数值积分与数值微分

数计学院数值计算课程建设组QAB2023-2-23第五章第五章 数值积分与数值微分数值积分与数值微分5.1 引言引言5.2 Newton-Cotes 公式公式 复化求积公式复化求积公式5.4 龙贝格求积公式龙贝格求积公式5.5 高斯型积分高斯型积分5.6 数值微分数值微分数计学院数值计算课程建设组QAB2023-2-23数计学院数值计算课程建设组QAB2023-2-23数计学院数值计算课程建设组QAB2023-2-231 引言引言一、数值求积的基本思想一、数值求积的基本思想1、牛顿-莱布尼兹公式()()()baf x dxF aF b但是求函数f(x)的原函数F(x)不一定比计算积分容易，例如函数 找不到用初等函数表示的原函数。2s in,s inxxx另外若给出的函数f(x)是数据表，也不好求函数的积分。计算定积分的方法：计算定积分的方法：数计学院数值计算课程建设组QAB2023-2-232、积分中值定理()()()baf x dxba f但是点 的具体位置一般不知道，故难以准确算出 的值。()f有两种近似方法：()()2f af b()f得到()()()()2baf af bf x dxba梯形公式另一种是矩形法矩形法，()()()baf x dxba f a左矩形公式一种是梯形法梯形法，用 代替()()()2baabf x dxba f中矩形公式()()()baf x dxba f b右矩形公式简称矩形公式简称矩形公式数计学院数值计算课程建设组QAB2023-2-23定义：公式定义：公式叫做数值求积公式（机械求积）叫做数值求积公式（机械求积）0()()nbkkakfx dxA fx其中其中xk称为求积节点，Ak称为求积系数,亦称伴随节点xk的权。数计学院数值计算课程建设组QAB2023-2-23二、二、代数精度的概念代数精度的概念定义定义若某个求积公式对于次数不超过若某个求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确成立，的多项式均能准确成立，但但对于对于m+1m+1次的多项式次的多项式就不能准确成立，则称此求积公式的就不能准确成立，则称此求积公式的代数代数精度精度为为 m。一般要使求积公式0()()nbkkakfx dxA fx具有m次次精度，只要令它使2()1,.,mf xx xx都能准确成立，即：2211,1(),2.1()1kkkmmmkkAbaAxbaAxbam数计学院数值计算课程建设组QAB2023-2-23解：解：逐次检查公式是否精确成立逐次检查公式是否精确成立当当 f(x)=1：1112dx12(12 1)当当 f(x)=x：当当 f(x)=x2：110 xdx12(1 2 0 1)12231x dx22212(1)201 1故：代数精度故：代数精度=1例例1 1 考察考察1112()(1)2(0)(1)f x dxfff有几次代数精度。有几次代数精度。数计学院数值计算课程建设组QAB2023-2-23三、三、插值型的求积公式插值型的求积公式设给定一组节点:012naxxxxb且已知函数在这些节点处的函数值f(xi)(i=0,1,n),由第二章知可以作插值函数Ln(x),由于Ln(x)为多项式，所以其积分可以很容易求得：00()()()()()()nnbbbnnkkkkaaakkIfLx dxfxlx dxlx dx fx()bkkaAlx dx记记 则上式则上式=0()()nbkkakAfxfx dx称公式：称公式：其中其中 为求积系数。为求积系数。定义定义0()()nbkkaknf x dxA fI fIxf()bkkaAlx dx(k=0,1,.,n)为插值型的求积公式。为插值型的求积公式。其余项为：其余项为：(1)()()(1)!nbnafR fIIx dxn数计学院数值计算课程建设组QAB2023-2-23证明证明：显然对于次数不超过n次的多项式，Rf等于0，所以说明，插值型求积至少是n次代数精度的0()()nbnkkakf x dxIA f x至少具有n次代数精度，所以用插值基函数lk(x)当作f(x)代入，上式精确成立，即：0()()nbknj kjkajlx dxIA lxA所以0()nnkkkIA f x为插值型的求积定理定理 含有n+1个节点的插值型求积公式 至少具有n次代数精度的充分必要条件是它是插值型的。