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决胜高考专案突破名师诊断对点集训【考情报告】名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考题型2010年2011年2012年小题第4题:考查三角函数的定义,周期性第9题:考查同角三角函数平方关系,切化弦,二倍角公式.第16题:考查三角形的面积公式,余弦定理,构造直角三角形解三角形.第5题:三角函数的平方关系及二倍角公式.第10题:向量运算与夹角公式第11题:三角函数的周期性、奇偶性、单调性.第16题:正弦定理的应用.第9题:已知三角函数在给定的区间上递减,求参数的取值范围.第13题:已知两个向量的模及夹角,求另一个向量的模.大题 第17题:用正、余弦定理解三角形.【考向预测】纵观近几年高考关于三角函数与平面向量局部的命题可以看出:三角函数的试题一般是一小题一大题或三个小题;平面向量的试题一般是一小题,多以选择题或填空题的形式出现.在解答题中对平面向量的考查,都不是以独立的试题形式出现,而是把平面向量作为解题的工具,渗透于解答题,如三角函数、圆锥曲线、数列等问题中.三角函数的解答题一般都为根底题,而三角函数与平面向量的小题一般都属于中低档题,不会太难.三角函数的图象和性质,如周期、最值、单调性、图象变换、特征分析(对称轴、对称中心);三角函数式的恒等变形,如利用有关公式名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考求值和简单的综合问题等都是考查的热点;平面向量主要考查共线(垂直)向量的充要条件、向量的数量积与夹角.预测在2021年的高考试卷中,考查三角函数与平面向量局部的题为两小题一大题,三角解答题一般有两种题型:一、解三角形,主要是运用正余弦定理来求解边长、角度、周长、面积等;二、三角函数的图象与性质,主要是运用和角公式,倍角公式,辅助角公式进行三角恒等变换,求解三角函数的最小正周期,单调区间,最值(值域)等.13年需要注意第二种题型的考查.难度为中低档题.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考1.(2021年江西)假设tan+=4,那么sin 2=()(A).(B).(C).(D).【解析】tan+=44tan=1+tan2,sin 2=2sin cos=.【答案】D1tan151413121tan21tantan222sin cossincos22tan1tan2tan4tan12【知能诊断】名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考2.假设,(0,),cos=-,tan=-,那么+2=.【解析】,(0,),cos=-,tan=-(-,0),tan=-(-,0),(,),+2(,3),又tan 2=-,tan(+2)=-1,+2=.7501375017331333565222tan1tan34tantan21tantan2114【答案】114名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考3.在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,假设a2-b2=bc,sin C=2sin B,那么A等于()(A)30.(B)60.(C)120.(D)150.【解析】由sin C=2sin B及正弦定理,得c=2b,代入a2-b2=bc,得a2-b2=b2b=6b2,即a2=7b2,又c2=12b2,由余弦定理得cos A=,所以A=30.【答案】A33333332222bcabc22221274 3bbbb64 332名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考4.关于x的方程:x2+2x+=0(xR),其中点C为直线AB上一点,O是直线AB外一点,那么以下结论正确的选项是()(A)点C在线段AB上.(B)点C在线段AB的延长线上且点B为线段AC的中点.(C)点C在线段AB的反向延长线上且点A为线段BC的中点.(D)以上情况均有可能.【解析】根据题意,由于A,B,C三点共线,故由=-x2-2x,可得-x2-2x=1,解之得x=-1,即=-+2,化简整理可得:-=-=,故点C在线段AB的延长线上且点B为线段AC的中点.OAOBOCOCOAOBOCOAOBOCOBOBOABCAB【答案】B名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(1)求证:B-C=;(2)假设a=,求ABC的面积.【解析】(1)由bsin(+C)-csin(+B)=a,应用正弦定理,得sin Bsin(+C)-sin Csin(+B)=sin A,即sin B(sin C+cos C)-sin C(sin B+cos B)=,整理得sin Bcos C-cos Bsin C=1,即sin(B-C)=1,22444422222222225.(2021年江西)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=,bsin(+C)-csin(+B)=a.444由于0B,C0)的图象特点:(1)在对称轴处取得最大值或最小值;(2)对称中心就是函数图象与x轴的交点;(3)两相邻的对称中心(或对称轴)之间相差半个周期,相邻的一个对称中心和对称轴之间相差四分之一个周期.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考由y=Asin(x+)的图象求其函数式:在给出图象要确定解析式y=Asin(x+)的题型中,有时从寻找“五点中的第一零点(-,0)作为突破口,要从图象的升降情况找准第一个零点的位置.2.三角函数的恒等变换:从函数名、角、运算三方面进行差异分析,常用的技巧有:切割化弦,降幂,用三角公式转化出现特殊角,异角化同角,异名化同名,高次化低次等.二倍角公式是实现降幂或升幂的主要依据,注意其变形:1+cos 2=2cos2,1-cos 2=2sin2,cos2=,sin2=.3.正弦定理1cos221 cos22名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考在ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C的对边,那么=2R(R为三角形外接圆的半径).4.