第四讲--印度与阿拉伯数学及近代数学的兴起

第四讲印度与阿拉伯的数学及近代数学的兴起第一部分印度与阿拉伯的数学一、印度数学 1921年-1922年间，印度河流域莫亨佐达罗、哈拉帕等古代城市遗址的考古挖掘，揭示了一个悠久的文明，“哈拉帕文化”或“印度河流域文化”。这一文明的创造者是印度土著居民达罗毗荼人，其历史可以追溯到公元前3000年左右。大约到了公元前2000年纪中叶，操印欧语的游牧民族雅利安人入侵印度，征服了达罗毗荼人，印度土著文化从此衰微不振。印度历史上曾出现过强盛独立的王朝，如孔雀王朝(公元前324-前185)、笈多王朝(320-540)，但总体而言，整个古代与中世纪，富庶的南亚次大陆几乎不断地处于外族的侵扰之下。公元前6世纪，波斯帝国将印度变为它的辖区；公元前327年，亚历山大大帝赶走了波斯人，却在这里建立了马其顿人的莫尔雅帝国；大月氏人又曾将印度并入贵霜帝国的版图(1世纪-3世纪)。公元5世纪以后，印度更是先后遭受匈奴人、阿拉伯人、突厥人和蒙古人的侵占。这种多民族的交替入侵，使古代的印度文化包括印度数学不可避免地呈现出多元化的复杂背景。如果说希腊数学与其哲学密切相关，那么古代印度数学则更多地受到其宗教的影响。雅利安人建立的婆罗门教(公元4世纪后改革为印度教)，以及稍后(公元前世纪)兴起的佛教等，形成了古代印度数学发展的浓厚的宗教氛围。印度数学的发展可以划分为3个重要时期，首先是雅利安人入侵以前的达罗毗荼人时期(公元前3000-前1400)， 史称河谷文化；随后是吠陀时期(约公元前10世纪前3世纪)；其次是悉檀多时期(5世纪12世纪)。1、古代纯法经关于庙宇、祭坛的设计与测量的部分测纯的法规，即纯法经，大约为公元前8世纪至公元前2世纪的作品。其中有一些几何内容和建筑中的代数计算问题。如勾股定理、矩形对角线的性质、相似直线形的性质，以及一些作图法等。2、“巴克沙利手稿”与零号关于公元前2世纪至公元后3世纪的印度数学，可参考资料也很少，所幸于1881年在今巴基斯坦西北地区一座叫巴克沙利的村庄，发现了这一时期的书写在桦树皮上的所谓“巴克沙利手稿”。其数学内容十分丰富，涉及到分数、平方根、数列、收支与利润计算、比例算法、级数求和、代数方程等。用圆圈符号“0”表示零，可以说是印度数学的一大发明。在数学上，“0”的意义是多方面的，它既表示“无”的概念，又表示位值记数中的空位，而且是数域中的一个基本元素，可以与其他数一起运算。“0”作为记数法中的空位，在位值制记数的文明中不可缺少，只不过不同的文明采取了不同的表示方法。印度人起初也是用空位表示零，后记成点号，最后发展为圈号。到公元11世纪，包括有零号的印度数码和十进位值记数法臻于成熟，特别是印度人不仅把“0”看作记数法中的空位，而且也视其可施行运算的一个独立的数。婆罗摩笈多、马哈维拉和婆什迦逻的著作中都有关于零的运算法则的记述。印度数码在公元8世纪传入阿拉伯国家，后又通过阿拉伯人传至欧洲。零号的传播则要晚些。3、“悉檀多”时期的印度数学悉檀多(原为佛教因明术语，可意译为“宗”，或“体系”)时代是印度数学的繁荣鼎盛时期，其数学内容主要是算术与代数，出现了一些著名的数学家，如阿耶波多(476-约550)、波罗摩笈多(598-665)、马哈维拉(9世纪)和婆什迦罗(1114-约1185)等。(一)阿耶波多。