0()()nnkkkIfA f x假设数计学院数值计算课程建设组QAB2023-2-23例例2 对于对于a,b上一次插值，有上一次插值，有1()()()L xf af bx bx aa bb a122b aAA即即 。考察其代数精度。考察其代数精度。f(x)abf(a)f(b)解：解：逐次检查公式是否精确成立逐次检查公式是否精确成立代入代入 P0=1：baabdx111 2 ab=代入代入 P1=x：=代入代入 P2=x2：222abbadxx 2baab 3233abbadxx 222baab 故：代数精度故：代数精度=1则积分公式则积分公式12()()()()bbaab af x dxL x dxf af b数计学院数值计算课程建设组QAB2023-2-23四、四、求积公式有收敛性与稳定性求积公式有收敛性与稳定性在求积公式0()()nbkkakf x dxA f x中，若1100lim()(),(max()nbkkiianinkhA f xf x dxhxx 其中则称求积公式是收敛的定义定义定义定义()kkkf xfkfk在求积公式0()()nbkkakf x dxA f x中，由于计算 f(xk)可能产生误差，实际得到即：00()()()nnnkknkkkkIfA fxIfA f，如果对任给的小正数0，只要误差充分小就有0()()()nnnkkkkIfIfAfxf则称求积公式是稳定的记数计学院数值计算课程建设组QAB2023-2-23求积公式0()()nbkkakf x dxA f x中的系数k（k=0,1,n)则此求积公式是稳定的定理定理证明：若取ba,则当()kkfxf有000()()()()()nnnkkkknnkkkkkkIfIfAfxfAfxfAba所以求积公式是稳定的数计学院数值计算课程建设组QAB2023-2-23一、柯特斯系数一、柯特斯系数(),0,1,.,.nkkbaxakh xathhkn Cn()0001()()1()()1()(1)()!()!bnkkkabjajkjjknjknknjkAClx dxbabaxxdxbaxxtj hh dtnkj htj dtn knk注：注：Cotes 系数仅取决于系数仅取决于 n 和和 i，可查表得到。与，可查表得到。与 f(x)及区及区间间a,b均无关。均无关。2 Newton-Cotes 公式公式为为n阶阶Newton-cotes求积公式。其中：求积公式。其中：()0()()()nbnkkakf x dxbaCf x定义：等距节点下的插值型求积公式定义：等距节点下的插值型求积公式为为cotes系数。系数。数计学院数值计算课程建设组QAB2023-2-2321,21)1(1)1(0 CCn=1:)()(2)(bfafabdxxfba 梯形公式梯形公式 babadx)bx)(ax(!2)(fdx)bx)(ax(!2)(f f R1,)(1213abhbafh 代数精度代数精度=1n=2:61,32,61)2(2)2(1)2(0 CCC)()(4)(6)(2bffafabdxxfbaba 辛普森公式辛普森公式代数精度代数精度=34(4)(),(,),1802babaR fh fa bh 余项余项余项余项数计学院数值计算课程建设组QAB2023-2-236(6)2()(),(,),9454babaR fh fa bh 由书中表知，当8n 时柯特斯系数出了负值，所以()()001nnnnkkkkCC故时时Newton-Cotes 公式不适用。公式不适用。8n n=4:(4)(4)(4)(4)(4)012347162167,9045154590CCCCC01234()7()32()12()32()7()90bab af x dxf xf xf xf xf x柯特斯公式柯特斯公式代数精度代数精度=5余项余项数计学院数值计算课程建设组QAB2023-2-23二、偶数阶求积公式的代数精度二、偶数阶求积公式的代数精度证明：当n 为偶数时，由于有(1)1(1)()()(1)!nnnfxxn(1)0()()()()()(1)!nnbbnjaajfR fI fIfx dxxx dxn引进变量 x=a+th,并且显然有x j=a+jh2220002/222/22()()2()0nnnnnnnjjnnnnjnnRfhtj dthuj duhtj dt n 为为偶数阶偶数阶的的Newton-Cotes 公式至少有公式至少有 n+1 次代数精度。次代数精度。