余弦定理在ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C的对边,那么a2=b2+c2-2bccos A,cos A=,另外两个同样.5.面积公式在ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C的对边,那么sinaAsinbBsincC2222bcabc名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(1)三角形的面积等于底乘以高的;(2)S=absin C=bcsin A=acsin B=(其中R为该三角形外接圆的半径);(3)假设三角形内切圆的半径是r,那么三角形的面积S=(a+b+c)r;(4)假设p=,那么三角形的面积S=.6.航海和测量中常涉及仰角、俯角、方位角等术语.二、平面向量1.平面向量的根本概念121212124abcR122abc()()()p papbpc名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考2.共线向量定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数,使b=a.如果向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么ab 的充要条件是x1y2=x2y1或者x1y2-x2y1=0,即用坐标表示的两个向量平行的充要条件是它们坐标的交叉之积相等.当其中一个向量的坐标都不是零时,这个充要条件也可以写为=,即对应坐标的比值相等.3.平面向量根本定理对于任意向量a,假设以不共线的向量e1,e2作为基底,那么存在唯一的一组实数对,使a=e1+e2.21xx21yy名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考4.向量的坐标运算a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),a=(x1,y1).5.数量积(1)a,b的夹角为=(0,),那么它们的数量积为ab=|a|b|cos,其中|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影,向量的数量积满足交换律、数乘结合律和分配律,但不满足结合律,即a(bc)(ab)c;(2)假设a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么ab=x1x2+y1y2;(3)两非零向量a,b的夹角公式为cos=;|a ba b121222221122x xy yxyxy名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(4)|a|2=aa.(5)两个向量垂直的充要条件就是它们的数量积等于零.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考热点一:三角函数定义及简单的三角恒等变换 (1)假设0,-0,cos(+)=,cos(-)=,那么cos(+)等于()(A).(B)-.(C).(D)-.224134233233335 3969【考点突破】名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(2)(2021年重庆)sin=+cos,且(0,),那么的值为 .【分析】(1)角的变换:+=(+)-(-);(2)先化简,再求解.【解析】(1)cos(+)=,0,sin(+)=.又cos(-)=,-0,122cos2sin()42442413242 2342332名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考sin(-)=.cos(+)=cos(+)-(-)=cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-)=+=.4263244244244213332 23635 39名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(2)(法一)=-(cos+sin),sin=+cos,cos-sin=-,两边平方得1-2sin cos=,cos2sin()422cossin2(sincos)2(cossin)(cossin)2(sincos)22121214名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考2sin cos=.(0,),cos+sin=,=-.(法二)由条件得cos-sin=-,两边平方得1-2sin cos=,所以sin 2=.所以由(0,),且cos sin,知(,),所以2(,),所以cos 2=-=-.于是=-.3422(cossin)31472cos2sin()4142121434242221 sin 274cos2sin()4cos22(sincos)2142名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考【答案】(1)C (2)-【归纳拓展】在进行三角恒等变换时,一个重要的技巧是进行角的变换,把求解的角用角表示出来,把求解的角的三角函数使用已知的三角函数表示出来,常见的角的变换有:+2=2(+),=(+)-=(-)+,2=(+)+(-),2=(+)-(-),+=2,=(-)-(-)等.在进行三角函数化简或者求值时,如果求解目标较为复杂,那么首先要变换这个求解目标,使之简化,以便看出如何使用条件.142242222名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考变式训练1 (1)=,那么tan+的值为()(A)-8.(B)8.(C)-.(D).cos22sin()4521tan1818(2)假设sin+2cos=0,那么的值为()(A)-.(B).(C).(D)-.【解析】(1)=,即cos-sin=,即sin cos=-,所以tan+=-8.21cos2cossin223252383cos22sin()45252181tan1sin cos名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(2)由sin+2cos=0得tan=-2,所以=-.【答案】(1)A (2)A21cos2cossin2222coscos2sin cos222222coscoscos2sin coscoscos212tan23名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考如图,在平面直角坐标系中,锐角、的终边分别与单位圆交于A、B两点.