos 30-4cos 30+|2-|.+|2-|.世纪金榜导学号世纪金榜导学号略略21()23812考点三解直角三角形考点三解直角三角形【主干必备主干必备】一、解直角三角形一、解直角三角形:由直角三角形中的由直角三角形中的_,_,求出其余求出其余_的过程的过程,叫做解直角三角形叫做解直角三角形.已知元素已知元素未知元素未知元素二、直角三角形中的边角关系二、直角三角形中的边角关系 三边之间的关系三边之间的关系 _两锐角之间的关两锐角之间的关系系A+B=_A+B=_a a2 2+b+b2 2=c=c2 29090 边角之间边角之间的关系的关系sin A=cos B=sin A=cos B=_ sin B=cos A=sin B=cos A=_ tan A=tan A=_,tan B=,tan B=_ acbcabba三、解直角三角形的类型及解法三、解直角三角形的类型及解法已知条件已知条件图形图形解法解法一条直角边一条直角边a a及其对角及其对角A A 由由B=90B=90-A-A求得求得B;c=,b=B;c=,b=(或或b=)b=)asin Aatan A22ca已知条件已知条件图形图形解法解法斜边斜边c c及其及其一角一角A A 由由B=90B=90-A-A求得求得B;a=csin A,b=B;a=csin A,b=ccos A(ccos A(或或b=)b=)22ca已知条件已知条件图形图形解法解法两条直角边两条直角边a,ba,b 由由c=c=求得求得c;c;由由tan A=tan A=求得求得A,A,再由再由B=B=9090-A-A求得求得B B22abab 【微点警示微点警示】解直角三角形的必要条件解直角三角形的必要条件:解直角三角形有多种类型解直角三角形有多种类型,但无论哪种类型都至少已知一条边长但无论哪种类型都至少已知一条边长.【核心突破核心突破】例例3(20183(2018自贡中考自贡中考)如图如图,在在ABCABC中中,BC=12,tan A=,BC=12,tan A=,B=30 ,B=30,求求ACAC和和ABAB的长的长.34【思路点拨思路点拨】作作CHABCHAB于于H.H.在在RtRtBCHBCH中求出中求出CH,BH,CH,BH,在在RtRtACHACH中求出中求出AH,ACAH,AC即可解决问题即可解决问题.【自主解答自主解答】略略 【明明技法技法】解直角三角形的规律解直角三角形的规律解直角三角形的方法可概括为解直角三角形的方法可概括为:“:“有斜有斜(斜边斜边)用弦用弦(正正弦、余弦弦、余弦),),无斜用切无斜用切(正切正切),),宁乘勿除宁乘勿除,取原避中取原避中”,即即当已知斜边时当已知斜边时,就用正弦就用正弦(或余弦或余弦),),无斜边时无斜边时,就用正切就用正切;当求值时可用乘法又可用除法时当求值时可用乘法又可用除法时,则用乘法则用乘法,不用除法不用除法;当可用已知数据又可用中间数据求解时当可用已知数据又可用中间数据求解时,则用原始数据则用原始数据,尽量避免用中间数据尽量避免用中间数据.【题组过关题组过关】1.1.在在RtRtABCABC中中,C=90,C=90,BC=,AC=,BC=,AC=,则则A=A=()A.90A.90B.60B.60C.45C.45D.30D.30515D D2.2.在在RtRtABCABC中中,C=90,C=90,由下列条件解直角三角形由下列条件解直角三角形:(1)(1)已知已知c=20,A=60c=20,A=60,则则a=_.a=_.(2)(2)已知已知b=35,A=45b=35,A=45,则则a=_.a=_.10 3 35353.(20193.(2019绵阳中考绵阳中考)在在ABCABC中中,若若B=45B=45,AB=10 ,AB=10 ,AC=5 ,AC=5 ,则则ABCABC的面积是的面积是_._.世纪金榜导学号世纪金榜导学号257575或或25254.4.在在RtRtABCABC中中,C=90,C=90,AC=,BC=,AC=,BC=,解这个直角解这个直角三角形三角形.世纪金榜导学号世纪金榜导学号26【解析解析】在在RtRtABCABC中中,C=90,C=90,AC=,BC=,AC=,BC=,AB=AB=tan A=tan A=A=60A=60,B=30B=30,即即AB=2 ,A=60AB=2 ,A=60,B=30,B=30.2222ACBC(2)(6)2 2，BC63AC2，262考点四解直角三角形的应用考点四解直角三角形的应用【主干必备主干必备】1.1.仰角和俯角仰角和俯角:如图如图1,1,在同一铅垂面在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角内视线和水平线间的夹角,视线在水视线在水平线平线_的叫做仰角的叫做仰角,在水平线在水平线_的的叫做俯角叫做俯角.上方上方下方下方2.2.坡度坡度(坡比坡比)和坡角和坡角:如图如图2,2,通通常把坡面的铅直高度常把坡面的铅直高度h h和和_之比叫做坡度之比叫做坡度(或叫做坡比或叫做坡比),),用字母用字母_表示表示,即即i=_;i=_;坡面与坡面与_的夹角叫做坡角的夹角叫做坡角,记作记作.