第一章 第2节 库仑定律

库仑定律1. 点电荷是理想模型，当带电体的大小和形状在研究的问 题中的影响可以忽略时，带电体可被看成点电荷。2. 库仑定律表达式为F=W，此式仅适用于真空中的点电荷。静电力常量k=9.0X 109 N-m2/C2o课前自主学习，基稳才能楼高一、探究影响电荷间相互作用力的因素1. 实验原理：如图1-2-1所示，小球受Q的斥力，丝线偏转。图 1-2-1F=mgtan 0, 0 变大，F 变大。2. 实验现象(1) 小球带电荷量不变时，距离带电物体越远，丝线偏离竖直方向的角度越小。小球处于同一位置时，小球所带的电荷量越大，丝线偏离竖直方向的角度越大。3. 实验结论：电荷之间的作用力随着电荷量的增大而增大，随着距离的增大而减小。二、库仑定律1. 库仑力：电荷间的相互作用力，也叫做静电力。2. 点电荷：带电体间的距离比自身的大小大得多，以致带电体的形状、大小及电荷分 布状况对它们之间的作用力的影响可忽略时，可将带电体看做带电的点，即为点电荷。3. 库仑定律(1) 内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比， 与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。(2)表达式：F=k% k=90X109 Nm2/C2，叫做静电力常量。(3)适用条件：真空中的点电荷。三、库仑的实验1. 实验装置：库仑做实验用的装置叫做库仑扭秤。如图1-2-2所示，细银丝的下端悬 挂一根绝缘棒，棒的一端是一个带电的金属小球A,另一端有一个不带电的球B, B与A 所受的重力平衡。当把另一个带电的金属球C插入容器并使它靠近A时，A和C之间的作 用力使悬丝扭转，通过悬丝扭转的角度可以比较力的大小。图 1-2-22. 实验步骤(1) 改变A和C之间的距离，记录每次悬丝扭转的角度,便可找出力F与距离尸的关系。(2) 改变A和C的带电荷量，记录每次悬丝扭转的角度，便可找出力F与带电荷量q 之间的关系。3. 实验结论(1) 力F与距离r的二次方成反比，即蝗。(2) 力F与q1和q2的乘积成正比，即Fq。所以F譬或F=华。比较，我们可以看到，自然规律既具有多样性，又具有统一性，也许它们是同一种相互作 用的不同表示。（2）有人根据库仑定律的表达式F=*qq得到：当两电荷之间的距离L0时，两电荷之间的库仑力F-8,这样对吗？提示：不对。库仑定律的适用条件是真空中的点电荷，当r-0时，两个电荷已经不能 再看成点电荷了，也就不能运用库仑定律计算电荷之间的相互作用力了。ES9I对点电荷的理解0通知识1. 点电荷是只有电荷量，没有大小、形状的理想化模型，类似于力学中的质点，实际 中并不存在。2. 带电体能否看成点电荷视具体问题而定，不能单凭它的大小和形状下结论。如果带 电体的大小比带电体间的距离小得多，则带电体的大小及形状就可以忽略，此时带电体就 可以看成点电荷。通题组1.A.下列关于点电荷的说法正确的是（） 电荷量很小的带电体就是点电荷B.一个电子，不论在何种情况下，都可以看成点电荷C.D.一切带电体都可以看成点电荷当两个带电体的大小远小于它们之间的距离时，可将这两个带电体看成点电荷解析：选C 带电体能否看做点电荷，和带电体的体积无关，主要看带电体的体积相 对所研究的问题是否可以忽略，如果能够忽略，则带电体可以看成点电荷，否则就不能。2.下列关于点电荷的说法正确的是（）A.任何带电球体都可以看成电荷全部集中于球心的点电荷B球状带电体一定可以看成点电荷C. 点电荷就是元电荷D. 一个带电体能否看成点电荷应以具体情况而定解析：选D 个带电球体能否看成点电荷，是相对于具体问题而言的，不能单凭其 大小和形状及带电荷量的多少来判断，因此选项D正确，A、B错误；元电荷是电荷量，点电荷是带电体的抽象，两者的内涵不同，所以选项C错。者点二对库仑定律的理解1. 两个点电荷间的库仑力(1) 真空中两个静止点电荷间相互作用力的大小只跟两个电荷的电荷量及间距有关，跟 它们的周围是否存在其他电荷无关。