定理定理t=u+n/2数计学院数值计算课程建设组QAB2023-2-23几种低阶求积公式的余项几种低阶求积公式的余项3()()()2()()()()()122bTabafRITxa xb dxfxa xb dxfba梯形公式：梯形公式：sRIS辛普森公式：辛普森公式：构造三次插值函数H(x)满足条件：()(),()()()(),()()2222H af a H bf ba ba ba ba bHfHf则该函数满足三次代数精度，故辛普森公式(4)2(4)4()()()()18()()()()()4!02bbsaafRf xH x dxxa xcxfbdxabba柯特斯公式：柯特斯公式：(6)72()()()9454CfbaaRb数计学院数值计算课程建设组QAB2023-2-231 1、复化梯形公式复化梯形公式将区间a,b划分为n等分，分点xk=a+kh,h=(b-a)/n,k=0,1,n，在每个小区间xk,xk+1上采用梯形公式计算.110110()()()()()2kknbxaxknkknkIfx dxfx dxhfxfxRf11011()()2()2()()2nnkkknkkhTfxfxhfafxf b记称为复化梯形公式其误差为310()()12nnnkkhRfITf 3 复化求积公式复化求积公式数计学院数值计算课程建设组QAB2023-2-23由于f(x)属于C2a,b,且1010101min()()max()nkkkk nk nkfffn 所以存在10(,)1()()nkka bffn使即有lim()bnanTfx d x 复化梯形求积公式是稳定的和收敛的。3120()()()1212nnnkkhbaRfITfh f=O(h=O(h2 2)数计学院数值计算课程建设组QAB2023-2-232 2 复化辛普森公式复化辛普森公式若记1/212kkxxh则得：11011/210()()()4()()()6kknbxaxknkkknkIfx dxfx dxhfxfxfxRf11/210111/201()4()()6()4()2()()6nnkkkknnkkkkhSf xf xf xhf af xf xf b记数计学院数值计算课程建设组QAB2023-2-23其余项与复化梯形公式相似有：显然有：lim()bnanSfxd x 而由其系数为正数，也为稳定的，收敛阶数为4阶，梯形公式的收敛阶数为2阶的。14(4)4(4)0()()()()()18021802nnnkkhhbahRfISff =O(h4)4(4)()()()1802nba hbaRffhn 2()()12nbabaRfh fhn 31()()121baR fh fh 4(4)()1802babaR fh fh 所以复化辛普生求积公式是收敛的。数计学院数值计算课程建设组QAB2023-2-23例例1 对于函数sin()xf xx，给出n=8的函数表，试用复化梯形公式和复化辛普生公式求积分：10sin xIdxxxif(xi)011/80.99739782/80.98961583/80.97672674/80.95885105/80.93615566/80.90885167/80.877192510.84147097171818()2()()821(0)2()(1)160.9456909kkkkhnhf af xf bfffTx331/201331/20414()4()2()()61(0)4()2()(1)240.9460832kkkkkkkknhhf af xf xf bSff xf xf Excel求解求解数计学院数值计算课程建设组QAB2023-2-23例2 试用复化辛普森公式求积分：1204xIdxxfunction S=FSimpson(f,a,b,N)h=(b-a)/N;fa=feval(f,a);fb=feval(f,b);S=fb+fa;x=a;for i=1:N x=x+h/2;fx=feval(f,x);S=S+4*fx;x=x+h/2;fx=feval(f,x);S=S+2*fx;end S=h*S/6;function f=f1(x)f=x/(4+x2);f=f1;a=0;b=1;N=64;S=FSimpson(f,a,b,N)111/201()4()2()()6nnnkkkkhSf af xf xf b数计学院数值计算课程建设组QAB2023-2-23一、梯形法的递推化一、梯形法的递推化为了提高求积精度，可在复化求积的基础上将积分小区间xk,xk+1二分一次，增加了一个分点x