计量学课件：第七章 ARCH模型

ARCH模型GARCH模型GARCH模型的其他形式案例分析金融时间序列变量研究除了要讨论序列平稳性之外，时间序列的波动性也是研究中至关重要的因素。以1999年3月3日至2009年3月3日以来上证综合指数的日对数收益率为例。-.12-.08-.04.00.04.08.12.16500100015002000R从上图中可以看出，股票市场的日对数收益率的波动有一定持续性，呈现出明显的聚集现象，也称为波动性集群现象波动性集群现象。这种集群现象也给进行OLS估计带来了一定的困难。这种集群现象的另一个侧面反映出了被处理的数据具有较高的异方差。通常认为，这时模型的残差序列的方差具有明确的经济含义，即反映了资产的波动率，而资产的波动率又体现了资产的风险。如果残差的方差高，则表明资产风险较大，在投资和定价过程中需要注意对风险的评估和控制。值得注意的是，只有高频数据的回归分析才会遇到这种集群效应，也就是说，只有高频数据的模型残差的平方，才能反映出资产的风险大小。为了对资产的风险进行有效的衡量，通常，人们广泛使用的是以自回归条件异方差ARCH模型为核心的计量方法。ARCHARCH模型的定义模型的定义ARCH模型是最简单的条件异方差模型，在金融时间序列分析领域有着广泛的应用。如果设 表示在t时刻某金融资产的对数（或对数收益率），为关于 到t时刻的所有历史信息,则标的资产 条件期望和条件方差为假定 服从一个简单的时间序列模型，如平稳的ARMA(p,q)模型,即 其中 称为残差项或随机扰动项。1|tttE rF221()|ttttE rF011pqtitiititijrraatrtrtrtasrtFARCH模型就是针对残差序列 进行建模的，其基本思想是：残差序列 在t时刻的方差与上一时刻t-1的残差平方存在相关性。也就是说，残差项本身并不存在序列相关性，但是残差项的平方却存在序列相关。最简单的ARCH模型即ARCH(1)模型，可以写作：其中，为无序列相关的随机扰动项，即残差项。这里假设 服从正态分布，此时ARCH模型也可以称作正态ARCH(1)过程。上式的第一个模型表示原始变量回归模型，也可称之为条件均值等式；第二个模型表示方差的回归模型，也被称作条件方差等式。这两个模型是ARCH模型的核心组成部分。21101222)(),0(,tttttttttuuuENuuxytatatutuARCH(1)模型还有一种表现形式，即：其中 。不过为了描述方便，下面将使用前一种表现形式继续介绍。1/2tttaz h2t01t 1ha 01,0),1,0(10iidNZt通常，ARCH模型，尤其是正态ARCH模型多用来拟合资产收益率的波动情况，但是ARCH模型也存有一些不足之处，例如这个模型不能区分出波动的正负性，因为波动是以平方的形式表现的；同时这个模型也不能指出波动产生的原因，只能提供一个波动的描述方式。因此在具体运用的过程中，需要根据实验目的结合多种计量方法进行。ARCHARCH模型的估计与检验模型的估计与检验设 是ARMA(p,q)方程的残差，可以用平方序列 来检验 的条件异方差性，一般采用拉格朗日乘子法，即检验下列线性回归方程的显著性：,令 表示 的样本均值；。则原假设 ，成立时，是渐近服从 分布的统计量。如果统计量 的F-检验是显著的，则认为 有条件异方差。222011ttptptaaae1,tpT 221()TttpTSSaa21TttpRSSe0:0,1,2,iHip()/(21)TSSRSSpFRSSTp(1,)F pTptttartata2ta2taaFGARCHGARCH模型的定义和性质模型的定义和性质如果在ARCH模型的条件方差等式中加入了 本身的滞后项，那么依照AR模型向MA模型的转换思路，就可以得到GARCH模型的基本表达式。例如，GARCH(q，p)过程可以表达为：其中，被称作ARCH项，称作GARCH项。此时，GARCH模型中q表示ARCH项的阶数，而p表示GARCH项的阶数。qiitiitpiittttttuNuuxy1221022),0(,2itu2it2tGRACH模型在金融时间序列领域有着极为广泛的应用。例如人们经常通过上一期的预测方差（GARCH项）和以往各期观察到得波动性（ARCH项）共同来预测本期的方差。但是，GARCH模型与ARCH 模型有着同样的不足，即，它对正的波动和负的波动有相同的反应，不能说明抖动产生的原因。另外，关于高频金融时间序列的GARCH模型模拟的尾部太薄，即使用新信息是服从t分布的GARCH模型，也不足以描述实际高频数据的尾部。GARCH模型的条件方差等式平稳性是GARCH模型的重要特性，只有具备平稳性，GARCH模型才能用来进行波动性的预测。令 ，将 代入GARP(p,q)第二个等式后，可得：其中 相当于 的AR项，相当于MA项。那么类似于ARMA模型，只要上式的逆特征方程：的根落在单位圆外，则满足平稳性条件，此时GARCH模型中的方差等式也称之为平稳过程。22tttu12121tttuqiititqpiitiituu1),max(1202)(),max(12)(qpiitiiuqiitit10)(1),max(1qpiiiiz2tuGARCHGARCH模型的估计模型的估计GARCH模型在进行估计的时候，需要同时设立条件均值等式和条件方差等式，然后直接获得估计结果。