阿耶波多是现今所知有确切生年的最早的印度数学家，他只有一本天文数学著作阿耶波多历数书(499)传世。该书最突出的地方在于对希腊三角学的改进和一次不定方程的解法。阿耶波多最大贡献是建立了丢番图方程求解的所谓“库塔卡”方法(原意“ 粉碎”)方法，采用辗转相除法的演算程序，接近于连分数算法。(二)婆罗摩笈多。婆罗摩笈多的两部天文著作婆罗摩修正体系(628)和肯德卡迪亚格(约665)，都含有大量的数学内容，其代数成就十分可贵。婆罗摩笈多最突出的贡献是给出今天所谓佩尔方程的一种特殊解法，名为“瓦格布拉蒂”。(三)马哈维拉。7世纪以后，印度数学出现了沉寂，到9世纪才又呈现出繁荣。如果说7世纪以前印度的数学成就总是与天文学交织在一起，那么9世纪以后发生了改变。这期间的代表是马哈维拉的计算方法纲要，与中国的九章算术相同或相近。(四)婆什迦罗。婆什迦罗是印度古代和中世纪最伟大的数学家和天文学家，长期在乌贾因负责天文台工作。他有两本代表印度古代数学最高水平的著作莉拉沃蒂和算法本源，天文著作有天球和天文系统之冠。关于莉拉沃蒂书名，有一个美丽动人的传说：莉拉沃蒂是婆什迦罗女儿的名字(原意是“美丽”)，占星家预言她终身不能结婚。也是占星家的婆什迦罗为女儿预占吉日，他把一个底部有孔的杯子放入水中，让水从孔中慢慢渗入，杯子沉没之时，也就是他女儿的吉日来临之际。女儿带着好奇观看这只待沉的杯子，不想颈项上一颗珍珠落入杯中，正好堵塞了漏水的小孔，杯子停止了继续下沉，这样注定莉拉沃蒂永不能出嫁。婆什迦罗为了安慰女儿，把他所写的算书以她的名字命名，以使她的名字随同这本书一起流芳百世，该书后来在莫卧儿帝国的帝王阿克巴(1556-1605在位)的授意下，由菲济译成波斯文。这个传说来源于菲济的记载。莉拉沃蒂共有13章。该书中很多数学问题是用歌谣的形式给出的。由于印度屡被其他民族征服，使印度古代天文数学受外来文化影响较深，除希腊天文数学外，也不排除中国文化的影响，然而印度数学始终保持东方数学以计算为中心的实用化特点。与算术和代数相比，印度人在几何方面的工作则显得薄弱。二、阿拉伯数学“阿拉伯数学”并非单指阿拉伯国家的数学，而是指8-15世纪阿拉伯帝国统治下整个中亚和西亚地区的数学，包括希腊人、波斯人、犹太人和基督徒等所写的阿拉伯文及波斯文等数学著作。穆斯林在穆罕默德的鼓舞下，在他死后(632)不到半个世纪的时间内征服了从印度到西班牙，乃至北非和南意大利的大片土地，到7世纪初，阿拉伯半岛基本统一。755年阿拉伯帝国分裂为两个独立王国。东部王国阿拔斯王朝，762年迁都巴格达。西部王国，则定都西班牙的哥尔多华。909年，在北非突尼斯又建立一个新的哈里发国家，973年迁都埃及开罗。在世界文明史上，阿拉伯人在保存和 传播希腊、印度甚至中国的文化，最终为近代欧洲的文艺复兴准备学术前提方面作出了巨大贡献。阿拉伯建国后，东西两个帝国的哈里发都十分重视科学与事业，他们曾经从拜占庭帝国收买大量希腊人手稿，他们还邀请各地科学家到他们的首都从事科学研究，巴格达成为当时的科学文化中心，阿拔斯王朝在那里设立的“智慧宫”，吸引了大批学者，他们掀起了著名的翻译运动。在曼苏尔哈里发时期，婆罗摩笈多等印度天算家的著作在766年左右已传入巴格达，并译成阿拉伯文，8世纪末到9世纪世纪初的兰希哈里发时期，包括几何原本和大成在内的希腊天文数学经典先后被译成阿拉伯文。