大学物理：10-3-4a 毕奥萨伐尔定律及安培环路定理

1 10.3-4 毕奥毕奥萨伐尔定律萨伐尔定律安培环路定理安培环路定理2问题：问题：电流产生磁场电流产生磁场如何计算？如何计算？基础：基础：1.1.电流微元产生的磁场电流微元产生的磁场lId表述：电流元表述：电流元 在空间在空间 点产生的磁场点产生的磁场 为：为：PBd304rrlIdBdlId电流元电流元 ：Idl方向：方向：线元上通过的电流的方向。线元上通过的电流的方向。大小：大小：lIdPr3)/(1041272ANcoo304rrlIdBd真空中的磁导率真空中的磁导率r的方向：从电流元所在位置指向场点的方向：从电流元所在位置指向场点P。LoLrrlIdBdB242.一段载流导线产生的磁场：一段载流导线产生的磁场：Bd 的方向垂直于的方向垂直于 和和 所形所形成的平面。成的平面。lIdr 的方向。的方向。rlId大小：大小：20sin4rIdldB方向：方向：lIdr rlIdPrBd为为 与与 之间的夹角。之间的夹角。lIdrBd说明：说明：430 4rrlIdBd4.求求 B B 的分量的分量 Bx、By、Bz;222zyxBBBB求总场。求总场。5.由由3.确定电流元的磁场确定电流元的磁场2.分割电流元分割电流元;1.建立坐标系建立坐标系;计算一段载流导体的磁场计算一段载流导体的磁场2.2.应用毕萨定律解题的方法应用毕萨定律解题的方法,xxdBB,yydBBzzdBB,kBjBiBBzyx222zyxBBBB直角坐标系：直角坐标系：LoLrrlIdBdB245例例1:一段有限长载流直导线一段有限长载流直导线,通有电流通有电流 I,求距求距 a 处处 P 点的磁感应强度。点的磁感应强度。解解:20sin4rIdldB)ctg(alr rBdaxolllIdP21ctgadadl2csccscar2220cscsincsc 4adIadBdaIsin4 0dBBdaIsin4021210coscos4 aI分割电流元分割电流元sinar6210coscos4aIB讨论讨论:1.无限长无限长载流直导线的磁场载流直导线的磁场：,01;2aIB 20 2.半无限长载流直导线的磁场半无限长载流直导线的磁场：,21aIB40IaP;2r rBdaxolllIdP21IaP,1;2)1(cos40aIB3.半无限长载流直导线的磁场半无限长载流直导线的磁场：7例例2：一正方形载流线圈边长为一正方形载流线圈边长为 b,通有电流为通有电流为 I，求正，求正方形中心的磁感应强度方形中心的磁感应强度 B B。Iob解：解：o 点的点的 B B 是由四条载流边分别是由四条载流边分别产生的，它们大小、方向相同，产生的，它们大小、方向相同，B=B1+B2+B3+B4=4B1B B21 ,41 43243cos4cos2/440bIBbI0224.载流导线延长线上任一点的磁场载流导线延长线上任一点的磁场0BIaP,/rlId0rlId8I 分割电流元为无限多宽为分割电流元为无限多宽为 dx的无限长载流直导线；的无限长载流直导线；解：解：以以 P 点为坐标原点，向右为坐点为坐标原点，向右为坐标正向；标正向；电流元电流电流元电流aPbdxoxxdxaIdIdI例例3：一宽为一宽为 a 无限长载流平面，通无限长载流平面，通有电流有电流 I ,求距平面左侧为求距平面左侧为 b 与电流与电流共面的共面的 P 点磁感应强度点磁感应强度 B 的大小。的大小。xdIdB20axIdx20dBBbabaxIdx20bbaaIln209例例4：一载流圆环半径为一载流圆环半径为R 通有电流为通有电流为 I，求圆环轴线，求圆环轴线上一点的磁感应强度上一点的磁感应强度 B。解：解：将圆环分割为无限将圆环分割为无限多个电流元；多个电流元；电流元在轴线上产生电流元在轴线上产生的磁感应强度的磁感应强度 dB 为：为：rIoxRxPBd,4sin20rIdldB2在在 x 轴下方找出轴下方找出 dl 关于关于 x 轴对称的一个电流元轴对称的一个电流元 Idl，由对称性可知，由对称性可知，dl 和和 dl 在在 P 点产生的点产生的 dB 在在 x 方方向大小相等方向相同，向大小相等方向相同，垂直于垂直于x x方向大小相等方向相方向大小相等方向相反，相互抵消。