(1)如果tan=,B点的横坐标为,求cos(+)的值;(2)假设角+的终边与单位圆交于C点,设角、+的正弦线分别为MA、NB、PC,求证:线段MA、NB、PC能构成一个三角形.【分析】利用三角函数的定义和三角函数线的定义解题.34513名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考【解析】(1)是锐角,根据三角函数的定义,得sin=,cos=,又cos=,且是锐角,所以sin=.所以cos(+)=cos cos-sin sin=-=-.35455131213455133512131665名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(2)依题意得MA=sin,NB=sin,PC=sin(+),因为,(0,),所以cos(0,1),cos(0,1),于是有sin(+)=sin cos+cos sin sin+sin.又+(0,),-1cos(+)1,sin=sin(+)-=sin(+)cos-cos(+)sin sin(+)+sin.同理,sin sin(+)+sin.12由可得,线段MA、NB、PC能构成一个三角形.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考【归纳拓展】三角函数的定义以及三角函数线的定义的使用是解决例2的关键.近几年的高考试题对三角函数根本关系考查常以选择题、填空题的形式出现,分值在5分左右.其考查重点是根底知识,考查要点是三角函数值的计算、三角函数符号的判断、角的象限的判断等.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(1)求sin 和cos 的值;(2)假设sin(-)=,0,求cos 的值.【解析】(1)a与b互相垂直,ab=sin-2cos=0,即sin=2cos,代入sin2+cos2=1得sin=,cos=,又(0,),sin=,cos=.101022 555522 5555变式训练2向量a=(sin,-2)与b=(1,cos)互相垂直,其中(0,).2名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(2)0,0,-0,-0)在区间0,上单调递增,在区间,上单调递减,那么等于()(A)3.(B)2.(C).(D).【分析】(1)f(x)=2sin(x+)中的各个参数中,与T有关,与平移或对称轴等有关.能够由图得出与,然后利用数量积公式.3323223名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(2)利用零点转化为解方程即可.(3)能够从已经给出的单调区间结合图象得出.【解析】(1)由图象易得f(x)=2sin(2x+),那么得A(-,0),B(,2),D(,-2),=(,2)(,-4)=-8.3612712ABBD4228名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(2)f(x)=0,那么x=0或cos x2=0,x2=k+,kZ,又x0,4,k=0,1,2,3,4,所有共有6个解,选C.(3)函数f(x)=sin x(0)在区间0,上单调递增,在区间,上单调递减,那么=,即=,答案应选C.(另解一)令x2k-,2k+(kZ)得函数f(x)在x-,+(kZ)为增函数,同理可得函数f(x)在x+,+(kZ)为减函数,那么当k=0,=时符合题意,即=,答案应选C.222322332222k22k22k22k322332名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(另解二)由题意可知当x=时,函数f(x)=sin x(0)取得极大值,那么f()=0,即cos=0,即=k+(kZ),结合选择项即可得答案应选C.(另解三)由题意可知当x=时,函数f(x)=sin x(0)取得最大值,那么=2k+(kZ),=6k+(kZ),结合选择项即可得答案应选C.3333233232名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考【答案】(1)-8 (2)C (3)C【归纳拓展】三角函数图象的形状和位置特征,要准确掌握,如对称中心是图象与x轴的交点,对称轴经过图象的最高点或最低点,图象平移应注意整体代换.能够熟练画出简图,然后能够借助正弦函数的图象结合三角函数的根本性质,充分利用数形结合去解决问题.28名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考变式训练3 (1)设R,那么“=0是“f(x)=cos(x+)(xR)为偶函数的()(A)充分而不必要条件.(B)必要而不充分条件.(C)充分必要条件.(D)既不充分也不必要条件.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(2)函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,|)的局部图象如下图,那么f()=.【解析】(1)函数f(x)=cos(x+)假设为偶函数,那么有=k,kZ,所以“=0是“f(x)=cos(x+)为偶函数的充分不必要条件,选A.223名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(2)(法一)由图象知A=2.f(x)的最小正周期T=4(-)=,故=2.将点(,2)代入f(x)的解析式得sin(+)=1,又|0,)的局部图象如图所示.32(1)求f(x)的表达式;(2)求函数f(x)在区间,2上的最大值和最小值.32名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考【分析】先结合图象确定和,再求最值.【解析】(1)由题意可得=-(-),=,因此f(x)=2sin(x+),又f()=2,即sin(+)=1,而,故=,故f(x)=2sin(x+).342566323256325632543254名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(2)由(1)可知f(x)=2sin(x+)=-2sin(x+),由x,2,那么x+,最大值为,最小值为-2.