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第2课时运用完全平方公式因式分解运用完全平方公式因式分解探究：探究：(1)(1)因为因为(x+2)(x+2)2 2=_,=_,所以所以_=(x+2)_=(x+2)2 2;(2)(2)因为因为(x-5)(x-5)2 2=_,=_,所以所以_=(x-5)_=(x-5)2 2;x x2 2+4x+4+4x+4x x2 2+4x+4+4x+4x x2 2-10 x+25-10 x+25x x2 2-10 x+25-10 x+25(3)(3)因为因为(2x+3y)(2x+3y)2 2=_,=_,所以所以_=(2x+3y)_=(2x+3y)2 2.(4)(4)因为因为(a+b)(a+b)2 2=_=_，(a-b)(a-b)2 2=_=_，所以所以_=(a+b)_=(a+b)2 2,_=(a-b),_=(a-b)2 2.4x4x2 2+12xy+9y+12xy+9y2 24x4x2 2+12xy+9y+12xy+9y2 2a a2 2+2ab+b+2ab+b2 2a a2 2-2ab+b-2ab+b2 2a a2 2+2ab+b+2ab+b2 2a a2 2-2ab+b-2ab+b2 2【归纳归纳】两个数的平方和加上两个数的平方和加上(或减去或减去)这两个数积的这两个数积的_,等于等于这两个数的这两个数的_的平方的平方.2 2倍倍和和(或差或差)【预习思考预习思考】多项式多项式-a-a2 2+2ab-b+2ab-b2 2能用完全平方公式进行因式分解吗能用完全平方公式进行因式分解吗?为什么为什么?提示：提示：能能.理由：多项式理由：多项式-a-a2 2+2ab-b+2ab-b2 2变形为变形为-(a-(a2 2-2ab+b-2ab+b2 2),),应用应用完全平方公式可得完全平方公式可得,-(a,-(a2 2-2ab+b-2ab+b2 2)=-(a-b)=-(a-b)2 2.用完全平方公式进行因式分解用完全平方公式进行因式分解【例例1 1】(12(12分分)因式分解：因式分解：(1)(2012(1)(2012泰州中考泰州中考)a)a2 2-6a+9-6a+9；(2)x(2)x2 2y y2 2+10 xy+25+10 xy+25；(3)(a+b)(3)(a+b)2 2-4(a+b)+4.-4(a+b)+4.【规范解答规范解答】(1)a(1)a2 2-6a+9=a-6a+9=a2 2-2-2a a3 3+3 32 2 2 2分分=(=(a-3a-3)2 2.4 4分分(2)x(2)x2 2y y2 2+10 xy+25=(xy)+10 xy+25=(xy)2 2+2+2xyxy5 5+5 52 26 6分分=(=(xy+5xy+5)2 2.8 8分分(3)(a+b)(3)(a+b)2 2-4(a+b)+4=(a+b)-4(a+b)+4=(a+b)2 2-2(-2(a+ba+b)2+22+22 2 1010分分=(=(a+b-2a+b-2)2 2.1212分分【互动探究互动探究】利用完全平方公式分解成两数和的平方还是两数利用完全平方公式分解成两数和的平方还是两数差的平方取决于什么？差的平方取决于什么？提示：提示：取决于乘积项的符号取决于乘积项的符号.【规律总结规律总结】运用完全平方公式因式分解所必须具备的三个条件运用完全平方公式因式分解所必须具备的三个条件1.1.所给的多项式为三项；所给的多项式为三项；2.2.其中有两项符号相同，并且这两项可化为两数其中有两项符号相同，并且这两项可化为两数(或整式或整式)的平的平方；方；3.3.另一项为这两个数另一项为这两个数(或整式或整式)的乘积的乘积(或其乘积相反数或其乘积相反数)的的2 2倍倍.【跟踪训练跟踪训练】1.1.下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是()()(A)x(A)x2 2+1 (B)x+1 (B)x2 2+2x-1+2x-1(C)x(C)x2 2+x+1 (D)x+x+1 (D)x2 2+4x+4+4x+4【解析解析】选选D.D.根据完全平方公式：根据完全平方公式：a a2 22ab+b2ab+b2 2=(a=(ab)b)2 2可得，选可得，选项项A A，B B，C C都不能用完全平方公式进行因式分解，都不能用完全平方公式进行因式分解，D D项可以，即项可以，即x x2 2+4x+4=(x+2)+4x+4=(x+2)2 2.2.2.