9世纪最著名的翻译家塔比伊本库拉翻译了欧几里得、阿婆罗尼奥斯、阿基米德、托勒玫、狄奥多修斯等人的著作。到10世纪丢番图、海伦等人的著作也被译成阿拉伯文。阿拉伯学者们在广泛吸收古希腊、印度与中国的数学成果的基础上，也加上了他们自己的创造，使阿拉伯数学取得了对文艺复兴以后欧洲数学的进步有深刻影响的发展。1、阿拉伯的代数(一)花拉子米代数学。阿拉伯数学的突出成就首先表现在代数方面。花拉子米(约783-850)是对欧洲数学影响最大的中世纪阿拉伯数学家，生于波斯北部花拉子米城(今乌兹别克斯坦境内)，曾就学于中亚古城默夫，813年后来到巴格达，成为智慧宫的领头学者。他的还原与对消计算概要（约820年前后）一书在12世纪被译成拉丁文，在欧洲产生巨大影响。阿拉伯语“al-jabr”，意为还原，即移项；“wal-muqabala”，意为对消，即同类项合并。传入欧洲后，到14世纪“al-jabr”演变为拉丁语“algebra”，就成了今天英文“algebra”(代数)一词的来源，因此花拉子米的上述著作通常也称为代数学。代数学所讨论的数学问题本身大都比丢番图和印度人的问题简单，但它探讨一般性解法，因而远比丢番图的著作接近于近代初等代数。书中用代数方式处理了线性方程组与二次方程，第一次给出了一元二次方程的一般性解法及几何证明，同时又引进了移项、同类项合并等代数运算等等，这一切为作为“解方程的科学”的代数学开拓了道路。代数学约1140年被英国人罗伯特译成拉丁文，作为标准的数学课本在欧洲使用了数百年，引导了16世纪意大利代数方程求解方面的突破。代数学首先指出，该书的数学问题都是由根（x）、平方（x2）和数（常数）这三者组成。接着分六章叙述6种类型的一、二次方程求解问题。花拉子米的另一本书印度计算法也是数学史上十分有价值的数学著作，其中系统介绍了印度数码和十进制记数法，以及相应的计算方法。（二）奥马海亚姆与三次方程波斯人奥马海亚姆（约10481131）是11世纪最著名且最富成就的数学家、天文学家和诗人，生于霍拉桑的内沙布尔（今伊朗境内）。他曾得到塞尔柱统治者马利克沙（10551092）的重用，受命在伊斯法罕（亦在今伊朗境内）天文台负责历法改革工作，制定了精密的哲拉里历。他在代数学方面的成就集中反映于他的还原与对消问题的论证（简称代数学）一书中，其中有开平方、开立方算法，但该书对代数学最杰出的贡献是用圆锥曲线解三次方程。在使用数学符号方面，与丢番图相比阿拉伯人退步了，阿拉伯数学家没有继承丢番图的做法，始终用语言叙述他们的解法。2、阿拉伯的三角学与几何学由于数理天文学的需要，阿拉伯人继承并推进了希腊的三角术，其学术主要来源于印度的苏利耶历数全书等天文历表，以及希腊托勒玫的大成、梅内劳斯的球面学等古典著作。对希腊三角学加以系统化的工作是由9世纪天文学家阿尔巴塔尼（858？929）作出的，而且他也是中世纪对欧洲影响最大的天文学家。其天文论著（又名星的科学）被普拉托译成拉丁文后，在欧洲广为流传，哥白尼、第谷、开普勒、伽俐略等人都利用和参考了它的成果。1201年纳西尔丁出生于伊朗的图斯，生活于十字军和蒙古人的侵占时代，是一位知识渊博的学者。他的论完全四边形是一部脱离天文学的系统的三角学专著。与希腊人三角术的几何性质相比，阿拉伯人的三角术与印度人一样是算术性的。与阿拉伯人的代数成就和三角学成就相比，阿拉伯人在几何方面的工作主要是对希腊几何的翻译与保存，并传给了欧洲。