k+1/2=(x k+x k+1)/2,记h=(b-a)/n，则：11/211/21/211/21/21/211/21()()()()()()()22()2()()4kkkkkkxxxxxxkkkkkkkkkkkf x dxf x dxf x dxxxxxf xf xf xf xhf xf xf x4 龙贝格求积公式龙贝格求积公式1111/210011111/21/20002()()()2()()41()()()()4222kknnbxkkkaxkknnnnknkkkkkkhf x dxf x dxf xf xf xhhf xf xf xhTf xT称之为梯形法的递推化称之为梯形法的递推化数计学院数值计算课程建设组QAB2023-2-23二、龙贝格算法二、龙贝格算法由复化梯形公式的余项知：214nnITIT有即：24133nnnITTS2222()()()(12()()()1)22nnnnbaR TITh fbahR TITfff 2411.33nnnSTT所以说明复化梯形公式二分前后两次计算值的线性组合就为复化辛普森求积公式。数计学院数值计算课程建设组QAB2023-2-23同理对辛普生公式进行二分处理，前后两次计算值的误差进行比较，2116nnISIS21611515nnnISSC复化柯特斯公式复化柯特斯公式4422(4)(4)(4)(4)()()()18021()()()18022()()nnnnbahR SISfbahR SIffSf 有即：21612.1515nnnCSS数计学院数值计算课程建设组QAB2023-2-23例3、用加速公式加工例2得到的梯形值，计算结果如：kT2kS2k-1C2k-2R2k-301230.92073550.93979330.94451350.94569090.94614590.94608690.94608830.94608300.9460831 0.9460831重复同样的操作，可进一步得到龙贝格（Romberg)公式：26416363nnnRCC26413.6363nnnRCC数计学院数值计算课程建设组QAB2023-2-23三、理查森外推加速法三、理查森外推加速法2()()12nnbaRfIThf 24212()()24162llhhhhTI设 ，则有24212()llThIhhh其中系数l与h无关。(),f xCa b定理定理4 4记Tn=T(h)，则T2n=T(h/2)2224212()()12(h)nllbaT hTIhfIIhhh 数计学院数值计算课程建设组QAB2023-2-231464124()()2()3(h)hTT hT hIhhI 同理由46112()()2162hhhTI 可得：1216168216()()2()15()hTIhThThIhh 如此下去，每加速一次，误差的量级便提高2阶。数计学院数值计算课程建设组QAB2023-2-23一般地：0112(1)2(2)2(1)12()()4()()2()41()mmmmmmmmT hT hhTThThIhhIh 上述处理方法称为理查森外推加速法。m=1,2,表示加速次数数计学院数值计算课程建设组QAB2023-2-23设 表示二分次后求得的梯形值：(1)()()11441mkkkmmmmTTT计算步骤：计算步骤：k表示二分次数，m表示加速次数()0kT表示表示序列 的m次加速值。()kmT()0kT则：(0)0()00(1)()()11(0)(0)1()()2()2441|kkmkkkmmmmkkhTf af bbaTTTTTTT数计学院数值计算课程建设组QAB2023-2-2322201()sin,cSada(2)/2,()/2.aR HhcHh例如例如:地球卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是地球卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是这里这里a a是椭圆的半径轴，是椭圆的半径轴，c c是地球中心与轨道中心（椭圆中心）是地球中心与轨道中心（椭圆中心）的距离，记的距离，记h h为近地点距离，为近地点距离，H H为远地点距离，为远地点距离，R=6371R=6371（kmkm）为）为地球半径，则地球半径，则 我国第一颗地球卫星近地点距离我国第一颗地球卫星近地点距离h=439(km)h=439(km)，远地点距离，远地点距离H=2384(kmH=2384(km）。