反，相互抵消。dBxdBdBxdBBdlId,0B22BBBxxBlId10PrlIdI Bd Bd/Bdxyz ORz11dlrRrIR20204rRsinRdlrIR20304xdBBRrIR24303202rIR2/322202RxIR2/322202RxIRBxdBBsindB讨论讨论:（1）载流圆环）载流圆环环心环心处处x=0：02oIBR IoRB BrIoxRxPBddBxdBdBxdBBdlId lId12（3 3）半圆半圆圆心处：圆心处：RIB40（4 4）圆的一部分（弧长）圆的一部分（弧长l）中心处：）中心处：RlRIB220练习：练习：（2）载流圆环载流圆环环心处环心处RIBo20rIoxRxPBddBxdBdBxdBBdlId lId2/322202RxIRB归纳：归纳：（1）载流圆环载流圆环轴线上轴线上13 232220)(2lRIndlRdBB 2222222222222cotcscsincscsinlRdlRdRlrRrRRlR )cos(cos2)sin2(120021 nIdnIB .I B.pldlR1 2 Bd1A2Ar例例5：求半径为求半径为 ，总长度，总长度 ，单位长度上的匝数为，单位长度上的匝数为 的螺线管在其轴线上一点的磁场？的螺线管在其轴线上一点的磁场？（P.16 P.16 图图10-19 10-19）RLn203/2222IRBxR14讨论：讨论：1、若、若 即即无限长无限长的螺线管，的螺线管，LR 0,21 则有则有nIB0 2、对、对长直螺线管的端点长直螺线管的端点（上图中（上图中A1、A2点点）0,221 则有则有A1、A2点磁感应强度点磁感应强度nIB021 关于螺绕环，见关于螺绕环，见P.24-25P.24-25 .I B.pldlR1 2 Bd1A2A021(coscos)2BnI15 考虑一段导体，其截面积考虑一段导体，其截面积为为S，其中自由电荷的密度，其中自由电荷的密度为为n，载流子带正电，载流子带正电q，以，以同一平均速度同一平均速度 运动。运动。vvvIS+InqvS 电流元产生的磁场相当于电流电流元产生的磁场相当于电流元内元内 dN 个运动电荷产生的磁场。个运动电荷产生的磁场。30 4rrl dIBddN=ndV体=nSdlSdNlId在该导体上选取一个电流元在该导体上选取一个电流元 ，lIdPrBd而电荷元内电荷的数目为：而电荷元内电荷的数目为：它产生的磁场为：它产生的磁场为：阅读：阅读：P.1314P.131416一个运动电荷产生的磁场为：一个运动电荷产生的磁场为：dNBdBdN=ndV=nSdlSdNlIdPrBd而电而电流流元内电荷的数目为：元内电荷的数目为：30 4rdlrvdlq30 4rdNrl dI30 4rdlnSrl dvSnq30 4rrvq30 4rrvqB运动电荷的磁场公式：运动电荷的磁场公式：电流元产生的磁场相当于电流电流元产生的磁场相当于电流元内元内 dN 个运动电荷产生的磁场。个运动电荷产生的磁场。30 4rrl dIBdInqvS17例例6：氢原子中的电子，以速率氢原子中的电子，以速率v v在半径为在半径为r r的圆周轨道的圆周轨道上作匀速率运动。求电子在轨道中心产生的磁感应强上作匀速率运动。求电子在轨道中心产生的磁感应强度。度。解：解：BrOev应用运动电荷的磁场公式：应用运动电荷的磁场公式：30 4rrvqB可得：可得：20 e4rvB方向如图所示。方向如图所示。本题亦可应用圆电流在中心产生的磁场公式本题亦可应用圆电流在中心产生的磁场公式 求解。求解。rIB20TqI Te rev2 rIB20revr22020 e4rv方向如图所示。方向如图所示。2 rTv18Ro例例7 7 （P.19P.19，例题，例题10-510-5）在半径为在半径为 R 的半的半球型木制骨架上密绕球型木制骨架上密绕 N 匝线圈，线圈内通匝线圈，线圈内通有电流有电流 I，求：球心，求：球心 o 点处的磁感应强度点处的磁感应强度 B。