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一一 微分形式的微积分基本定理微分形式的微积分基本定理机动 目录 上页 下页 返回 完毕 4.2 4.2 微积分的基本定理微积分的基本定理二二 积分形式的微积分基本定理积分形式的微积分基本定理机动 目录 上页 下页 返回 完毕 一一 微分形式的微积分基本定理微分形式的微积分基本定理用定积分的法变上限的定积分法变上限的定积分法可以构造函数。()F x()dxaf tt我们研究了()F x的一个性质：定理定理 4.1.12设()f x在,ba上可积,()()dxaF xf tt在,ba上连续。我们将进一研究()F x性质。在直线运动的速度为(),s t(),v tC a b机动 目录 上页 下页 返回 完毕 运动的路程为那么()()s bs a任给,xa b则又有()()s xs a又()()s xv x即有d()ddxav ttx()v x这具有普遍性.()dbav tt()dxav tt机动 目录 上页 下页 返回 完毕 定理定理4.2.1 设()f x在,ba上可积,在0,xa b连续，则函数()()dxaF xf tt在0 xx可微，并有00()()F xf x证明证明取x使0,xa bx则有0()dxxaf tt00 xxF xF x0()daxf tt0()f x000dxxxfxtx1x故000()Fxf xxxF x0001()dxxxf tfxtx1x00()dxxxf tt机动 目录 上页 下页 返回 完毕 000()Fxf xxxF x0001()dxxxf tfxtx()f x在0 x连续，由于故对于0,00,使当0 x时有0()()f xf x故对0,取0,则当x时有000()Fxf xxxF x0001()dxxxf tfxtx0001()dxxxf tfxtx001dxxxtx0000()limxF xxF xF xx 0()f x机动 目录 上页 下页 返回 完毕 定理定理4.2.2设(),f xC a b那么是()()dxaF xf tt()f x的一个原函数，即有 d()ddxaf ttf xx注注（1）()()dxaF xf tt是满足()0F a 条件的唯一原函数。(2)定理 表明连续函数的原函数是存在的.（3定理把定积分这个特殊极限与导数这个完全不同的极限联系起来。考虑考虑 用定理4.2.2证明积分中值定理,)(baCxf若那么,a b 使()d()()baf xxfba积分中值定理积分中值定理证明证明令()d,xaf tt()F x 则由定理4.2.2知()F x在,a b可导，且().F xf x()()()()F bF afba由Lagrange中值知,a b 使又()()F bF a()daaf xx()dbaf xx()dbaf xx得()d()()baf xxfba ttf txfxd)()(0例例,0)(,),0)(xfxf且内连续在设证明)(xFttf txd)(0ttfxd)(0在),0(内为单调递增函数.证证:)(xF20d)(ttfxttfxfxxd)()(020d)(ttfxttfxfxd)()(0)(tx0.)0)(内为单调增函数，（在xF只要证0)(xF机动 目录 上页 下页 返回 完毕 20d)(ttfxxfx)()()(xf)0(x例例.,0)(,)(,)(xgbaxgxf且上连续在设试证,),(ba使baxxfd)(baxxgd)()()(gf分析分析:要证0d)()(d)()(babaxxgfxxfg即xaxxgd)(baxxfd)(xaxxfd)(baxxgd)(x0故作辅助函数baxabaxaxxgxxfxxfxxgxFd)(d)(d)(d)()(机动 目录 上页 下页 返回 完毕 至少存在一点证明证明:令令baxabaxaxxgxxfxxfxxgxFd)(d)(d)(d)()()(,)(xgxf因在,ba上连续,)(上连续在故baxF在,),(内可导ba,0)()(bFaF且至少,),(ba使,0)(F即0d)()(d)()(babaxxgfxxfg因在,ba上)(xg连续且不为0,0d)(baxxg从而不变号,因而故所证等式成立.