(2) 两个电荷之间的库仑力同样遵守牛顿第三定律，与两个电荷的性质、带电多少均无 关，即作用力与反作用力总是等大反向。2. 两个带电球体间的库仑力(1) 两个规则的均匀带电球体，相距比较远时，可以看成点电荷，也适用库仑定律，球 心间的距离就是二者的距离。(2) 两个规则的带电球体相距比较近时，不能被看做点电荷，此时两带电球体之间的作 用距离会随所带电荷量的改变而改变，即电荷的分布会发生改变。若带同种电荷时，如图 1-2-3(a)，由于排斥而距离变大，此时FV 解；若带异种电荷时，如图(b)，由于吸引而距 离变小，此时5臂图 1-2-3通方法典例A、B、C三点在同一直线上，AB : BC=1 : 2, B点位于A、C之间，在B处固定一电荷量为Q的点电荷。当在A处放一电荷量为+q的点电荷时，它所受到的电场力为F；移去A处电荷，在C处放一电荷量为一2q的点电荷，其所受电场力为()A FFA.一 2B.2C.-FD. F思路点拨解答本题应注意以下三点：(1) 电场力与电荷电量大小的关系；(2) 电场力与点电荷间距的关系；(3) 电场力的方向规定。解析在A处放电荷量为+q的点电荷时，Q所受电场力大小为F.在c处放一电荷量为一匆的点电荷时，Q所受电场力大小为F=笔互=斧%=F。且不管 rBc 2rAB AB电荷Q是正还是负，两种情况下，Q受力方向相同，故选项B正确，A、C、D错误。笞案B应用库仑定律应注意的事项（1虽然库仑定律的条件是在真空中，但在空气中也可以用该公式进行计算。（2）单位必须用国际单位，才有静电力常量k = 9.0x109 N m 2/C2。通题组1. 多选）对于库仑定律，下面说法正确的是（）A .凡计算真空中两个点电荷间的相互作用力，就可以使用公式F=k*#B .两个带电小球即使相距非常近，也能用库仑定律C. 相互作用的两个点电荷，不论它们的电荷量是否相同，它们之间的库仑力大小一定 相等D. 当两个半径为的带电金属球中心相距为4r时，对于它们之间的静电作用力大小， 只取决于它们各自所带的电荷量解析：选AC 库仑定律公式F =kqrq2的适用条件是真空中的点电荷，故A正确；两 带电小球相距很近时，不能看做点电荷，公式F=kqrq2不适用，故b错；相互作用的点电 荷间的库仑力也是一对作用力与反作用力，大小相等，方向相反，故C正确；当两带电球 本身的半径不满足远小于它们间的距离时，就不能看做点电荷，公式F=kqjq2不再适用， 库仑力还与它们的电荷分布有关，故D错。2. 如图122所示，用两根同样的绝缘细线把甲、乙两个质量相等的带电小球悬挂在同 点上，甲、乙两球均处于静止状态。已知两球带同种电荷，且甲球的电荷量大于乙球的 电荷量，F、F2分别表示甲、乙两球所受的库仑力，则下列说法中正确的是（）图 122A. F1一定大于F2B. F一定小于F2C. F与F2大小一定相等D. 无法比较F1与F2的大小解析：选C两个电荷间的相互作用的库仑力遵守牛顿第三定律，甲、乙两球所受的 库仑力等大反向，作用在一条直线上，选项C正确。3. 真空中有相距为,的两个点电荷4. B,它们之间相互作用的静电力为兄如果将A 的带电荷量增加到原来的4倍，B的带电荷量不变，要使它们的静电力变为04,则它们的 距离应当变为()A. 16rB. 4rC. 212rD. 2r解析：选B 根据库仑定律F=kqq，可以确定距离应变为4r,故B正确。考点三库仑定律的应用通知识1. 两个点电荷的静电力计算静电力的大小计算和方向判断一般分开进行。(1) 大小计算：利用库仑定律计算大小时，不必将表示电性的正、负号代入公式，只代 入、q2的绝对值即可。(2) 方向判断：利用同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引来判断。2. 多个点电荷的静电力叠加：对于两个以上的点电荷，其中每一个点电荷所受的总的 静电力等于其他点电荷分别单独存在时对该电荷的作用力的矢量和。这里典型的问题是三 个点电荷的平衡，见例题。通方法典例在真空中有两个相距r的点电荷A和B,带电荷量分别为qi=-q, %=初。