阿拉伯人关于第五公设证明的尝试，诱发后世欧洲学者在这方面的兴趣，对非欧几何的诞生有一定的影响。第二部分近代数学的兴起一、 中世纪的欧洲公元511世纪，是欧洲历史上的黑暗时期，欧洲文明在整个中世纪处于凝滞状态，其在数学领域毫无成就。12世纪是欧洲数学的翻译时代，古代学术传播西欧的路线如下：波斯希腊西西亚 （意大利）印度巴格达北非 西欧中国汉唐 西班亚中国宋元黑暗过后，第一位有影响的数学家是斐波那契，（11701250）他早年随父在北非师从阿拉伯人学习算学，后又游历地中海沿岸诸国，回意大利后写成算经主要是一些源自古代中国，印度和希腊的数学问题的汇集，特别是书中系统介绍了印度阿拉伯数码，对改变欧洲数学的面貌产生了很大影响。因此算经可以看作是欧洲数学在经历了漫长的黑暗之后走向复苏的号角，而真正的复苏则在15、16世纪。二、 向近代数学的过渡1、代数学欧洲人在数学上的推进是从代数学开始的，它是文艺复兴时期成果最突出、影响最深远的领域，拉开了近代数学的序幕。主要包括三、四次方程求解与符号代数的引进这两个方面。花拉之米的代数学被翻译成拉丁文后，开始在欧洲传播，不过，直到15世纪，人们还以为三四次方程与化圆为方问题一样难以解决。第一个突破是波伦亚大学的数学教授费罗，大约在1515年作出的，他发现了形如3（，0）的三次方程的代数解法。按当时的风气，学者们不公开自己的研究成果，费罗将自己的解法秘密传给他的学生费奥，1535年，意大利另一位数学家塔塔利亚（绰号，意为口吃者）也宣称自己可以解形如32（，0）的三次方程，怀疑之余，费奥向塔塔利亚挑战，要求各自解出对方提出的30个三次方程，比赛在米兰大教堂公开举行，结果是，塔塔利亚很快解出形如32和3（，0）两类型的所有三次方程而费罗仅能解出后一类型的方程。塔塔利亚获利而归，却依然保守解法的秘诀，后经一位教书行医于米兰的学者卡尔丹的再三请求，在后者发誓保密的情况下，塔塔利亚将解法传给了卡尔丹。不久，卡尔丹违背诺言在1545年出版的著作大法中公布了这些解法。三次方程解决后不久，1540年意大利数学家达科伊向卡尔丹提出一个四次方程的问题，卡尔丹未能解决，但由其学生费拉里解决了，其解法了也被卡尔丹写进大法中。在书中，卡尔丹已认识到复根是成对出现的，及根的个数及根与系数的一些关系。在法国，数学家韦达在他的分析引论中，第一次有意识地使用系统代数字母与符号，这就使代数成为研究一般类型的形式和方程的学问，因其抽象而应用更为广泛。对韦达所使用的代数符号的改进工作是由笛卡尔完成的，到17世纪，欧洲数学家已普遍认识到，数学中刻意使用符号有很好的功效，并且使数学问题具有一般性。2、三角学航海历法推算以及天文观测的需要，推动了三角学的发展。在欧洲第一部脱离天文学的三角学专著是波伊尔巴赫的学生德国人雷格蒙塔努斯的论各种三角形，他首次对三角学作出完整、独立的阐述，使其开始在欧洲广泛传播。其后，哥白尼的学生雷提库斯将传统的弧与弦的关系，改进为角函数关系，并采用六个函数。三角学的进一步发展，是韦达所做的平面三角与球面三角系统化工作。在16世纪，三角学已从天文学中分离出来成为一个独立的数学分支。3、从透视学到射影几何欧洲几何学创造性活动的复兴晚于代数学，由于绘画、制图中的现实性问题的刺激导致了富有文艺复兴特色的学科透视学的兴趣，从而诞生了射影几何学。