【归纳拓展】(1)解决三角函数图象题要能够熟练画出简图,然后能够借助三角函数的图象结合三角函数的根本性质,充分利用数形结合去解决问题.325432432324521342名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(2)要求正弦型函数f(x)=Asin(x+)的解析式,一般通过以下几个步骤实现:根据振幅求出A;根据图象的最高点、最低点或与x轴的交点求周期,再求出;根据特殊值求出初相,或者利用正弦函数对称轴与对称中心之间的关系直接求解.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;(2)需要把函数y=f(x)的图象经过怎样的变换才能得到函数g(x)=cos x的图象?(3)在ABC中,A、B、C分别为三边a、b、c所对的角,假设a=,f(A)=1,求b+c的最大值.【解析】(1)f(x)=cos2x+2sin xcos x-sin2x=sin 2x+cos 2x=2sin(2x+),最小正周期为T=,由-+2k2x+2k(kZ)可得-+kx+k(kZ).33362226236变式训练4函数f(x)=cos2x+2sin xcos x-sin2x.3即函数的单调递增区间为(kZ).,36kk名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(2)要得到函数g(x)=cos x的图象只需把函数y=f(x)的图象经过以下变换得到:把函数y=f(x)横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变得到函数y=2sin(x+)的图象;再把函数y=2sin(x+)的图象纵坐标缩短为原来的,横坐标不变,得到函数y=sin(x+)的图象;再把函数y=sin(x+)的图象向左平移个单位得到y=g(x)=sin(x+)=cos x的图象.(3)由f(A)=1可得2sin(2A+)=1,即sin(2A+)=,又0A0,a与b的夹角(0,),且ab和ba都在集合|nZ中,那么ab等于()(A).(B)1.(C).(D).【解析】(1)由题意可知mn=0,即a(b-2)+b(a-2)=0,a+b=ab,由余弦定理可得到4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,即(a+b)2-3ab-4=0,即(ab)2-3ab-4=0,解得ab=4(舍去ab=-1),故三角形周长a+b+c=a+b+22+2=6.4 2n 123252ab名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(2)由右图知=|cos(-B)=2|(-cos B)=1.cos B=.又由余弦定理知cos B=,解得BC=.(3)由定义=可得ba=,由于|a|b|0及(0,)得01,从而=|a|=2|b|cos,ab=2cos2.由(0,)cos 1cos2112cos20,0,0)的局部图象,M,N是它与x轴的两个交点,D,C分别为它的最高点和最低点,点F(0,1)是线段MD的中点,SCDM=.223名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(1)求函数f(x)的解析式;(2)在CDM中,记DMN=,CMN=,证明:sin C=2cos sin.【解析】(1)由点F(0,1)是线段MD的中点,知A=2.SDMN=SCDM=,T=,=3.f(x)=2sin(3x+),由M(-,0),sin(-+)=0,又00,故cos B=.4545451010(2)由正弦定理可得=,故sin C=,于是cos C=,故sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=,ABC的面积为acsin B=.【答案】(1)(2)AsinaAsincCsincAa3421 sin C742138123 73 381010名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考 (1)在ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,sin C+cos C=1-sin.求sin C的值;2C假设a2+b2=2(a+b)=8,求边c的值.(2)(2021年大纲全国)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,cos(A-C)+cos B=1,a=2c,求C.【分析】(1)由于有,要先用二倍角公式化简求值.2C(2)本试题主要考查了解三角形的运用,给出两个公式,一个是边的关系,一个是角的关系,而求解的为角,因此要找到角的关系式为好.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考【解析】(1)由得2sincos+1-2sin2=1-sin,即sin(2cos-2sin+1)=0,由sin0得2cos-2sin+1=0,即sin-cos=,两边平方得:sin C=.由sin-cos=0知sincos,那么,即C,2C2C2C2C2C2C2C2C2C2C2C2C12342C2C122C2C42C22那么由sin C=得cos C=-,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=8+2,所以c=+1.347477名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(2)由B=-(A+C),得cos B=-cos(A+C).于是cos(A-C)+cos B=cos(A-C)-cos(A+C)=2sin Asin C,由得sin Asin C=.由a=2c及正弦定理得sin A=2sin C.由、得sin2C=,于是sin C=-(舍去)或sin C=.12141212又a=2c,所以C=.6名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考【归纳拓展】(1)a,b边的关系结合第问的结论很容易想到用余弦定理求c边.(2)本试题主要考查了解三角形的运用,通过边角的转换,结合了三角形的内角和定理的知识,以及正弦定理和余弦定理,求解三角形中的角的问题.试题整体上比较稳定,思路也比较容易想,先将三角函数关系式化简后,得到A,C角关系,然后结合a=2c,得到两角正弦值的二元一次方程组,自然很容易得到C角的值.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考变式训练8在ABC中,角A、B、C所对应的边为a、b、c.