(1) 若A、B固定，在什么位置放入第三个点电荷，可使之处于平衡状态？平衡条件 中对q3的电荷量及正负有无要求？(2) 若以上三个点电荷皆可自由移动，要使它们都处于平衡状态，对q3的电荷量及电性 有何要求？审题指导第一步抓关键点关键点获取信息q=-q，q2=4qA、B带异种电荷第(1)问中，4、B固定只要满足q3二力平衡即可第(2)问三个电荷都不固定三个点电荷均要二力平衡第二步找突破口第(1)问中，看q3放在A. B的连线还是延长线上，能满足q3受的两个力方向相反，然 后用库仑定律表示出两个力即可。第(2)问中，让q3平衡可确定q3的位置，再让q1或q2中的一个平衡，便可建三点电荷务钓OO O/77/7777/7/77Z7.二力平衡等式确定q3的电荷量及电性。解析(1)%受力平衡，必须和q1、q2在同一条直线上，因为、带异号电荷，所以 q3不可能在它们中间。再根据库仑定律，库仑力和距离的平方成反比，可推知q3应该在qi q2的连线上，q1的外侧(离带电荷量少的电荷近一点的地方)，如图所示。设q3离q1的距离 是*，根据库仑定律和平衡条件列式：蛰-帝=。将qq2的已知量代入得：x=r,对q3的电性和电荷量均没有要求。(2)要使三个电荷都处于平衡状态，就对q3的电性和电荷量都有要求，首先q3不能是一 个负电荷，若是负电荷，qq2都不能平衡，也不能处在它们中间或q2的外侧，设q3离q1 的距离是*。根据库仑定律和平衡条件列式如下：对3：磬一桃=。对推-解=。解上述两方程得：q3=4q, x=r。答案在qi的外侧距离为r处，对q3的电性和电荷量均没有要求电荷量为4q带正电三个自由电荷平衡问题的处理技巧(1) 三个电荷均处于平衡状态，每个电荷所受另外两个电荷的静电力等大反向，相互抵 消。(2) 三个电荷一定处在同一条直线上，且必定是两同一异，异种电荷的电荷量最小且位 于中间，距离两同种电荷中较小的电荷较近，概括为：三点共线，两同夹异，两大夹小， 近小远大。通题组1. 在光滑绝缘的水平地面上放置着四个相同的金属小球，小球A、B、C位于等边三 角形的三个顶点上，小球D位于三角形的中心，如图1-2-5所示。现让小球A、B、C带等 量的正电荷0让小球D带负电荷q,使四个小球均处于静止状态，则Q与q的比值为()图 1-2-5A.?C. 3B. 3D. 3解析：选D 设三角形边长为L,故AB. AC距离为L, AD距离为土乙。以小球A为Q2研究对象，由库仑定律知，B、C对A球的库仑力大小均为F=L2，两力的合力F合=2Fcos=咋弩=3整。根据平衡知识得：F合=F,即30。=再匿。球A、D间的库仑力F =z，- IVLJ2也=3卷， 所以Q= Rq, Q与q的比值为,&, D正确。图 1-2-62. 如图1-2-6所示，在光滑绝缘的水平面上沿一直线等距离排列三个小球A、B、C, 三球质量均为m, A与B、B与C相距均为L（L比球半径r大得多）。若小球均带电，且 qA = + 10q，qB=+q,为保证三球间距不发生变化，将一水平向右的恒力F作用于C球， 使三者一起向右匀加速运动。求：（1）F的大小。（2）C球的电性和电荷量。解析：因A、B为同种电荷，A球受到B球的库仑力向左，要使A向右匀加速运动， 则A球必须受到C球施加的向右的库仑力。设加速度为a，由牛顿第二定律有：对A、B、C三球整体，有F=3ma对A球，有k撰-女丁器=ma ；对B球，有 捋+哆 =ma。血拒 4070kq2解得：q=3q（负电）F= 。答案：（1）% 带负电，电荷量为%L3、基础题俊熟1. 下列关于点电荷的说法，正确的是（）A. 点电荷一定是电荷量很小的电荷B. 点电荷是一种理想化模型，实际不存在C. 只有体积很小的带电体，才能作为点电荷D. 体积很大的带电体一定不能看成点电荷解析：选B 当带电体间的距离比它们自身的大小大得多，以至带电体的形状、大小 及电荷分布状况对它们的作用力影响可以忽略时，这样的带电体就可以看成点电荷，所以A、C、D错，B正确。2. 关于库仑定律的理解，下面说法正确的是（）A. 