资源描述
2问题问题 xdx2cos,2sinCx 解决方法解决方法利用复合函数求导法则利用复合函数求导法则,凑微分凑微分.注意注意:过程过程 xdx2cos1cos2(2)2xx dx1sin2.2xC1、第一类换元法、第一类换元法1cos2(2)2xdx111(sin2)cos2(2)cos22cos2,222xxxxx1cos222xdx一、不定积分换元法一、不定积分换元法3在一般情况下：在一般情况下：设设),()(ufuF 则则.)()(CuFduuf如果如果)(xu （可微）（可微）,)()()(dxxxfxdF CxFdxxxf)()()()()(xuduuf 由此可得换元法定理由此可得换元法定理4设设)(uf具有原函数，具有原函数，dxxxf)()()()(xuduuf 第一类换元公式第一类换元公式（凑微分法凑微分法）说明说明使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将 dxxg)(化为化为.)()(dxxxf观察重点不同，所得结论不同观察重点不同，所得结论不同.)(xu 可可导导，则有换元公式则有换元公式定理定理1 15例例1 求求.2sin xdx解解1 xdx2sin )2(2sin21xxd.2cos21Cx 解解2 xdx2sin xdxxcossin2 )(sinsin2xxd.)(sin2Cx 解解3 xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2xxd .cos2Cx 6例例2 求求.231dxx 解解,)23(23121231 xxxdxx 231dxxx)23(23121 )23(23121xdx.|23|ln21Cx dxbaxf)(.)(1 baxuduufa一般地一般地7例例3 求求22.xxe dx解解22xxe dx22xe dx2uxue duueC2.xeC8例例4 4 求求tan.xdx解解tan xdxsincosxdxx1coscosdxx ln|cos|.xC cotln|sin|.xdxxC类似地可得类似地可得9例例5 求求.)ln21(1dxxx 解解dxxx )ln21(1)(lnln211xdx )ln21(ln21121xdx xuln21 duu121Cu ln21.|ln21|ln21Cx 10例例6 求求221.dxax解解dxxa 221dxaxa222111 2111xdaaxa.arctan1Caxa11例例7 求求22(0).dxaax解解22211()dxdxaxaxa21()xdaxaarcsin.xCa12例例8 求求221(0).dx axa解解2211()()dxdxxa xaxa111()2dxa xaxa112dxdxaxaxa1(ln|ln|)2xaxaCa1ln|.2xaCaxa13例例9 求求.25812dxxx解解dxxx25812dxx9)4(1222113413dxx341341312xdx.34arctan31Cx14例例10 求求.11dxex解解11xdxe dxeeexxx11dxeexx11dxeedxxx1)1(11xxededx.)1ln(Cexx 15例例11 求求.)11(12dxexxx解解2111,xxxdxexxx 12)11()1(1xxdexx.1Cexx16例例12 求求解解.cos11dxxdxxcos111cos1cos1cosxdxxxdxxx2cos1cos1dxxx2sincos1)(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotCxx17例例13 求求解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin )(sincossin42xxdx )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx说明说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分次项去凑微分.18例例14 求求解解1dxxsin1.csc xdx xdxcscdxxx2cos2sin21 212tancos22xdxx1tan2tan2xdxCx2tanln.)cotln(cscCxx （使用了三角函数恒等变形）使用了三角函数恒等变形）19解解2dxxsin1 xdxcscdxxx2sinsin )(coscos112xdx 111(cos)21cos1cosdxxx 11cosln|.21cosxCx 类似地可推出类似地可推出.)tanln(secsec Cxxxdx20问题问题21?x dx解决方法解决方法改变中间变量的设置方法改变中间变量的设置方法.过程过程令令txsin,costdtdx 21x dx21sincosttdt2cos tdt 2、第二类换元法、第二类换元法21其其中中)(x 是是)(tx 的的反反函函数数.设设)(tx 是单调的、可导的函数，是单调的、可导的函数，)()()()(xtdtttfdxxf 则有换元公式则有换元公式并且并且0)(t，又设又设)()(ttf 具有原函数，具有原函数，定理定理2 222例例17 求求解解令令sinxtcosdxtdt21sincosttdt1cos22tdtt1x21x1cos2224tdtd t 2,2t1sin2,24ttC21.x dx21x dx1sin cos,22tttC2arcsin1.22xxxC2cos tdt23例例18 求求解解).0(122adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1tdtsec1)tanln(secCtttax22ax 122lnCaaxax 2,2t.)ln(22Caxx24例例19 求求解解).0(122adxax令令sec,xat 2,0tsec tan,dxattdt221dxxasectantanattdtat tdtsec1ln(sectan)ttCtax22ax 221ln()xaxCaa22ln().xxaC221lnxxaCa221ln()lnxxaaC其中其中1ln.CCa25说明说明(1)(1)以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换.