(1)假设sin(A+)=2cos A,求A的值;(2)假设cos A=,b=3c,求sin C的值.【解析】(1)sin(A+)=2cos A,sin A=cos A,cos A0,tan A=,又0A,A=.6136333名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(2)在三角形ABC中,cos A=,b=3c,a2=b2+c2-2bccos A=8c2,a=2c,由正弦定理得:=,而sin A=,sin C=.(也能根据余弦定理得到cos C=,0Csin C=)1322 2sincAsincC21 cos A2 23132 2313名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考热点6:向量的应用向量的应用问题主要集中在论证几何命题(如平行与垂直)、求最值、求值等问题上.常用的解题知识有:向量共线的充要条件、向量垂直的充要条件、平面向量的根本定理以及向量数量积的运算公式等.(1)ABC为等边三角形,AB=2,设点P,Q满足=,=(1-),R,假设=-,那么等于()APABAQACBQCP32(A).(B).(C).(D).12122110232 22 名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(2)假设|a|=,|b|=1,且(a-2b)(2a+b),那么a与b的夹角余弦是()(A).(B).(C)-.(D)-.【分析】(1)向量的计算“基底是相当重要的,如果随心所欲地计算那么是无济于事的,此题把=+=-b+(1-)c,=+=-c+b用b,c表示出来是关键.232231232BQBAAQCPCAAP(2)利用向量的夹角公式cos=即可.|a bab名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考【解析】(1)如图,设=b,=c,那么|b|=|c|=2,bc=2,又=+=-b+(1-)c,=+=-c+b,由=-得-b+(1-)c(-c+b)=(-1)|c|2-|b|2+(-2+1)bc=-,即4(-1)-4+2(-2+1)=-,整理得42-4+1=0,即(2-1)2=0,解得=,选A.ABACBQBAAQCPCAAPBQCP32323212(2)由(a-2b)(2a+b)得(a-2b)(2a+b)=0,3ab=2a2-2b2=2,即ab=,cos=.23|a bab23【答案】(1)A (2)B名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考【归纳拓展】(1)本试题以等边三角形为载体,主要考查了向量加减法的几何意义,平面向量根本定理,共线向量定理及其数量积的综合运用.(2)考查向量垂直的充要条件与向量的夹角公式的应用.首先利用向量垂直的充要条件,求出ab,再利用向量的夹角公式计算夹角的余弦值.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考变式训练9 (1)在平行四边形ABCD中,A=,边AB、AD的长分别为2、1,假设M、N分别是边BC、CD上的点,且满足=,那么的取值范围是 .3|BMBC|CNCDAMAN(2)向量a,b,c满足|a|=1,|a-b|=|b|,(a-c)(b-c)=0.假设对每一个确定的b,|c|的最大值和最小值分别为m,n,那么对任意b,m-n的最小值是()(A).(B).(C).(D)1.141234名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考【解析】(1)(法一)设=(01),那么=,=(1-)=(1-),那么=(+)(+)=(+)+(1-)=+(1-)+(1-),|BMBC|CNCDBMBCADDNDCABAMANABBMADDNABADADABABAD2AB2ADADAB名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考又=21cos=1,=4,=1,=-2-2+5=-(+1)2+6.01,25,即的取值范围是2,5.(法二)以向量所在直线为x轴,以与垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系,如下图,因为AB=2,AD=1,所以A(0,0),B(2,0),C(,),D(,).设N(x,)(x),那么BM=CN,CN=-x,BM=-x,M(2+-,(-x)sin).ABAD32AB2ADAMANAMANAMANABAB523212323212521252541258 4x54123名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考根据题意,有=(x,),=(-,).所以=x(-)+(x),所以 25.AN32AM2184x 5 32 38xAMAN2184x325 32 38x1252AMAN(2)把三个向量的起点放在同一点O,如下图,根据几何意义,由|a-b|=|b|,得OAB是等腰三角形,当(a-c)(b-c)=0时,(a-c)(b-c),故点C在以AB为直径的圆上,|c|的最大值m和最小值n的差就是这个圆的直径,只有当B,E重合时这个直径最短,即m-n的最小值是.【答案】(1)2,5 (2)B12名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且有sin 2C+cos(A+B)=0.3(1)a=4,c=,求ABC的面积;(2)假设A=,cos Bcos C,求-2-3的值.【分析】因为cos(A+B)=-cos C,所以先统一角度,再求解.133ABBCBCCACAAB名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考【解析】(1)sin 2C+cos(A+B)=02sin Ccos C-cos C=0cos C(2sin C-)=0,所以cos C=0或sin C=,所以C=或C=或C=.333322323名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考因为a=4c=,所以C=,由余弦定理得13=16+b2-4b,解得b=3或b=1,所以S=14sin=或S=34sin=3.13312331233名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(2)因为A=,cos Bcos C,所以BC,所以C=,那么B=.