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 故由罗尔定理知,存在一点例例.,0)(,)(,)(xgbaxgxf且上连续在设试证,),(ba使baxxfd)(baxxgd)()()(gf分析分析机动 目录 上页 下页 返回 完毕 至少存在一点()d()()()dbabaf xxfgg xx()d()d()()()d()dbaaabaaaf xxf xxfgg xxg xx故若令()()dxaF xf tt()()dxaG xg tt那么()d()()()()()dbabaf xxF bF aG bG ag xx()()FG例例.,0)(,)(,)(xgbaxgxf且上连续在设试证,),(ba使()d()()()dbabaf xxfgg xx证明证明机动 目录 上页 下页 返回 完毕 至少存在一点()()d,xaF xf tt()()d,xaG xg tt则显然()()()()F bF aG bG a()()FG令()F x()G x、在,a b连续且在(,)a b可导，又()()0,G xg x故由Cauchy定理知至少存在一点,),(ba使即()d()()()dbabaf xxfgg xx机动 目录 上页 下页 返回 完毕 定理定理 4.2.3Newton-Leibniz)二二 积分形式的微积分基本定理积分形式的微积分基本定理设(),f xC a b()F x()f x在,a b是的任一个原函数，那么()d()()()xxaaf ttF xF aF t证明证明法一：由定理4.1.2立即可得。法二：()dxaf tt()F x注意到与均是()f x在原函数，故()d()xaf ttF x,C注意到()d0,aaf tt 可得().CF a 故()d()xaf ttF xC,a b()()()xaF xF aF t（2变限积分求导机动 目录 上页 下页 返回 完毕)()(d)(ddxxttfx)()()()(xxfxxf注注d()d()dxaf ttf xx（1）()dbaf xx()()fba()()F bF a对()f x是积分中值定理对()F x是微分中值定理微分和积分在这里联系起来了。（2变限积分求导bxttfxd)(dd)(xf)(d)(ddxattfx)()(xxf机动 目录 上页 下页 返回 完毕)()(d)(ddxxttfx)()()()(xxfxxf特别的 d()ddaxf ttx fxx 机动 目录 上页 下页 返回 完毕()()()dxxf tt)()()()(xxfxxf设()F x是()f x的一个原函数,那么()()FxFx()()d()d()()()()dxxf ttfxxfxxx证明证明:)()(d)(ddxxttfxd()()dFxFxx故例例0limxtextd1cos22x解解原式0limx00 x2e21说明 目录 上页 下页 返回 完毕 求令21cos()d,txF xet那么()F x是连续函数，故21cos00limdlim()txxxetF x(0)F211d0tet故上述极限是型，故(sin)x 2cos xe说明 目录 上页 下页 返回 完毕 例例确定常数 a,b,c 的值,使).0(d)1ln(sinlim20ccttxxaxbx解解0020limln(1)dxbxtt20ln(1)dlimsinsinxbxtta xxa xx200ln(1)dlimlimsinsinxbxxtta xxa xx100c200limln(1)dxbxtt02ln(1)d,btt令2()ln(1)d,xbF xtt那么()F x是连续函数，故0lim()xF x(0)F2ln(1)b 其中介于0与b之间。故0b 说明 目录 上页 下页 返回 完毕 例例确定常数 a,b,c 的值,使).0(d)1ln(sinlim20ccttxxaxbx00原式=20coslimln(1)xaxxcxxax20coslim c 0,故.1a又由221cos1xx,得.21c020sinlimln(1)dxxa xxtt220()()()dxxxtf tt设例例求()x220()()()dxxxtf tt2200()d()dxxx f ttt f tt解解2200()d()dxxxf ttt f tt故2200()()d()dxxxxf ttt f tt202()d()xxf ttx f x2()x f x02()dxxf tt20sin()()d2cosxtfxf ttt求可微函数 满足 f x例例x解解 两对 求导得 2()()f x fxsin()2cosxf xx1sin()2 2cosxfxx得()()df xfxx1sind22cosxxx1ln(2cos)2xC 注注上述方程称为积分方程上述方程称为积分方程.上面的方法是处理积分方程重要的方法又2(0)f00sin()d02costf ttt得(0)0f11()ln(2cos)ln322f xx 故
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