对任何带电体之间的静电力计算，都可以使用库仑定律公式B. 只要是点电荷之间的静电力计算，就可以使用库仑定律公式C. 两个点电荷之间的静电力，无论是在真空中还是在介质中，一定是大小相等、方向 相反的D. 摩擦过的橡胶棒吸引碎纸屑，说明碎纸屑一定带正电解析：选C 库仑定律适用于真空中的点电荷，故A、B错。库仑力也符合牛顿第三定 律，C对。橡胶棒吸引纸屑，纸屑带正电或不带电都可以，D错。3. 如图1所示，在绝缘光滑水平面上，相隔一定距离有两个带同种电荷的小球。同时从 静止释放，则两个小球的加速度大小和速度大小随时间变化的情况是（）AB图1A.速度变大，加速度变大B.速度变小，加速度变小C.速度变大，加速度变小D.速度变小，加速度变大解析：选C 因电荷间的静电力与电荷的运动方向相同，故电荷将一直做加速运动，又由于两电荷间距离增大，它们之间的静电力越来越小，故加速度越来越小。4. 如图2所示，用绝缘细线悬挂的两个带电小球（可视为点电荷）处于静止状态，电荷 量分别为qA、约，相距为以则A对B的库仑力为（）图2A. FAB=k1LB，方向由A指向BB. Fab=LlB，方向由A指向BC. F=kLLB，方向由B指向AD. Fab=Lb，方向由B指向A解析：选C 由于两小球相互吸引，所以A对B的库仑力方向由B指向4,根据库仑 定律可得FAB=kLB，故选项C正确。5. 一个内表面光滑的半球形碗放在水平桌面上，碗口处于水平状态，0是球心。有两个带同种电荷且质量分别为叫和m可视为质点的小球，当它们静止后处于如图3所示状态， 12则加1和m2对碗的弹力大小之比为（）图3B.后:1D. 0 : 2A. 1 :心三C. 2 :也解析：选B 选取两小球组成的整体为研究对象，受力分析并正交 分解如图:由平衡条件得：F1在水平方向的分力F和F2在水平方向的分力 F 大小相等。即 F1cos 60=F2cos 30,所以：导二3。6. 如图4所示，有三个点电荷A、B、C位于一个等边三角形的三个顶点上，已知:角形边长为1 cm, B、C电荷量为qB=qC=1X10-6 C，A电荷量为qA=2X10-6 C，A所 受B、C两个电荷的静电力的合力F的大小和方向为（）*、图4A. 180 N，沿AB方向B. 18,3 N，沿 AC 方向C. 180 N，沿ABAC的角平分线D. 180 B N，沿ABAC的角平分线解析：选D qB、qC电荷对qA电荷的库仑力大小相等，故:F=F1=F2=k=9X101XX(2X10-%=180 N两个静电力，夹角为60，故合力为：F =2Fcos 30=2X180 NX字=180石 N2方向沿ZBAC的角平分线故选D。二、易错题够明7. 如图5所示，两个质量均为m的完全相同的金属球壳a与b,其壳层的厚度和质量分 布均匀，将它们固定于绝缘支架座上，两球心间的距离l为球半径的3倍。若使它们带上等 量异种电荷，使其电荷量的绝对值均为Q,那么关于a、b两球之间的万有引力F引和库仑 力F库的表达式正确的是（）A. F引=鳏，F库诚图5B.FF库惑F库嘤C F引。姝，F库诚使它们各自的电荷分布不均匀，解析：选D 由于a、b两球所带的异种电荷相互吸引即相互靠近的一侧电荷分布比较密集，又l=3r，不满足lr的要求，故不能将带电球壳看 成点电荷，所以不能应用库仑定律，故F库UkQ?。万有引力定律适用于两个可看成质点的 物体，虽然不能满足lr,但由于其壳层的厚度和质量分布均匀，两球壳可看做质量集中于 球心的质点，可以应用万有引力定律，故F引=鳏。所以D正确。8. 如图6所示，光滑绝缘水平面上固定金属小球A，用原长为L0的绝缘弹簧将A与 另一个金属小球B连接，让它们带上等量同种电荷，弹簧伸长量为，若两球电荷量各漏 掉一半，弹簧伸长量变为x2,则有（）漏电前I一匕。+气HB. *12=4*1A_1A. x2=2*1C. x2/D *2 x，C正确。24 1三、能力题够通已知m1的动能为Ek，则m2的动能为（）B.警-气k9. 