19OR xxr 可将半球面上的电流分割可将半球面上的电流分割成许多载流圆环，利用载流圆环成许多载流圆环，利用载流圆环在轴线上的磁感应强度公式：在轴线上的磁感应强度公式：2/322202RxIRB则电流元的磁场：则电流元的磁场：2/322202rxdIrdB解：解：由于线圈密绕，电流对由于线圈密绕，电流对o点张角点张角 均匀分布。均匀分布。20dNIdI2/其中其中sinRr32022)sin(RNIdRRdNI20sindOR xxr2/322202rxdIrdBcosxR21各电流元在各电流元在 o 点产生的磁感应强度的方向点产生的磁感应强度的方向都向左，则都向左，则 o 点的磁感应强度为点的磁感应强度为：2/0dBB2/020sindRNI40RNIRdNI202/0sinRNI40dOR xxr221.1.定理表述定理表述 磁感应强度沿闭合回路的线积分等于环路所包围磁感应强度沿闭合回路的线积分等于环路所包围的电流代数和乘以的电流代数和乘以 0。数学表达式：数学表达式：LIl dB023安培环路定理安培环路定理说明：说明：电流取正时与环路成右旋关系电流取正时与环路成右旋关系如图如图 iIldB0)(320II 4I1Il3I2I 在真空中的稳恒电流磁场中，磁感应强度在真空中的稳恒电流磁场中，磁感应强度 沿任沿任意闭合曲线的线积分（也称意闭合曲线的线积分（也称 的环流），等于穿过该的环流），等于穿过该闭合曲线的所有电流强度（即穿过以闭合曲线为边界闭合曲线的所有电流强度（即穿过以闭合曲线为边界的任意曲面的电流强度）的代数和的的任意曲面的电流强度）的代数和的 倍。即：倍。即：B iIl dB0 B0 24)(3200IIIldBi 环路所包围的电流环路所包围的电流4I1Il3I2I由由环路内、外环路内、外电流产生电流产生由由环路内环路内电流决定电流决定25(1)电流正负规定：电流正负规定：电流方向与环路方向满足右手定电流方向与环路方向满足右手定则时电流则时电流 I 取正；反之取负。取正；反之取负。LIl dB02.2.明确几点明确几点(2)为环路上一点的磁感应强度，不是任意点的，为环路上一点的磁感应强度，不是任意点的，它与环路内它与环路内、外电流都有关。外电流都有关。B(3)安培环路定理说明磁场性质安培环路定理说明磁场性质 磁场是有旋场。磁场是有旋场。安培环路定理安培环路定理定理证明：定理证明：P.2123P.212326 长直导线周围的长直导线周围的B B 线为一系列的同心圆，选取线为一系列的同心圆，选取路径方向与磁路径方向与磁感应强度方向感应强度方向相同；相同；左边左边=LBdlcos由于环路上各点的磁感应强由于环路上各点的磁感应强度大小相等；且度大小相等；且1cos ,0Ll dB左边左边=rrIdlBL220I0右边右边=II00推广到任意路径都成立。推广到任意路径都成立。左边左边=右边右边 （与定理一致）（与定理一致）特例：特例：以无限长载流直导线为例。以无限长载流直导线为例。l dB/B BLLIl dB0273.3.选取环路原则选取环路原则目的是将目的是将:或或(1)环路要经过所研究的场点。环路要经过所研究的场点。利用高安培环路定理求磁感应强度的关健：根据利用高安培环路定理求磁感应强度的关健：根据磁场分布的对称性，磁场分布的对称性，选取合适的闭合环路选取合适的闭合环路。安培环路定理为我们提供了安培环路定理为我们提供了求磁感应强度的另一种求磁感应强度的另一种方法方法。但利用安培环路定理求磁感应强度要求。但利用安培环路定理求磁感应强度要求磁场具有磁场具有高度的对称性高度的对称性。(2)环路的长度便于计算；环路的长度便于计算；(3)要求环路上各点要求环路上各点 大小相等，大小相等，的方向与环路方向一致，的方向与环路方向一致，BB的方向与环路方向垂直，的方向与环路方向垂直，BLIl dB0写成写成dlIB0 0cos ,l dBLl dB028 LIl dB0 0 SdB稳恒磁场性质（两个基本定理）稳恒磁场性质（两个基本定理）1.1.