-2-3=-|cos B+2|cos C+3|cos A=-|+|=(-|+|)|=0.326ABBCBCCACAABBABCCBCAACAB32BABC32ACAB32BC32ACAB名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考【归纳拓展】对于向量数量积的运算,此题只要掌握根本概念就可以迎刃而解,做题时,要切实注意条件的运用.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考变式训练10向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),|a-b|=.2 55(1)求cos(-)的值;(2)假设0,-0,且sin=-,求sin.【解析】(1)因为|a-b|=,所以|a-b|2=,那么a2-2ab+b2=,又|a|=|b|=1,整理得:cos(-)=ab=.225132 55454535名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(2)因为0,-0,sin=-,所以0-0,所以0-,sin(-)=,sin=sin(-)+=sin(-)cos+cos(-)sin=+(-)=.22513121335245451213355133365名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考热点7:应用题三角知识的应用,常在测量方面命题.题目难度有时还较大,多以大题出现,解决此类问题应该先认真审题,将实际中的问题转化成为数学模型而后解之.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考 2021年5月中下旬,强飓风袭击某地,给南部与中西部造成了巨大的损失.为了减少强飓风带来的灾难,救援队随时待命进行救援.某天,信息中心在A处得悉:在其正东方向相距80海里的B处有一艘客轮遇险,在原地等待救援.信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距40海里的C处的救援船,救援船立即朝北偏东角的方向沿直线CB前往B处救援.(1)假设救援船的航行速度为60海里/小时,求救援船到达客轮遇险位置的时间(2.646,结果保存两位小数);(2)求tan 的值.7名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考【分析】把问题转化为三角形中的边角关系,因此此题的关键是找出图中的角和边,利用余弦定理求出BC即可解决第(1)题;对于(2),利用正弦定理求出sinACB,再利用同角根本关系求出tanACB,再利用两角和的正切公式即可得出结果.【解析】(1)在图中的ABC中,AB=80,AC=40,BAC=120,由余弦定理可知:BC2=AB2+AC2-2ABACcos 120,即BC2=802+402-28040(-)=11200,故BC=40,故救援船到达客轮遇险位置所需时间为4060=1.76小时.12772 73名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(2)在ABC中,由正弦定理可得=sinACB=sinBAC=,显然ACB为锐角,故cosACB=,tanACB=,而=ACB+30,故tan=tan(ACB+30)=.sinABACBsinBCBACABBC2172 7732tantan301tan30 tanACBACB5 33名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考【归纳拓展】此题以全新的背景引入,以实际应用问题考查正弦定理与余弦定理的应用、三角公式的应用及分析问题、解决问题的能力.把问题转化为三角形中的边角关系,因此此题的关键是找出图中的角和边,利用余弦定理求出BC即可解决第(1)题;对于(2),利用正弦定理求出sinACB,再利用同角根本关系求出tanACB,再利用两角和的正切公式即可得出结果.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考变式训练11如图,实线局部的月牙形公园是由圆P上的一段优弧和圆Q上的一段劣弧围成,圆P和圆Q的半径都是2,点P在圆Q上,现要在公园内建一块顶点都在圆P上的多边形活动场地.(1)如图甲,要建的活动场地为RST,求场地的最大面积;(2)如图乙,要建的活动场地为等腰梯形ABCD,求场地的最大面积.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考【解析】(1)过S作SHRT于H,SRST=SHRT.由题意,RST在月牙形公园里,RT与圆Q只能相切或相离;RT左边的局部是一个大小不超过半圆的弓形,那么有RT4,SH2,当且仅当RT切圆Q于P时(如下左图),上面两个不等式中等号同时成立.此时,场地面积的最大值为SRST=42=4.1212名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(2)同(1)的分析,要使得场地面积最大,且AD左边的局部是一个大小不超过半圆的弓形,AD必须切圆Q于P,再设BPA=,那么有S四边形ABCD=22sin 2+22sin(-2)=4(sin+sin cos)(00,(,)时,y0)的图象与y=1的图象的两相邻交点间的距离为,要得到y=f(x)的图象,只须把y=sin x的图象()(A)向左平移个单位.(B)向右平移个单位.(C)向左平移个单位.(D)向右平移个单位.【解析】由可得=2,因此把y=sin 2x的图象向左平移个单位,可得到y=cos 2x的图象,再把y=cos 2x的图象向左平移个单位,即可35125121112111246得到y=cos(2x+)的图象,共向左平移个单位.【答案】A3512名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考3.等于()(A).(B).(C)-.(D).【解析】=|cos 120|=|-|=.选D.【答案】D2cos 600323232122cos 6001212名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考4.设函数f(x)=cos(2x-),xR,那么f(x)是()(A)最小正周期为的奇函数.(B)最小正周期为的偶函数.(C)最小正周期为的奇函数.(D)最小正周期为的偶函数.【解析】f(x)=cos(2x-)=-cos 2x,可知答案选B.