例如，对GARCH(1，1)过程，即：需要注意的是，这里仍假设扰动项 服从正态分布。211211022),0(,ttttttttuNuuxytu此时GARCH模型估计过程中所使用的对数似然函数为：相应地，如果扰动项服从t分布或者广义误差分布，则对应的对数似然函数分别为：其中，df表示自由度，r表示正的分布尾系数。22221)ln(21)2ln(21)(ttttunormall)2(1ln(21)ln(21)2/)1()2/()2(21)(22222dfudfdfdfdftltttt2/22222)/1()/3()ln(21)2/)(/3()/1(21)(rttttrurrrrgedlGARCHGARCH模型的预测模型的预测GARCH模型的实际意义在于，通过以往期数中积攒的关于波动性的信息和上一期的方差，预测本期变量的方差大小。运用计量的手段可以这样表现GARCH模型的预测过程。假定通过上述过程获得的样本内最后一个观测值为 ，那么我们可以通过GARCH模型来获得样本外的波动性预测。例如，对于向前一期的预测，可以通过下式获得，即：2T22211011()TtTtTE uIu 对于向前多期的动态预测，可以通过循环过程实现，即：22222201111220111120111()()()TtTtTTTTTE uIE uI 2233220121222012122011222442201313220131320113()()()()()()TtTtTTTTTTtTtTTTTTE uIE uIE uIE uI 随着预测期间的增大，最终要收敛到无条件方差的水平，即：22220111120111()()()TjtjTtjTTjTjE uIE uI 2Tj22011,1Tjj指数指数 GARCH GARCH模型模型 （EGARCH EGARCH）在指数模型中，条件方差等式分析的不再是 ，而是它的对数形式。例如，对EGARCH(1，1)过程，则有：21111111022lnln),0(,tttttttttttuuNuuxy2tEGARCH模型至少提示了这样几条信息：第一，条件方差以对数的形式出现，表明金融时间序列的杠杆效应是指数的；第二，当 为正值时，该等式可以捕捉到时间序列波动性的集群现象，即前一期的波动性会对后一期波动性产生正面影响；第三，在等式中出现了绝对值符号，意味着当 分别取正负号时，对本期条件方差的预测值会产生不同的影响。EGARCH模型是非对称GARCH模型的重要组成部分。11tu门限门限GARCHGARCH模型（模型（TGARCH TGARCH）所谓的门限门限GARCHGARCH模型模型，就是指利用虚设变量来设置一个门限，用以区分正的和负的冲击对条件波动性的影响。从这个定义可以看出，TGARCH模型与EGARCH模型一样，都是属于非对称性GARCH模型。以GARCH(1，1)过程为例，这个模型中所设立的门限为：此时，TGARCH模型可以表示为：对着这个模型，可以这样理解。0代表利好消息，0代表利空消息，只要系数 为正数，这两种不同的消息对条件方差的冲击和影响就是完全不同的，并且条件方差对利空消息的反应明显大于对利好消息的反应。这一点在实践中也可以得到证实。0,10,01111ttttuIuI2111211211022),0(,ttttttttttIuuNuuxy1tu1tu1aGARCH-MGARCH-M模型模型金融资产的收入率可能会依赖于其同期的波动率，对于存在这种现象的金融时序，可以考虑用GARCH-M模型来拟合。GARCH（1，1）-M模型建立如下：其中：是常数，参数 称为风险溢价参数。时，收入率与过去的波动率正相关，因此收入率是前后相关的，其相关性是由 的前后相关性导致的。GARCH-M模型应用于股票价格研究中，可以解释风险溢价是历史股价收入率具有前后相关性的原因这一现象。211211022ttttttuucyc,c0c2t成分成分GARCHGARCH模型（模型（CGARCHCGARCH）成分GARCH模型是应用在向量基础上的GARCH模型。在传统的GARCH模型中，通常有一个隐含假设，即条件方差的长期均值为常数。一旦时间序列的波动性不能满足这个条件，就需要应用到CGARCH模型了。以CGARCH(1，1)为例，可以得到三个回归模型，即：其中，表示方差的期望所收敛到得均值水平，表示随时间变化的长期波动性水平，即条件方差的期望。在这个模型中，反映的是条件方差的长期波动部分，而 反映的是条件方差的短期波动部分，两者之和正是GARCH模型中残差项的条件方差。)()()()(),0(,121112112212112tttttttttttttttQQuQQuQQQQNuuxyQtQtQttQ2多元波动率模型多元波动率模型当同时考虑k维收入率序列的波动率问题时，用同样的方法可以将一维的一些波动率模型推广到多元情形，例如，如果同时考虑上海证券交易所的股票综合指数和深圳交易所的综合指数的波动率情况，可以一个2维的GARCH模型。记 为向量序 到时刻t时的所有的历史信息，。则2维的GARCH（1，1）模型为事实上，多元波动率模型能更准确地描述金融时间序列的波动性质，但在实证分析时，参数的估计及模型的验证都比较复杂。目前还没有比较好的软件可以用于多元波动率模型的参数估计和模型的检验。