类似双星运动那样，两个点电荷的质量分别为m】、m2，且带异种电荷，电荷量分 别为Q】、Q2,相距为1，在库仑力作用下（不计万有引力）各自绕它们连线上的某一固定点， 在同一水平面内做匀速圆周运动kmQQ库仑力提供向心力，玖二戮解析：选B对于两点电荷呻产之气，Ek2=1m2V2 = 2=井孕，所以气A 12呼*2,因为，1+，2=/，所以气+气2=警（+2）=警。解得残=警-气。10. 两个完全相同的小金属球，它们的带电荷量之比为5： 1（皆可视为点电荷），它们 在相距一定距离时相互作用力为F1，如果让它们接触后再放回各自原来的位置上，此时相 互作用力变为f2,则f1：f2可能为（）A. 5 ： 2B. 5 ： 4C. 5 ： 6D. 5 ： 8解析：选B 它们在相距一定距离时相互作用力为 吗=朗；若两电荷异性，接触后 再分开，两球电量的绝对值为2q，此时两球的库仑力心=籍=5七，则F1 : F2为5： 4,9/ 9若两电荷同性，接触后再分开，两球电量的绝对值为3q，此时两球的库仑力叩咋=9F1， 则F： : F2为5 : 9，故B正确，A、C、D错误。11. 3 个点电荷呈三角状分布，=-6.00X 10-9 C，q2=5.00X 10-9 C，%=-2.00X 10 -9C，它们之间的距离和位置如图7所示。求q3所受静电力的大小和方向。图7解析：首先确定q1和q2作用在q3上的力的方向。q1对q3是排斥力H13(同种电荷)，q2 对q3是吸引力F23(异种电荷)，如图所示。欲求q3受到的静电力，需要运用库仑定律分别求得f13和f23，然后进行矢量相加。=90X109XN=4.32X10-9 NN5.63X10-9 n600X109X200X1095002在x方向上的分力 F13cos 37o3.46X 10-9 N 在y方向上的分力 F13sin 372.59X10-9 NF,=k!q2q3!=9.0X109X23r2 一5.00X10-9X2.00X10-94.002所以，Fx=3.46X10-9 N-5.63x10-9 n=-2.17X10-9 N，方向为 x轴负方向。Fy=2.59X10-9 Nq3受到的合静电力 F= x/(217X 10-9)2+(259X 10-9)2 N3.38X10-9 n2.59X10-9蜘 = -2.17X 10-9=-1.19查表知，e=130。，即F的方向与x轴正方向成130。角。答案：3.38X10-9 n 方向与x轴正方向成130。角12.两个正点电荷Q=Q和Q2=4Q分别固定在光滑绝缘水平面上的A、B两点，A、 B两点相距乙，且A、B两点正好位于水平放置的光滑绝缘半圆细管两个端点的出口处，如 图8所示。图8(1) 现将另一正点电荷置于A、B连线上靠近A处由静止释放，求它在AB连线上运动 过程中达到最大速度时的位置离A点的距离。(2) 若把该点电荷放于绝缘管内靠近A点处由静止释放，已知它在管内运动过程中速度 最大时的位置在P处。试求出图中PA和AB连线的夹角仇解析：(1)正点电荷在A、B连线上速度最大处对应该电荷所受合力为零(加速度最小),设此时距离A点为*，即穿=*（北：）2解得x=L。若点电荷在P点处所受库仑力的合力沿OP方向，则P点为点电荷的平衡位置。则它在F点处速度球,即此时满足皿妇铲:4QqQqsin2。(2Rcos ff)2（2sin 盼 4cos2。即得：=arctan4o答案：(1)| (2)arctan41.自主思考一U判(1) 实验表明电荷之间的作用力一定和电荷间的距离成反比。(X)(2) 实验表明两个带电体的距离越大，作用力就越小。(J)(3) 点电荷是一个带有电荷的点，它是实际带电体的抽象，是一种理想化模型。(/)(4) 球形带电体一定可以看成点电荷。(X)(5) 很大的带电体也有可能看做点电荷。(/)2.合作探究一议一议(1)比较库仑定律F=k譬 与万有引力定律F=dmm，你会发现什么？提示：仔细观察，我们会发现它们有惊人的相似：两个公式中都有r1 2,即两种力都与 距离的二次方成反比；两个公式中都有与作用力有关的物理量(电荷量或质量)的乘积，且两 种力都与束积成正比；这两种力的方向都在两个物体的连线上。对静电力与万有引力进行