下列各式因式分解正确的是下列各式因式分解正确的是()()(A)x(A)x2 2+x+1=(x+1)+x+1=(x+1)2 2(B)x(B)x2 2y y2 2-xy+=(xy+)-xy+=(xy+)2 2(C)x(C)x4 4+2x+2x2 2+1=(x+1=(x2 2+1)+1)2 2(D)m(D)m2 2+n+n2 2=(m+n)=(m+n)2 21414【解析解析】选选C.xC.x2 2+x+1+x+1不是完全平方式，故选项不是完全平方式，故选项A A错误；错误；x x2 2y y2 2-xy+=(xy)-xy+=(xy)2 2-2-2xyxy +()+()2 2=(xy-)=(xy-)2 2,故选项故选项B B错误；错误；x x4 4+2x+2x2 2+1=(x+1=(x2 2)2 2+2+2x x2 21+11+12 2=(x=(x2 2+1)+1)2 2,故选项故选项C C正确；正确；m m2 2+n+n2 2不是不是完全平方式，故选项完全平方式，故选项D D错误错误.141212123.(20123.(2012无锡中考无锡中考)因式分解因式分解(x-1)(x-1)2 2-2(x-1)+1-2(x-1)+1的结果是的结果是()()(A)(x-1)(x-2)(B)x(A)(x-1)(x-2)(B)x2 2(C)(x+1)(C)(x+1)2 2 (D)(x-2)(D)(x-2)2 2【解析解析】选选D.D.因为因为a a2 2-2ab+b-2ab+b2 2=(a-b)=(a-b)2 2，所以，所以(x-1)(x-1)2 2-2(x-1)+1=-2(x-1)+1=(x-1)-1(x-1)-12 2=(x-2)=(x-2)2 2.4.(20124.(2012淮安中考淮安中考)因式分解：因式分解：a a2 2+2a+1=_.+2a+1=_.【解析解析】a a2 2+2a+1=a+2a+1=a2 2+2+2a a1+11+12 2=(a+1)=(a+1)2 2.答案：答案：(a+1)(a+1)2 25.5.对下列多项式进行因式分解：对下列多项式进行因式分解：(1)a(1)a2 2-a+.-a+.(2)9-12t+4t(2)9-12t+4t2 2.(3)m(3)m2 2n n2 2-6mn+9.-6mn+9.(4)9(x+1)(4)9(x+1)2 2+6(x+1)+1.+6(x+1)+1.14【解析解析】(1)a(1)a2 2-a+=a-a+=a2 2-2-2a a +()+()2 2=(a-)=(a-)2 2.(2)9-12t+4t(2)9-12t+4t2 2=3=32 2-2-23 32t+(2t)2t+(2t)2 2=(3-2t)=(3-2t)2 2.(3)m(3)m2 2n n2 2-6mn+9=(mn)-6mn+9=(mn)2 2-2mn-2mn3+33+32 2=(mn-3)=(mn-3)2 2.(4)9(x+1)(4)9(x+1)2 2+6(x+1)+1=+6(x+1)+1=3(x+1)3(x+1)2 2+2+23(x+1)3(x+1)1+11+12 2=3(x+1)+13(x+1)+12 2=(3x+4)=(3x+4)2 2.14121212 综合运用各种方法进行因式分解综合运用各种方法进行因式分解【例例2 2】因式分解：因式分解：(1)(2012(1)(2012临沂中考临沂中考)a-6ab+9ab)a-6ab+9ab2 2.(2)(2012(2)(2012黔东南中考黔东南中考)x)x3 3-4x.-4x.(3)(x+y)(3)(x+y)2 2-4xy.-4xy.(4)(x(4)(x2 2+1)+1)2 2-4x-4x2 2.【解题探究解题探究】(1)(1)多项式多项式a-6ab+9aba-6ab+9ab2 2的各项是否有公因式？如何分解？的各项是否有公因式？如何分解？答：答：有有,公因式为公因式为a,a,先提公因式，先提公因式，a-6ab+9aba-6ab+9ab2 2=a(1-6b+9b=a(1-6b+9b2 2).提公因式后的另一个因式是否还可以分解？如何分解？提公因式后的另一个因式是否还可以分解？如何分解？答：答：可以分解，可以分解，1-6b+9b1-6b+9b2 2=(1-3b)=(1-3b)2 2,所以所以a-6ab+9aba-6ab+9ab2 2=a(1-3b)a(1-3b)2 2.(2)(2)多项式多项式x x3 3-4x-4x的各项是否有公因式？如何分解？的各项是否有公因式？如何分解？