磁场高斯定理磁场高斯定理2.2.磁场安培环路定理磁场安培环路定理无源无源有旋有旋29例例1：密绕载流长直螺线管通有电流为密绕载流长直螺线管通有电流为 I，线圈密度线圈密度为为 n，求管内一点的，求管内一点的磁感应强度磁感应强度 。.+解：解：理想密绕理想密绕长直长直螺线管，管内螺线管，管内磁场均匀，管外磁场为磁场均匀，管外磁场为 0；作闭合环路作闭合环路 abcda,环路内的环路内的电流代数和为：电流代数和为：abdc0外BIabnIaddccbbal dBl dBl dBl dBl dB0dcl dB螺线管外：螺线管外：bal dBl dBnIB0abBIabn0I0,0adcbl dBl dB,ldB 0cos0,外BBLIl dB03022rRIIcosBdlldBRIIRr22环路内电流代数和为：环路内电流代数和为：Lr（r R）区域，在圆柱体外作一环路，区域，在圆柱体外作一环路，RILrLr200022222IIrBrrrRR 同理：同理：rIB20r1rBdlB2I0l dBIRr220I0rBdlB2l dB分布曲线：分布曲线：rBrB1RBorRI20（r R）LIl dB032例题例题3：空心长圆柱形导体，内、外半径分别为空心长圆柱形导体，内、外半径分别为a和和b，均匀流过电流，均匀流过电流I。求导体内部与轴线相距。求导体内部与轴线相距r 的各的各点（点（arb）的磁感强度）的磁感强度解：导体内的电流密度解：导体内的电流密度22()Iba由于电流和磁场分布的对称性，磁感由于电流和磁场分布的对称性，磁感应应线是以轴为线是以轴为中心的一些同心圆，取半径为中心的一些同心圆，取半径为r的一条磁感应线为环的一条磁感应线为环路，由安培环路定理得：路，由安培环路定理得：222200222()()raBrraIba rabarIB)(2)(22220LIl dB033例题例题4：一根长直圆柱形铜导体载有电流一根长直圆柱形铜导体载有电流I，均匀，均匀分布于截面上。在导体内部，通过圆柱中心轴线作分布于截面上。在导体内部，通过圆柱中心轴线作一平面一平面S。试计算通过每米长导线内。试计算通过每米长导线内S平面的磁通量。平面的磁通量。Sdx1mR202RIxB通过通过dS的磁通量为的磁通量为xRIxSBmd2dd20通过通过S的磁通量为的磁通量为4d2d0200IxRIxRmm解：在距离导线中心轴解：在距离导线中心轴线为线为x与与x+dx处，作一处，作一个单位长窄条，其面积个单位长窄条，其面积为为dS。dS=1dx窄条处的磁感应强度窄条处的磁感应强度34ddddIRRIlRII例题例题5：在一半径在一半径R=1.0cm的无限长半圆形金属薄的无限长半圆形金属薄片中，自上而下有电流片中，自上而下有电流I=5.0A均匀通过，如图所示。均匀通过，如图所示。求半圆片轴线上求半圆片轴线上O点的磁感强度。点的磁感强度。它在它在O点产生的磁感应强度点产生的磁感应强度d22dd00IRRIB解：如图所示，无限长圆柱形载流金属薄片可看作解：如图所示，无限长圆柱形载流金属薄片可看作许多平行的无限长直导线所组成，对应于宽为许多平行的无限长直导线所组成，对应于宽为dl的的窄条无限长直导线中的电流为：窄条无限长直导线中的电流为：35 0dyB所以所以O点产生的磁感应强度点产生的磁感应强度RIRIBBX20020dsin2d代入数据代入数据T1037.65B方向沿方向沿x轴的负方向轴的负方向dBX=-dBsin ，dBy=dBcos 由对称性可知：由对称性可知：36解解 (1)导体中的电流密度为导体中的电流密度为22I(ab)半径为半径为a的实心圆柱体在的实心圆柱体在M点产生的磁感应强度为点产生的磁感应强度为B1，半径为半径为b的实心圆柱体在的实心圆柱体在M点产生的磁感点产生的磁感应应强度为强度为B2，其上通过的电流方向相反，其上通过的电流方向相反，电流密度相同。电流密度相同。