试求卫星轨道的周长误差不超过）。试求卫星轨道的周长误差不超过10-510-5。数计学院数值计算课程建设组QAB2023-2-231.56464648708()ISkm01.56464011.5646461.56464821.5646461.5646461.564646即人造卫星轨道的周长为即人造卫星轨道的周长为48708km2022(2)/27782.5()/2972.51()s4inaRHhcHhSadca6371,439,2384RhH从而有从而有解：解：k()0kT()1kT()2kT数计学院数值计算课程建设组QAB2023-2-235 5 高斯求积公式高斯求积公式 bankkkxfAdxxfx0)()()(定义：定义：若一组节点若一组节点 x0 xn a,b,是使插值型求积公式是使插值型求积公式具有具有2n+1次代数精度。这样的节点称为次代数精度。这样的节点称为Gauss 点点，Ak称为称为Gauss系数，系数，求积公式称为求积公式称为Gauss 型求积公式型求积公式。一、高斯求积的一般理论一、高斯求积的一般理论节点节点 x0 xn 以及系数以及系数 A0 An 都作为待定系数。都作为待定系数。要使求积公式具有要使求积公式具有2n+1 次代数精度，令次代数精度，令 f(x)=1,x,x2,x2n+1 代入求积公式精确成立，解出代入求积公式精确成立，解出xk和和 Ak.数计学院数值计算课程建设组QAB2023-2-23例：例：求求 的的 2 点点 Gauss 公式。公式。dxxfx)(10 解：解：设设 ，应有，应有 3 次代数精度。次代数精度。101100)()()(xfAxfAdxxfx代入代入 f(x)=1,x,x2,x3 31130092211200721100521032xAxAxAxAxAxAAA2776.03891.02899.08212.01010 AAxx不是线性方程组，不是线性方程组，不易求解。不易求解。从求积过程知需求解非线性方程组，可以利用正交多项式从求积过程知需求解非线性方程组，可以利用正交多项式的特性来构造求积公式。的特性来构造求积公式。数计学院数值计算课程建设组QAB2023-2-23证明：证明：“”x0 xn 为为 Gauss 点点,则公式则公式 至少有至少有 2n+1 次代数精度。次代数精度。bankkkxfAdxxfx0)()()(对任意次数对任意次数不大于不大于n 的多项式的多项式 P(x)，P(x)wn+1(x)的次的次数数不大于不大于2n+1，则代入公式应则代入公式应精确成立精确成立：110()()()()()nbnkknkakx P x wx dxA P xwx0=0“”要证明要证明 x0 xn 为为 Gauss 点，即要证公式对任意次点，即要证公式对任意次数数不大于不大于2n+1 的多项式的多项式 f(x)精确成立，即证明：精确成立，即证明：0()()()nbkkakx f x dxA f x设设1()()()()nf xwx P xq x1()()()()()()()bbbnaaax f x dxx wx P x dxx q x dx00()nkkkA q x0()nkkkA f x x0 xn 为为 Gauss 点点 与任意次数与任意次数不大于不大于n 的多项式的多项式 P(x)（带权）正交（带权）正交。即。即10()()nnkkwxxx定理定理1()()()0bnax P x wx dx求积公式是插值型数计学院数值计算课程建设组QAB2023-2-230()njkjkjjkxxlxxx由 Gauss求积公式的求积系数求积公式的求积系数Ak(k=0,1,n)全为正全为正。定理定理证明：证明：是n次多项式，所以2kl为2n次多项式，故高斯求积公式对其能准确成立，即有：2200()()()nbkikikailxx d xA lxA证毕。高斯求积公式是稳定的。推论推论定理定理设则高斯求积公式是收敛的，即有0lim()()()nbiianiA fxfxx dx 2(),f xCa b数计学院数值计算课程建设组QAB2023-2-23以以勒让德多项式勒让德多项式Pn+1(x)的根就是求积公式的的根就是求积公式的Gauss点，相应点，相应的求积公式称为的求积公式称为Gauss-Legendre 公式公式。