【答案】B22名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考5.sin(+)=,那么cos(+2)的值为()(A)-.(B).(C).(D)-.【解析】由sin(+)=得cos=,cos(+2)=-cos 2=-(2cos2-1)=,选B.【答案】B213797929232131379名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考6.设a,b是两个非零向量.那么()(A)假设|a+b|=|a|-|b|,那么ab.(B)假设ab,那么|a+b|=|a|-|b|.(C)假设|a+b|=|a|-|b|,那么存在实数,使得b=a.(D)假设存在实数,使得b=a,那么|a+b|=|a|-|b|.【解析】利用排除法可得选项C是正确的,|a+b|=|a|-|b|,那么a,b共线,即存在实数,使得b=a.如选项A:|a+b|=|a|-|b|时,a,b可为异向的共线向量;选项B:假设ab,由正方形得|a+b|=|a|-|b|不成立;选项D:假设存在实数,使得b=a,a,b可为同向的共线向量,此时显然|a+b|=|a|-|b|不成立.【答案】C名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考7.如图,设A、B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为50 m,ACB=45,CAB=105后,就可以计算出A、B两点的距离为()(A)50 m.(B)50 m.(C)25 m.(D)m.【解析】由正弦定理得=,AB=50,选A.【答案】A23225 22sinABACBsinACBsinsinACACBB2502122名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考8.设0,函数y=sin(x+)(-)的图象向左平移个单位后,得到右边的图象,那么,的值为()(A)=1,=.(B)=2,=.(C)=1,=-.(D)=2,=-.【解析】由图象可得y=sin(2x-+k),向右平移个单位为y=sin(2x-+k),由-0,0,|)的图象如下图,那么f(x)的表达式是f(x)=.【解析】由图知,周期T=2(-)=,所以=2.又=1,所以k=1.因为-1=,那么A=.由f()=,得=,故f(x)=sin(2x+)+1.【答案】sin(2x+)+12712125122252323212523323323二、填空题名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考11.设为锐角,假设cos(+)=,那么sin(2+)的值为 .【解析】为锐角,即0,+=.cos(+)=,sin(+)=.sin(2+)=2sin(+)cos(+)=2=.cos(2+)=.sin(2+)=sin(2+-)=sin(2+)cos-cos(2+)sin 64512266262364563536635452425372512343434=-=.【答案】2425227252217 25017 250名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考12.假设平面向量a,b满足:|2a-b|3,那么ab的最小值是 .【解析】|2a-b|34a2+b29+4ab,4a2+b24|a|b|-4ab9+4ab-4abab-.【答案】-9898名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(1)求函数F(x)=f(x)f(x)+f(x)2的最大值和最小正周期;(2)假设f(x)=2f(x),求的值.【解析】(1)f(x)=sin x+cos x,f(x)=cos x-sin x,F(x)=f(x)f(x)+f(x)2=cos2x-sin2x+1+2sin xcos x=1+sin 2x+cos 2x=1+sin(2x+),221 sincossin cosxxxx2413.a=(sin x,1),b=(1,cos x),且函数f(x)=ab,f(x)是f(x)的导函数.三、解答题名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考当2x+=2k+x=k+(kZ)时,F(x)max=1+,最小正周期为T=.428222(2)f(x)=2f(x),sin x+cos x=2cos x-2sin x,cos x=3sin x,即tan x=,=.13221 sicosin cosn xs xxx2222sicocosin cosn xs xs xxx22ta11tann xx11923116名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考限时训练卷(二)一、选择题1.(2021福建六校联考)-,且sin+cos=a,其中a(0,1),那么关于tan 的值,在以下四个答案中,可能正确的选项是()(A)-3.(B)3 或.(C)-.(D)-3或-.22131313名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考【解析】因为sin+cos=a,a(0,1),平方可得sin cos=0,故-sin.|cos|sin|,借助三角函数线可知-0,-1tan 0,0)为奇函数,该函数的局部图象如图所示,A、B分别为最高点与最低点,并且两点间的距离为2,那么该函数的一条对称轴方程为()(A)x=.(B)x=.(C)x=1.(D)x=2.222名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考函数周期T=2=4,所以=,又因为函数为奇函数,所以cos=0(00,00),函数f(x)=ab在R上的最大值为2.3三、解答题(1)求实数a的值;(2)把函数y=f(x)的图象向右平移个单位,可得函数y=g(x)的图象,假设y=g(x)在0,上为增函数,求的最大值.【解析】(1)f(x)=1+cos x+a+sin x=2sin(x+)+a+1,因为函数f(x)在R上的最大值为2,所以3+a=2,故a=-1.6436名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(2)由(1)知f(x)=2sin(x+),把函数f(x)=2sin(x+)的图象向右平移个单位,可得函数y=g(x)=2sin x,又y=g(x)在0,上为增函数,g(x)的周期T=,即2,所以的最大值为2.66642名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考1.sin(+)cos-cos(+)sin=,且在第二象限,那么tan等于()(A)或-3.