直觉思维的培养途径

直觉思维的培养途径湖南宁乡一中黎国之（地址：湖南宁乡县玉潭镇二环西路100号，邮箱hunanliguozhi邮编410600）数学思维包括逻辑思维和直觉思维两种形式，逻辑思维严格遵守数学概念和 逻辑演绎的规则，而直觉思维不受固定的逻辑规则约束，它直接领悟事物本质， 是一种跳跃式的预见，因此大大缩短思考时间。虽然逻辑思维在数学思维中始终 占据着主导地位，但直觉是思维活动中最活跃、最积极、最具有创造性的思维， 两者具有辨证互补的关系，即所谓“大胆假设，小心求证气事实上，自然科学 史上的许多发现和发明，文学艺术方面的许多生花妙笔，政治领域的许多不朽佳 构，经济领域的许多经典杰作，军事史上许多奇谋异略，刑事侦查方面的许多巧 推妙断，往往都离不开直觉思维的作用。因此，作为选拔人才的高考命题人，很 自然要考虑对考生直觉思维能力的考查。笔者经过对近几年高考数学试卷的分析 证实了这一点。可见，在平时的教育教学中高度重视直觉思维的培养乃是顺理成 章的事情，是真正意义上的素质教育。培养数学直觉思维，可以从特殊结构（包括代数式的结构、图形的结构、问 题的结构）、特殊数值、特殊位置、变化趋势、变化极限、范围估计、运算结果、 特殊联系等方面来进行。下面以解填空题选择题为例分类说明。一、从特殊结构入手_【例题1】 一个正四面体，各棱长均为，则对棱的距离为多少？此题情境设置简洁，解决方法也多，通常可以考虑作出对棱的公垂线段再转 化为直角三角形求解。不过若能意识到把这个正四面体置于一个正方体结构中 （如图1），则瞬间得到结果，就是该正方体的棱长，为1。图1【例题2】已知a,b e R,且a + b+1 = 0,那么（a-2+（b-3的最小值是。我们当然可以用消元的方法求解，不过由式子（a - 2 ）2 +（b - 3）2的结构联想 到两点的距离公式（气-xj +Q - yj，则式子（a - 2 ）2 +（b - 3 ）2可以看作是直 线a + b +1 = 0上的动点P（ a,b）到定点Q（2，3）的距离的平方，由点到直线 距离公式知（a-2+（b-3=f也二当2 = 18。所以答案为18。Lmin V V27二、从特殊数值入手1【例题3】、已知sinx + cosx = 5,兀x 0,即 8ycos2 (A-B)1,A y 1,故应选 B。8这就是“经典”的小题大作！事实上，由于三个角A、B、C的地位完全平等， 直觉告诉我们：最大值必定在某一特殊角度取得，故只要令A=B=C=60。即得答 案B，这就是直觉法的威力，这也正是命题人的真实意图所在。三、从特殊位置入手【练习5】、如图2，已知一个正三角形内接于一个边长 为。的正三角形中，问x取什么值时，内接正三角形的面 积最小()A、a B、a C、a d、思a2342显然小三角形的端点位于大三角形边的中点时面积最小，【例题6】、双曲线x2 y2 = 1的左焦点为F，点P为左支下半支异于顶点的任意一点，则直线PF的斜率的变化范围是()A、 (8,0) B、(8, 1) U (1,+8)C、(一8,0) U (L +8)D、(1,+8)进行极限位置分析，当P A时，PF的斜率k 0；当PF 1 x时，斜率不 存在，即k T+8或k t-8 ；当P在无穷远处时，PF的斜率k 1。选C。四、从变化趋势入手【例题7】、(06年全国卷I，11)用长度分别为2、3、4、5、6 (单位：cm)的 5根细木棍围成一个三角形(允许连接，但不允许折断)，能够得到的三角形的 最大面积为多少？()A、8 侦5cm2B、6 0)的曲线关于直线y = xB、 y = ln(1-、x)D、y = -ln(1fx)用趋势判断法：显然已知曲线方程可以化为y = （ex -1）2（x 0），是个增函数。再令x T+8,那么y T+8,那么根据反函数的定义，在正确选项中当y T+8时 应该有x T+8,只有A符合。六、从范围估计入手【例题11】、（07浙江文8）甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”， 即以先赢2局者为胜，根据以往经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6,则本次 比赛中甲获胜的概率为（）A、0.216 B、0.36C、0.432D、0.648先看“标准”解法一一甲获胜分两种情况：甲：乙=2： 0，其概率为0.6 X0.6=0.36，甲：乙=2： 1，其概率为C10.6x0.4x0.6 = 0.288，所以甲获胜的 概率为 0.36+0.288=0.648，选 D。2现在再用直觉法来解：因为这种比赛没有平局，2人获胜的概率之和为1， 而甲获胜的概率比乙大，应该超过0.5,只有选D。【例题12】（07湖北理9）连续投掷两次骰子的点数为m,n，记向量b= （m，n） 与向量a= （1，-1）的夹角为9，则Oef 0习的概率是（I 2A、512B、C、712D、凭直觉可用估值法，画个草图（图4）,立刻 发现在ZAOB范围内（含在OB上）的向量b的个 数超过一半些许，选C，完全没有必要计算。图4七、从运算结果入手【例题13】、（97全国理科）函数y = sin（；-2x） + cos2x的最小正周期是（）兀A、一B、兀C、2兀D、4兀2因为a sin wx + b cos wx = A sin（x +甲），所以函数y的周期只与有关，这里 3= 2，所以选B，根本不必计算。【例题 14】、若（1-2）7 =a +ax+ax2+ax7，则 | a I +1 a I +1 a I +1 a 1=（） 01270127A、-1B、1 C、0 D、37直觉告诉我们，从结果看，展开式系数取绝对值以后，其和会相当大，选D。 或者退化判断法：将7次改为1次；还有一个更加绝妙的主意：干脆把问题转化 为已矢口 （1+ 2x）7 = a + a x + a x2 + a x7，求a + a + a + + a，这与原问题完01270127全等价！所以结果为37，选D。八、从特殊联系入手0,【例题15】、（97年高考）不等式组 3-x2-x的解集是（）、3+x 2+xA、x I 0 Y x Y 2B、x I 0 Y x Y 2.5C、x I0 Y x Y6D、x I0 Y x Y 3直接求解肯定不是最佳策略；四个选项左端都是0，只有右端的值不同，在 这四个值中会是哪一个呢？直觉：它必定是方程三 =iW I的根！，代入验证:3 + x 3 + x2不是，3不是，2.5也不是，所以选C。【例题16】、四个平面，最多可以把空间分成几部分？（）A. 8 B. 14C. 15D. 16这个问题等价于：一个西瓜切4刀，假设在此过程中西瓜不散落，则最多可 以切成几块？前3刀沿横、纵、竖三个方向切成8块应该没有问题，第4刀怎么切呢？要 得到最多的块数，应该尽可能切到前8块，所以切法应该区别于前3刀的方向， 即斜切，但总有1块切不到，所以答案为8X2-1=15，选C。也可以这样考虑：假设已经切好了，则中间必定有1块是没有皮的四面体， 与每一个面相邻的有1块，共4块；与每条棱相接的有1块，共6块；与每顶点 相对的有1块，共4块；所以总数是1+4+6+4=15，选C。