若取若取P2(x)=1/2(3x2-1)的两个零点的两个零点 做节点构造求积公式做节点构造求积公式13101111()()()33fx dxA fA f二、高斯二、高斯-勒让德求积公式勒让德求积公式两点高斯两点高斯-勒让德求积公式勒让德求积公式(n=1)一点高斯一点高斯-勒让德求积公式（勒让德求积公式（n=0)11()2(0)fx dxf若取若取P1(x)=x的零点的零点x0=0做节点构造求积公式做节点构造求积公式令其对令其对f(x)=1 准确成立，则有：准确成立，则有：A0=2。得到得到一点高斯一点高斯-勒让德求积公式勒让德求积公式101()(0)f x dxA f数计学院数值计算课程建设组QAB2023-2-23令其对令其对f(x)=1,x都能准确成立，则有都能准确成立，则有01012;110.33AAAA解得解得A0=1,A1=1,从而得到两点高斯从而得到两点高斯-勒让德求积公式。勒让德求积公式。1111()()()33fx dxff同理可以求得同理可以求得三点高斯三点高斯-勒让德求积公式勒让德求积公式如下：如下：115158515()()(0)()95995fx dxfff高斯高斯-勒让德求积公式节点和系数见书中表勒让德求积公式节点和系数见书中表4-74-7。数计学院数值计算课程建设组QAB2023-2-23例例6:用用4点高斯点高斯-勒让德求积公式计算：勒让德求积公式计算：220cosxxdx解解:先将区间先将区间0，/2化为化为-1,1，有：，有：1321()(1)c o s(1)44ttd t再由表再由表4-74-7中中n=3的节点及系数值可以求得的节点及系数值可以求得：30()0.3478548 (0.8611363)(0.8611363)0.6521452 (0.3399810)(0.3399810)0.467402kkkIA f xffff对于一般区间对于一般区间a,b应用高斯求积公式时，先用变量置换：应用高斯求积公式时，先用变量置换：将它转变为将它转变为-1,1上的积分上的积分.22babaxt11()()222babababaf x dxftdt数计学院数值计算课程建设组QAB2023-2-236 数值微分数值微分一、中点方法与误差分析一、中点方法与误差分析23(4)()()()()()()2!3!4!()f ahf ahhhfafRafafahh()()()()f af ahfahRh 24(5)2()()()()()2()5)!(3!f ahf ahhhfRhGfhaafah 其中h称为步长。中点方法中点方法考查f(ah)在x=a处的泰勒公式：2345(4)(5)()()()()()()()2!3!4!5!hhhhf ahf ahfafafafafa按导数定义可以用差商近似导数，如下：数计学院数值计算课程建设组QAB2023-2-23所以中点公式有：245()()()()3!5!hhG hfafafa则有 其中2()(),6hfaG hM1.从截断误差的角度看，步长越小，计算结果越精确。2.从舍入误差上来看，由于当h很小时，f(a+h)与f(a-h)很接 近，所以在中点公式中，出现了两个接近的数相减，会造成有效数字的损失，所以步长h又不能太小。例如，用中点公式求()f xx在x=2处的一阶导数。计算结果如书中表4-8,显然在步长为时逼近效果最好，因为当f(a+h)及f(a-h)分别有舍入误差12、时，f(a)的舍入误差上限为12()()()2fafaG ahh(说明步长越小则舍入误差越大.max()xahMfx数计学院数值计算课程建设组QAB2023-2-23一般用中点公式计算的误差为：2(),6hE hMh所以步长不宜太小，也不宜太大，最优步长为：33/opthM数计学院数值计算课程建设组QAB2023-2-23二、插值型求导公式二、插值型求导公式用插值多项式来构造数值微分的基本方法：对给定的f(x)的函数表，构造对应的插值多项式Pn(x),再令 去求函数微商。()()nfxPx常用的是在节点处带余项的数值微分公式：(1)1()()()()(1)!nknknkffxPxxn(1)1(1)(1)11()()()()()(1)!()()()()()()(1)!(1)!nnnnnnnnnfRxfxPxxnxfdfxPxxfnndx由于1()0nkx分析分析:(1)1()()()()(1)!nknknkffxPxxn故数计学院数值计算课程建设组QAB2023-2-231、两点公式设两个节点x0,x1处的函数值为：f(x0),f(x1),求f(x0),f(x1)。