例题：例题：半径为半径为a的无限长金属圆柱体内挖去一半的无限长金属圆柱体内挖去一半径为径为b(ba)的无限长柱体，两柱体轴线平行，轴间的无限长柱体，两柱体轴线平行，轴间距距d(d (R2 R1)时时nrN2为沿轴向线圈密度；为沿轴向线圈密度；nIB0与长直螺线管的结论一致。与长直螺线管的结论一致。（P.25,P.25,图图10-30 10-30）43例：例：用安培环路定理计算无限大均匀载流用安培环路定理计算无限大均匀载流平面外的磁感应强度。设电流均匀流过平平面外的磁感应强度。设电流均匀流过平面，单位宽度上的电流强度即面电流密度面，单位宽度上的电流强度即面电流密度i 已知。已知。（P.26P.26，例题，例题10-710-7）解：解：如图分析，无限大载流平如图分析，无限大载流平面两侧的面两侧的B的方向分别平行于的方向分别平行于平面，指向下和上，故选取安平面，指向下和上，故选取安培环路培环路abcd如图所示，如图所示，.abcddBdB2dB1jdBLIl dB044addccbbaLl dBl dBl dBl dBl dB.abcddBdB2dB1jdBbclBl 2ilIL内iB20 由安培环路定理，可得由安培环路定理，可得LIl dB045例例：计算组合载流导体在计算组合载流导体在 o 点的磁感应强度。点的磁感应强度。解：解：o 点点 B 由三段载流导体产生。由三段载流导体产生。cdbcaboBBBB规定向里为正向，规定向里为正向，bcaboBBBRIRI44001140RIRabcd46例例：一根无限长导线通有电流一根无限长导线通有电流I I，中部弯成圆弧形，中部弯成圆弧形，如图所示。求圆心如图所示。求圆心o o点的磁感应强度点的磁感应强度B B。RoIIabcd0120解：直线段解：直线段abab在在o o点产生点产生的磁场：的磁场：030)30cos0(cos30sin400001RIB)231(20RI向里向里cdcd 段：段：)180cos150(cos30sin400003RIB)231(20RIRIRIBcb6312002产生的磁场圆弧向里向里321BBBBRIRI6)231(0047例：例：两根长直导线沿铜环的半径方向引向环上的两根长直导线沿铜环的半径方向引向环上的a，b两点，如图所示，并且与很远的电源相连。设圆环两点，如图所示，并且与很远的电源相连。设圆环由均匀导线弯曲而成，电源电流为由均匀导线弯曲而成，电源电流为I，求各段载流导，求各段载流导线在环心线在环心O点产生的磁感应强度以及点产生的磁感应强度以及O点的合磁场的点的合磁场的磁感磁感应应强度。强度。I1IIObal1I2l221100210114d4rlIrlIBl方向垂直环面向里方向垂直环面向里解：因为解：因为O点在长直导线的延长点在长直导线的延长线上，故载流直导线在线上，故载流直导线在O点产生点产生的磁感应强度为零。的磁感应强度为零。如图所示，如图所示，I1在在O点产生点产生B148由于两段圆弧形导线是并联的，所以由于两段圆弧形导线是并联的，所以121221llRRII2211lIlI即：即：因此因此B1=B2而方向相反，所以而方向相反，所以O点的磁感应强度为零。点的磁感应强度为零。I2在在O点产生点产生B2：22200220224d4rlIrlIBl方向垂直环面向外方向垂直环面向外49例：例：两个相同及共轴的圆线圈，半径为两个相同及共轴的圆线圈，半径为0.1m0.1m，每一线圈，每一线圈有有2020匝，它们之间的距离为匝，它们之间的距离为0.1m0.1m，通过两线圈的电流为，通过两线圈的电流为0.5A0.5A，求每一线圈中心处的磁感应强度：，求每一线圈中心处的磁感应强度：(1)(1)两线圈两线圈中的电流方向相同，中的电流方向相同，(2)(2)两线圈中的电流方向相反。两线圈中的电流方向相反。1O2OxR解：解：任一线圈中心处的磁感应强度为：任一线圈中心处的磁感应强度为：21BBBRNIB2012322202)(2xRRNIB(1)(1)电流方向相同：电流方向相同：21BBB)(1 2232230 xRRRNIT1051.85(2)(2)电流方向相反：电流方向相反：21BBB)(1 2232230 xRRRNIT1006.45