21,221,12221121121,221,12221121120102,22,1ttttttuu2,1),(1,2,iFuVARttiti),(,2,1ssuutF对金融时间序列建立一个GARCH模型一般包括三个步骤：（1）对收入率建立一个计量经济模型（如ARMA模型），即均值方差，以分离出数据中任何线性相关的成分，并用该模型的残差序列检验ARCH效应。（2）具体确定GARCH模型，建立方差方程，并估计参数。（3）检验所拟合的GARCH模型。对上海证券交易所1999.03.032009.03.03的股票交易日收盘综合指数 的对数收入率建立AR(1)+TGARCH(1,1)模型。tp记 ，建立均值模型：Dependent Variable:RMethod:Least SquaresDate:Time:13:11Sample(adjusted):3 2318Included observations:2316 after adjustmentsCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C0.0002700.0003370.8011600.4231R(-1)0.0997060.0206844.8205300.0000R-squared0.009942 Mean dependent var0.000300Adjusted R-squared0.009514 S.D.dependent var0.016306S.E.of regression0.016228 Akaike info criterion-5.403306Sum squared resid0.609380 Schwarz criterion-5.398342Log likelihood6259.028 Hannan-Quinn criter.-5.401497F-statistic23.23751 Durbin-Watson stat1.984322Prob(F-statistic)0.000002ttt 1rlogplogptt 1trcra ARCH模型在运用过程中，需要接受异方差检验从表中可以看出，模型的常数项不显著，模型拟合存在异方差，因此，要对模型进行修正。Heteroskedasticity Test:ARCHF-statistic51.39788 Prob.F(3,2309)0.0000Obs*R-squared144.7917 Prob.Chi-Square(3)0.0000用门限自回归模型实现拟合过程，修正后的模型表示为：,其中：tt 1trcra211121121102tttttIuu0,10,01111ttttuIuIDependent Variable:RMethod:ML-ARCH(Marquardt)-Normal distributionDate:Time:12:43Sample(adjusted):3 2318Included observations:2316 after adjustmentsConvergence achieved after 18 iterationsPresample variance:backcast(parameter=0.7)GARCH=C(2)+C(3)*RESID(-1)2+C(4)*RESID(-1)2*(RESID(-1)0)+C(5)*GARCH(-1)CoefficientStd.Errorz-StatisticProb.R(-1)0.1149140.0223325.1457520.0000Variance EquationC4.19E-064.66E-078.9797240.0000RESID(-1)20.0711590.0087058.1744510.0000RESID(-1)2*(RESID(-1)0)0.0567390.0115604.9082200.0000GARCH(-1)0.8905960.006256142.36160.0000R-squared0.009445 Mean dependent var0.000300Adjusted R-squared0.007731 S.D.dependent var0.016306S.E.of regression0.016243 Akaike info criterion-5.698361Sum squared resid0.609686 Schwarz criterion-5.685953Log likelihood6603.702 Hannan-Quinn criter.-5.693839Durbin-Watson stat2.011797对修正模型进行异方差检验根据F统计量，可知修正模型中不存在异方差。Heteroskedasticity Test:ARCHF-statistic0.111158 Prob.F(3,2309)0.9536Obs*R-squared0.334004 Prob.Chi-Square(3)0.9535最终的估计模型为：2112121621218905957782.02510567394461.05170711587349.0*185.4531149144727.010ttttttluurr-.10-.05.00.05.10.15-.10-.05.00.05.10.15500100015002000ResidualActualFitted模型的拟合对比图从图中可以看出，拟合效果是令人满意的。