答：答：有，公因式为有，公因式为x,x,先提公因式，先提公因式，x x3 3-4x=x(x-4x=x(x2 2-4)-4).提公因式后的另一个因式是否还可以分解？如何分解？提公因式后的另一个因式是否还可以分解？如何分解？答：答：可以分解，可以分解，x x2 2-4=(x+2)(x-2)-4=(x+2)(x-2)，所以所以x x3 3-4x=-4x=x(x+2)(x-2)x(x+2)(x-2).(3)(x+y)(3)(x+y)2 2-4xy-4xy无法直接分解，无法直接分解，应展开应展开(x+y)(x+y)2 2,并合并同类项，再分解并合并同类项，再分解.合并后得合并后得x x2 2-2xy+y-2xy+y2 2,故故(x+y)(x+y)2 2-4xy=-4xy=(x-y)(x-y)2 2.(4)(x(4)(x2 2+1)+1)2 2-4x-4x2 2共有共有两两项，可考虑利用项，可考虑利用平方差平方差公式分解，故把公式分解，故把(x(x2 2+1)+1)2 2-4x-4x2 2写成写成(x(x2 2+1)+1)2 2-(2x)-(2x)2 2的形式，分解后为的形式，分解后为(x(x2 2+1+2x)(x+1+2x)(x2 2+1-2x),+1-2x),括号里的每个因式均为括号里的每个因式均为完全平方完全平方式，故继式，故继续分解为续分解为(x+1)(x+1)2 2(x-1)(x-1)2 2.【互动探究互动探究】若提取公因式后的另一个因式有两项或三项，请若提取公因式后的另一个因式有两项或三项，请考虑应分别如何分解？考虑应分别如何分解？提示：提示：两项的考虑是否可用平方差公式分解两项的考虑是否可用平方差公式分解.三项的考虑是否可用完全平方公式分解三项的考虑是否可用完全平方公式分解.【规律总结规律总结】因式分解的三步法因式分解的三步法提提看看查查有公因式的先提公因式有公因式的先提公因式看提公因式后的式子是否符合平方差或完全平方公式看提公因式后的式子是否符合平方差或完全平方公式检查每个因式是否分解彻底检查每个因式是否分解彻底【跟踪训练跟踪训练】6.(20126.(2012安徽中考安徽中考)下面的多项式中，能因式分解的是下面的多项式中，能因式分解的是()()(A)m(A)m2 2+n (B)m+n (B)m2 2-m+1-m+1(C)m(C)m2 2-n (D)m-n (D)m2 2-2m+1-2m+1【解析解析】选选D.D.选项选项A A中的两项没有公因式，更不符合公式法的形中的两项没有公因式，更不符合公式法的形式，不能因式分解；选项式，不能因式分解；选项B B虽然有三项，但一次项系数缺少了虽然有三项，但一次项系数缺少了2 2倍，不能用完全平方公式进行因式分解，也不能用其他方法进倍，不能用完全平方公式进行因式分解，也不能用其他方法进行因式分解，选项行因式分解，选项C C没有公因式，用平方差公式而第二项缺少平没有公因式，用平方差公式而第二项缺少平方，因此不能因式分解，只有选项方，因此不能因式分解，只有选项D D能用完全平方公式进行因式能用完全平方公式进行因式分解分解.7.(20127.(2012崇左中考崇左中考)一次课堂练习，小敏同学做了如下一次课堂练习，小敏同学做了如下4 4道因式道因式分解题，你认为小敏同学做得不够完整的题是分解题，你认为小敏同学做得不够完整的题是()()(A)x(A)x2 2-y-y2 2=(x+y)(x-y)=(x+y)(x-y)(B)x(B)x2 2-2xy+y-2xy+y2 2=(x-y)=(x-y)2 2(C)x(C)x2 2y-xyy-xy2 2=xy(x-y)=xy(x-y)(D)x(D)x3 3-x=x(x-x=x(x2 2-1)-1)【解析解析】选选D.DD.D中中x x2 2-1-1还可以分解为还可以分解为(x+1)(x-1),(x+1)(x-1),则则D D选项：选项：x x3 3-x=x(x-x=x(x2 2-1)=x(x-1)(x+1).-1)=x(x-1)(x+1).8.(20128.(2012怀化中考怀化中考)因式分解因式分解:x:x2 2-xy+xz-yz=_.-xy+xz-yz=_.【解析解析】原式原式=(x=(x2 2-xy)+(xz-yz)=x(x-y)+z(x-y)=(x-y)(x+z).-xy)+(xz-yz)=x(x-y)+z(x-y)=(x-y)(x+z).答案：答案：(x-y)(x+z)(x-y)(x+z)9.(20129.(2012南充中考南充中考)因式分解因式分解:x:x2 2-4x-12=_.-4x-12=_.