三角代换的三角代换的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax 26说明说明(2)当分母的次数较高时当分母的次数较高时,可采用可采用倒代换倒代换.1tx 例例20 求求71(2)dxx x 令令1,xt21,dxdtt dxxx )2(17dtttt 27121 dttt7621Ct|21|ln1417.|ln21|2|ln1417Cxx解解27说明说明(3)当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的根式根式 时，可采用令时，可采用令 （其中（其中 为各根指数的为各根指数的最小公倍数最小公倍数）lkxx,ntx n例例21 求求.)1(13dxxx 解解令令6tx ,65dttdx dxxx )1(13 dtttt)1(6235 dttt221628dttt221116dtt211166(arctan)ttC666(arctan).xxC29解决方法解决方法作代换去掉根号作代换去掉根号.2,dxtdt1xdxx221ttdtt2221tdtt21,xt1.xdxx例例22 计算积分计算积分1,tx令令解解221121tdtt212(1)1dtt2(arctan)ttC2(1arctan1).xxC说明说明(4)简单无理函数的积分简单无理函数的积分30,112tx,)1(222ttdtdxdxxxx11dttttt222)1(2)1(1222tdttdtt11122Cttt|11|ln2.11ln122Cxxxxx,12txx dxxxx11例例 23 计算积分计算积分,1xxt令令解解31基基本本积积分分表表;coslntan)16(Cxxdx;sinlncot)17(Cxxdx;)tanln(secsec)18(Cxxxdx;)cotln(csccsc)19(Cxxxdx;arctan11)20(22Caxadxxa32;ln211)22(22Cxaxaadxxa;arcsin1)23(22Caxdxxa.)ln(1)24(2222Caxxdxax;ln211)21(22Caxaxadxax33三、不定积分换元法小结三、不定积分换元法小结两类积分换元法：两类积分换元法：（一）（一）凑微分凑微分（二）（二）三角代换、倒代换、根式代换三角代换、倒代换、根式代换34定理定理 假假设设 （1 1）)(xf在在,ba上上连连续续；（2 2）函数）函数)(tx 在在,上是单值的且有连续上是单值的且有连续导数；导数；（3 3）当）当t在区间在区间,上变化时，上变化时，)(tx 的值在的值在,ba上变化，且上变化，且a)(、b)(，则有则有 dtttfdxxfba )()()(.二、定积分换元法二、定积分换元法35注意注意;,换元公式仍成立换元公式仍成立时时、当、当 1.、换换元元要要换换限限36例例1 1 计算计算).0(022axdxaa解解 令令,sintax 则则,costdtaxd且当且当时，时，时，时，0 xax.2 t故故 原式原式=2atdta)2cos1(2202)2sin21(22tta02.42a;0t20 tdt2cos37例例2 2 计算计算.12240 xdxx解解 令令21,tx则则,212tdtxdtx且当且当时，时，时时，0 x4x.3t 原式原式=tdttt312122tdt)3(21312)331(213tt 13.322;1t38例例3 3 计算计算.sincos205 xdxx解解令令,cosxt 2 x,0 t0 x,1 t205sincos xdxx015dtt1066t.61,sin xdxdt 、不不换换元元就就不不换换限限3250cossinxxdx 如如 250coscosxdx 6201cos6x.6139例4例440221dxx 4012)12(xxd 411201(21)112x.4)13(2例5例52221xxdx2222)1(1xxdx222)1(1)1(xxd221arcsinx.1246 40证证,)()()(00aaaadxxfdxxfdxxf在在 0)(adxxf中中令令tx ,0)(adxxf0)(adttf,)(0adttf41(1 1)(xf为为偶偶函函数数时时，),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20adttf(2)(2)(xf为奇函数为奇函数时时，),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(.0 42奇函数奇函数例例7 计算计算解解21212cos.11xxxdxx原式原式1122112dxxx11211cosdxxxx偶函数偶函数1022114dxxx10222)1(1)11(4dxxxx102)11(4dxx102144dxx.4 利用单位圆的面积利用单位圆的面积43例例8 设设1,0,1()1,0,1xxxf xxe求求20(1).f xdx解解20(1)f xdx1tx11()f t dt0111tdte1011dtt011ttedte10ln(1)t01ln(1)te ln2ln(1).e4416843P习习题题1(),2(),34 6,7.做做在在书书上上单单号号（双双号号），
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