对于透视法所产生的问题从数学上直接给予解答的第一个人是法国人德沙格（15911661），另一位法国数学帕斯卡（16231662）16岁时就开始研究投射与取景法，在射影几何方面最突出的成就是所谓的帕斯卡定理：圆锥曲线的内接六边形对边交点共线，另外画家出身的拉伊尔在极点理论方面有所创新。4、计算技术与对数16世纪前半叶，计算技术最大的改进是对数的发展和应用，它的产生主要是由于天文和航海计算的强烈需要。苏格兰贵族数学家纳皮尔（15501617）在球面天文学的三角学研究中首先发明对数方法，并于1614年在题为奇妙的对数定理说明书一书中作了阐述。三、解析几何的诞生16世纪，对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题，而近代数学的第一个里程碑是解析几何的发明。解析几何最重要的前驱是法国数学家奥雷斯姆，而真正发明还要归功于法国另外两位数学家笛卡尔与费马，他们工作的出发点不同，但却殊途同归。笛卡尔1637年发表了著名的哲学著作更好地指挥推理和寻求科学真理的方法，该书有三个附录，几何学、屈光学和气象学解析几何的发明包含在几何学这篇附录中，笛卡尔的出发点是一个著名的希腊数学问题帕波斯问题。事实上，笛卡尔有一个大胆的计划，即：任何问题数学问题代数问题方程求解为了实施这一计划，笛卡尔首先通过“广延”（他对有形物广延的一种推广）的比较，将一切度量问题化为代数方程问题，为此需要确定比较的基础，即定义“广延”单位，以及建立“广延”符号系统及其算术运算，特别是要给出算术运算与几何图形之间的对应。即坐标系和曲线方程的思想。笛卡尔的哲学名言“我思故我在”主张用怀疑的态度代替盲从和迷信，认为只有依靠理性才能获得真理，这为他自己的科学发现开辟了一条崭新的道路。笛卡尔出生于法国都伦的拉哈耶，是贵族家庭的后裔，父亲是一个律师 。他早年受教于拉福累歇的耶稣会学校，1612年赴巴黎从事研究，曾于1617年和1619年两次从军，离开军营后，旅行于欧洲，他的学术研究是在军旅和旅行中作出的。关于笛卡尔创立解析几何的灵感有几个传说。一个传说讲，笛卡尔终身保持着耶稣会学校读书期间养成的“晨思”习惯，他在一次“晨思”时，看见一只苍蝇正在天花板上爬，他突然想到，如果知道了苍蝇与相邻两个墙壁的距离之间的关系，就能描述它的路线，这使它头脑中产生了关于解析几何的最初闪念。另一个传说是，1619年冬天，笛卡尔随军队驻扎在多瑙河畔的一个村庄，在圣马丁节的前夕(11月10日)，他做了三个连贯的梦。笛卡尔后来说正是这三个梦，向它揭示了“一门奇特的科学”和“一项惊人的发现”，虽然他从未明说过这门奇特科学和这项惊人的发现是什么，但这三个梦从此成为后来每本介绍解析几何著作必提的佳话，它给解析几何的诞生蒙上了一层神秘的色彩。人们在苦心思索之后的睡梦中获得灵感与启示不是不可能的，但事实上笛卡尔之所以能创立解析几何主要是他艰苦探索、潜心思考，运用科学的方法，同时批判地继承前人的成就的结果。费马工作的出发点是竭力恢复失传的阿波罗尼奥斯的著作论平面轨迹，为此他写有一书论平面和立体的轨迹引论，书中清晰地阐述了他的解几原理，指出：“只要在最后的方程中出现两个末知量，我们就有一条轨迹，这两个量之一的末端描绘出一条直线或曲线。直线只有一种，曲线的种类则无限的，有圆、抛物线、椭圆等等”。