所以所以i=_=tan.i=_=tan.水水平宽度平宽度li ihl水平面水平面hl3.3.方位角方位角:指北或指南的方向线与目标方向所成的小于指北或指南的方向线与目标方向所成的小于9090的角叫做方位角的角叫做方位角.【微点警示微点警示】(1)(1)注意仰角、俯角的区别注意仰角、俯角的区别:仰角的视线在水平线上仰角的视线在水平线上,俯俯角的视线在水平线下角的视线在水平线下.(2)(2)注意坡度的实际含义注意坡度的实际含义:坡度不是坡角的度数坡度不是坡角的度数,而是坡而是坡角的正切值角的正切值.(3)(3)注意方位角的基准线注意方位角的基准线:方位角的基准线是南北方向方位角的基准线是南北方向线线,先说先说“南或北南或北”,再说偏东或偏西多少度再说偏东或偏西多少度.【核心突破核心突破】例例4(20194(2019随州中考随州中考)在一次海上救援中在一次海上救援中,两艘专业救助船两艘专业救助船A,BA,B同时收到某事故渔船同时收到某事故渔船的求救讯息的求救讯息,已知此时救助船已知此时救助船B B在在A A的正北的正北方向方向,事故渔船事故渔船P P在救助船在救助船A A的北偏西的北偏西3030方向上方向上,在救助船在救助船B B的西南方向上的西南方向上,且事故渔船且事故渔船P P与救助船与救助船A A相距相距120120海里海里.(1)(1)求收到求救讯息时事故渔船求收到求救讯息时事故渔船P P与救助船与救助船B B之间的距离之间的距离.(2)(2)若救助船若救助船A,BA,B分别以分别以4040海里海里/小时、小时、3030海里海里/小时的小时的速度同时出发速度同时出发,匀速直线前往事故渔船匀速直线前往事故渔船P P处搜救处搜救,试通过试通过计算判断哪艘船先到达计算判断哪艘船先到达.【自主解答自主解答】略略 【明明技法技法】应用解直角三角形解决实际问题的方法与步骤应用解直角三角形解决实际问题的方法与步骤(1)(1)构造直角三角形构造直角三角形:根据实际问题情境画出直角三角根据实际问题情境画出直角三角形形,若无现成的直角三角形若无现成的直角三角形,则需要作垂线等构造出直则需要作垂线等构造出直角三角形角三角形.(2)(2)解直角三角形解直角三角形:得到直角三角形后得到直角三角形后,将题干中的已知将题干中的已知量和三角形的边角对应起来量和三角形的边角对应起来,看能否直接求解看能否直接求解,若不能若不能则需要设某一线段长为则需要设某一线段长为x,x,列方程求解列方程求解.【题组过关题组过关】1.(20191.(2019北部湾中考北部湾中考)小菁同学在小菁同学在数学实践活动中测量路灯的高度数学实践活动中测量路灯的高度,如图如图,已知她的目高已知她的目高ABAB为为1.51.5米米,她她先站在先站在A A处看路灯顶端处看路灯顶端O O的仰角为的仰角为3535,再往前走再往前走3 3米站米站在在C C处处,看路灯顶端看路灯顶端O O的仰角为的仰角为6565,则路灯顶端则路灯顶端O O到地到地面的距离约为面的距离约为(结果精确到结果精确到0.10.1米米.已知已知sin35sin350.6,cos350.6,cos350.8,tan350.8,tan350.7,sin650.7,sin650.9,0.9,cos65cos650.4,tan650.4,tan652.1)2.1)世纪金榜导学号世纪金榜导学号 ()A.3.2A.3.2米米B.3.9B.3.9米米C.4.7C.4.7米米D.5.4D.5.4米米C C2.(20192.(2019长沙中考长沙中考)如图如图,一艘轮船从位一艘轮船从位于灯塔于灯塔C C的北偏东的北偏东6060方向方向,距离灯塔距离灯塔60 n mile60 n mile的小岛的小岛A A出发出发,沿正南方向航沿正南方向航行一段时间后行一段时间后,到达位于灯塔到达位于灯塔C C的南偏东的南偏东4545方向上的方向上的B B处处,这时轮船这时轮船B B与小岛与小岛A A的距离是世纪的距离是世纪金榜导学号金榜导学号()D DA.30 A.30 n milen mileB.60 n mileB.60 n mileC.120 n mileC.120 n mileD.(30+30 )n mileD.(30+30 )n mile333.(20193.(2019潍坊中考潍坊中考)自开展自开展“全民健身运动全民健身运动”以来以来,喜喜欢户外步行健身的人越来越多欢户外步行健身的人越来越多,为方便群众步行健身为方便群众步行健身,某地政府决定对一段如图某地政府决定对一段如图1 1所示的坡路进行改造所示的坡路进行改造.如图如图2 2所示所示,改造前的斜坡改造前的斜坡AB=200AB=200米米,坡度为坡度为1 ;1 ;将斜坡将斜坡ABAB的高度的高度AEAE降低降低AC=20AC=20米后米后,斜坡斜坡ABAB改造为斜坡改造为斜坡CD,CD,其坡度其坡度为为14.14.求斜坡求斜坡CDCD的长的长.(.(结果保留根号结果保留根号)3略略
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