【解析解析】x x2 2-4x-12=x-4x-12=x2 2-4x+4-16=(x-2)-4x+4-16=(x-2)2 2-4-42 2=(x-2+4)(x-2-4)=(x+2)(x-6).=(x-2+4)(x-2-4)=(x+2)(x-6).答案：答案：(x+2)(x-6)(x+2)(x-6)1.(20121.(2012凉山州中考凉山州中考)下列多项式能因式分解的是下列多项式能因式分解的是()()(A)x(A)x2 2+y+y2 2 (B)-x(B)-x2 2-y-y2 2(C)-x(C)-x2 2+2xy-y+2xy-y2 2 (D)x(D)x2 2-xy+y-xy+y2 2【解析解析】选选C.C.选项选项A,BA,B中的多项式有两项，每一项都是某一个数中的多项式有两项，每一项都是某一个数平方的形式，但两项符号相同，不能用平方差公式分解，也不平方的形式，但两项符号相同，不能用平方差公式分解，也不含有公因式，故选项含有公因式，故选项A,BA,B中的多项式不能分解中的多项式不能分解.-x.-x2 2+2xy-y+2xy-y2 2=-(x=-(x2 2-2xy+y2xy+y2 2)=-(x-y)=-(x-y)2 2,故选项故选项C C中的多项式可以分解，而选项中的多项式可以分解，而选项D D中的多中的多项式不含有公因式，也不是完全平方式，故不能分解项式不含有公因式，也不是完全平方式，故不能分解.2.2.下列因式分解中错误的是下列因式分解中错误的是()()(A)(54a(A)(54a2 2-6b-6b4 4)=6(3a+b)=6(3a+b2 2)(3a-b)(3a-b2 2)(B)1-4x(B)1-4x2 2=(1+2x)(1-2x)=(1+2x)(1-2x)(C)81x(C)81x2 2-64y-64y2 2=(9x+8y)(9x-8y)=(9x+8y)(9x-8y)(D)(-2y)(D)(-2y)2 2-x-x2 2=(-2y+x)(2y+x)=(-2y+x)(2y+x)【解析解析】选选D.(-2y)D.(-2y)2 2-x-x2 2=(2y)=(2y)2 2-x-x2 2=(2y+x)(2y-x).=(2y+x)(2y-x).3.(1)(20123.(1)(2012泰安中考泰安中考)因式分解：因式分解：x x3 3-6x-6x2 2+9x=_.+9x=_.(2)(2012(2)(2012威海中考威海中考)因式分解：因式分解：3x3x2 2y+12xyy+12xy2 2+12y+12y3 3=_.=_.【解析解析】(1)x(1)x3 3-6x-6x2 2+9x=x(x+9x=x(x2 2-6x+9)=x(x-3)-6x+9)=x(x-3)2 2.(2)3x(2)3x2 2y+12xyy+12xy2 2+12y+12y3 3=3y(x=3y(x2 2+4xy+4y+4xy+4y2 2)=3y(x+2y)=3y(x+2y)2 2.答案：答案：(1)x(x-3)(1)x(x-3)2 2 (2)3y(x+2y)(2)3y(x+2y)2 24.4.若若|m-5|+(n-25)|m-5|+(n-25)2 2=0,=0,将将x x2 2-2mxy+ny-2mxy+ny2 2因式分解得因式分解得_._.【解析解析】因为因为|m-5|+(n-25)|m-5|+(n-25)2 2=0,|m-5|0,=0,|m-5|0,(n-25)(n-25)2 20,0,所以所以m-5=0,n-25=0,m-5=0,n-25=0,解得解得m=5,n=25;m=5,n=25;又因为又因为x x2 2-2mxy+ny-2mxy+ny2 2=x=x2 2-2-25 5xy+25yxy+25y2 2=(x-5y)=(x-5y)2 2.答案：答案：(x-5y)(x-5y)2 25.5.将下列各式因式分解：将下列各式因式分解：(1)m(1)m2 2+mn+n+mn+n2 2;(2)3x(2)3x3 3-12x-12x2 2y+12xyy+12xy2 2;(3)y(3)y4 4-8y-8y2 2+16.+16.【解析解析】(1)(1)原式原式=(m+n)=(m+n)2 2.(2)(2)原式原式=3x(x=3x(x2 2-4xy+4y-4xy+4y2 2)=3x(x-2y)=3x(x-2y)2 2.(3)(3)原式原式=(y=(y2 2-4)-4)2 2=(y+2)=(y+2)2 2(y-2)(y-2)2 2.494323
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