(B)3.(C).(D)3或-.【解析】sin(+)cos-cos(+)sin=sin=,且在第二象限,所以cos=-,那么tan=3.【答案】B35213131335452sin1cos限时训练卷(三)一、选择题名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考2.在ABC中,假设a cos A=b cos B,那么这个三角形的形状是()(A)锐角三角形.(B)直角三角形.(C)等腰三角形.(D)等腰三角形或直角三角形.【解析】因为2Rsin Acos A=2Rsin Bcos B,那么sin 2A=sin 2B,所以2A=2B或2A=-2B,可得A=B或A+B=.【答案】D2名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考3.函数f(x)=sin(x-)(0)的最小正周期为,那么y=f(x)的一个单调递增区间为()(A)-,.(B),.(C)-,.(D)-,.【解析】由条件可得=,故=2,f(x)=sin(2x-),检验可知-,是它的一个单调递增区间.【答案】C482383483838824838名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考4.函数y=(0 x,x)的图象的大致形状是()【解析】(法一)y=(0 x,x)=应选B.(法二)0 x0,选B.【答案】Bsin|tan|xx2sin|tan|xx2cos(0),2cos(),2xxxx2sin|tan|xx名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考5.在边长为1的等边ABC中,假设=a,=b,=c,那么ab+bc+ca等于()(A).(B)-.(C)3.(D)0.【解析】依题意,得ab+bc+ca=3|a|2cos 120=-.【答案】BBCCAAB323232名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考6.使y=sin x(0)在区间0,1至少出现2次最大值,那么的最小值为()(A).(B).(C).(D).【解析】要使y=sin x(0)在区间0,1至少出现2次最大值,只需要最小正周期1,故.【答案】A52543254252名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考7.在平面直角坐标系中,菱形OABC的两个顶点为O(0,0),A(1,1),且=1,那么等于()(A)-1.(B)1.(C).(D).【解析】依题意,|=|=|=,=cosAOC=1,cosAOC=,AOC=,那么|=|=|=,BAC=,=cosBAC=1.【答案】BOAOCABAC23OAOCAB2 OAOC22123ACOAOC23ABAC22名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考8.直线x=是函数f(x)=asin x-bcos x图象的一条对称轴,那么函数g(x)=bsin x-acos x图象的一条对称轴方程是()(A)x=.(B)x=.(C)x=.(D)x=.【解析】依题意,f()=asin-bcos=acos-bsin=-(bsin-acos)取最大值或最小值,即g()取最小值或最大值,故x=是函数g(x)的一条对称轴.【答案】B6632666333333名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考9.设M-N=x|xM,且x N,假设M=x|x=(sin+cos),N=x|x=sin-|sin|,那么M-N等于()(A)x|0 x2.(B)x|0 x2.(C)x|-2x0.(D)2.【解析】(sin+cos)=2sin(+),M=x|-2x2.当 0sin 1时,sin-|sin|=0,当-1sin 0时,sin-|sin|=2sin-2,0),N=x|-2x0,M-N=x|0 x2.【答案】B224名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考10.ABC三个内角A、B、C所对的边a、b、c成等比数列,且a、2、c成等差数列,=2,那么B=.【解析】依题意得b2=ac,a+c=4,=accos B=2,a2+2ac+c2=16,a2+c2=16-2ac,b2=a2+c2-2accos B,ac=16-2ac-22,ac=4,cos B=,B=.【答案】BABCBABC1233二、填空题名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考11.函数f(x)=sin x+2|sin x|,x0,2 的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,那么k的取值范围是 .【解析】作函数y=f(x)和直线y=k的草图,由草图可得1k3.【答案】k|1 k 3名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考12.有以下命题:存在(0,)使sin+cos=;存在区间(a,b)使y=cos x为减函数而sin x1,故错;假设y=cos x为减函数,那么x2k,+2k,kZ,此时sin x0,故错;错误,例如,x1=,x2=;y=cos 2x+sin(-x)=2cos2x+cos x-1,既有最大、最小值,又是偶函数,故对;y=|sin(2x+)|最小正周期为,故错.【答案】2376262名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考13.函数f(x)=sin(x+)+sin(x-)+acos x+b(a,bR,且均为常数).66三、解答题(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)假设f(x)在区间-,0上单调递增,且恰好能够取到f(x)的最小值2,试求a,b的值.【解析】(1)f(x)=sin(x+)+sin(x-)+acos x+b=2sin xcos+acos x+b=sin
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