线性插值公式为011010110()()()xxxxP xf xf xxxxx记h=x1-x0 有1101()()()P xf xf xh1011101()()()()P xP xf xf xh余项：010()()()2hfxPxf111()()()2hfxPxf01,xx20110001110()()()()()()xxxxxxxxxxxxxhxxxh 数计学院数值计算课程建设组QAB2023-2-232、三点公式、三点公式设已知三点x0,x1=x0+h,x2=x0+2h上的函数值f(x0),f(x1),f(x2),求f(x0),f(x1),f(x2)。22001211()()(1)(2)()(2)()(1)()22P xP xthttf xt tf xt tf x对t求导可得：200121()(23)()(44)()(21)()2Pxthtfxtfxtfxh2001122()()()()()()()P xl x f xl x f xl x f x令001=01()kkkhxxkxxthxxkh ，由故令t=0,1,2，便得到三节点处的导数：200121()3()4()()2Pxfxfxfxh21021()()()2Pxfxfxh220121()()4()3()2Pxfxfxfxh余项：02,xx222()3()6()3hfhfhf数计学院数值计算课程建设组QAB2023-2-23同理可以得到多点插值求导公式，也可以同理可以得到多点插值求导公式，也可以用插值函数求高阶导数。用插值函数求高阶导数。例如：已知函数y=f(x)的数值如下表：x1.01.11.21.31.4f(x)0.25000.22680.2.660.18900.1736用三点数值微分公式求f(1.0),f(1.1),f(1.2)解：取x0=1.0,x1=1.1,x2=1.2,h=0.1,则:1(1.0)3(1.0)4(1.1)(1.2)0.247020.11(1.1)(1.0)(1.2)0.217020.11(1.2)(1.0)4(1.1)3(1.2)0.187020.1fffffffffff 数计学院数值计算课程建设组QAB2023-2-23三、利用数值积分求导三、利用数值积分求导设f(x)是一个充分光滑的函数，,xk=a+kh,k=0,1,nbahn则有则有1111()()()kkxkkxf xf xx dx用中矩形公式计算用中矩形公式计算11()kkxxx dx得到得到113111()2()(2)(),(,)24kkxkkkkkxx dxhxhxx 即即xk的微分为的微分为211()()1()()()26kkkkkf xf xfxxh fh中点微分公式中点微分公式用辛普森公式计算用辛普森公式计算11()kkxxx dx得到得到115(4)112()()4()()()690kkxkkkkxhhx dxxxx()()fxx数计学院数值计算课程建设组QAB2023-2-23若若m0=f(x0),mn=f(xn)已知，则可得方程组：已知，则可得方程组：n+1个未知数个未知数n-1个方程个方程2001312213113()()()413()()1411413()()413()()()nnnnnnnf xf xfxhmf xf xmhmf xf xhmf xf xfxh若两个端点的导数不知道，可以用若两个端点的导数不知道，可以用中点微分公式的近似值代替。中点微分公式的近似值代替。202111111()()()()()(),()()22nnnnnf xf xf xf xmxf xmxf xhh用用mk表示表示 ,并略去余项可得并略去余项可得111134()(),1,2,1kkkkkmmmf xf xknh()()kkxfx数计学院数值计算课程建设组QAB2023-2-23例例8 给定给定 ()f xx如下表，并给定了如下表，并给定了f(100)及及f(105)的值的值，利用辛普生数值微分公式求利用辛普生数值微分公式求f(x)在在x=101,102,103,104点的导数点的导数值。值。kxkf(xk)f(xk)0100100.05110110.04987562210210.09950494310310.14889157410410.19803903510510.246950770.048795003计算过程计算过程1410.248514821410.2970478521410.295602273140.2453825974mmmm解方程组可求出：解方程组可求出：