无穷小和无穷大

无穷小与无穷大一、无穷小与无穷大的定义二、无穷小的性质三、无穷小阶的比较四、无穷大与无穷小的关系一、无穷小与无穷大的定义一、无穷小与无穷大的定义1.无穷小(infinitesimal)的定义简言之简言之,极限为零的变量称为无穷小极限为零的变量称为无穷小.定义定义1 1.)()(,)()(00时的无穷小时的无穷小或或为当为当那么称函数那么称函数的极限为零的极限为零时时或或当当如果函数如果函数 xxxxfxxxxf.,的的无无穷穷小小时时称称为为以以零零为为极极限限的的数数列列特特殊殊地地 nxn例如例如,0sinlim0 xx;0sin时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数xx,01lim xx;1时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数 xx,0)1(lim nnn.)1(时的无穷小时的无穷小是当是当数列数列 nnn注意注意1.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数.简言之简言之,绝对值无限增大的变量称为无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.定义定义2.)()(,)()(),(0 ),(,)().()(000的无穷大的无穷大时时或或为当为当则称则称总满足不等式总满足不等式对应的函数值对应的函数值或或适合不等式适合不等式只要只要或正数或正数总存在正数总存在正数不论它多么大不论它多么大意给定的正数意给定的正数如果对于任如果对于任大于某一正数时有定义大于某一正数时有定义或或定义定义的某一去心邻域内有的某一去心邻域内有在在设函数设函数 xxxxfMxfxfXxxxxXMxxxf 2.无穷大(infinity)的定义函数的极限是无穷大函数的极限是无穷大,.)(lim)(0 xfxxx记记为为 Mxf)(,)(Mxf,)(Mxf )(lim)(0 xfxxx )(lim)(0 xfxxx注意注意1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;3.无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变但是无界变量未必是无穷大量未必是无穷大.)(lim.20认认为为极极限限存存在在切切勿勿将将 xfxx.,1sin1 ,0 :但但不不是是无无穷穷大大界界变变量量是是一一个个无无函函数数时时当当证证明明xxyx),3,2,1,0(221)1(nnxn取取 1sin1)(nnnxxxy 则则 ,充分大时充分大时当当n函数函数 y 无界无界.例例1证证 2211sin2211 nn ,22 n .)(Mxyn),3,2,1,0(21)2(kkxk取取.0M 函数函数 y 不是无穷大不是无穷大.xxy1sin1 2sin2kk 1sin1)(kkkxxxy 则则例例2).(,)()(,下列结论正确的是下列结论正确的是时时则当则当都是无穷大量都是无穷大量和和时时设设xxgxfx )()(.是无穷大量；是无穷大量；xgxfA;0)()()()(.xgxfxgxfC;1)()(.xfxgB 0.)()(.xgxfD)()()()(limxgxfxgxfx )(1lim)(1limxfxgxx .0 解解.C正正确确答答案案为为.11lim1 xx证证明明证证.0 M,11Mx 要使要使,11Mx 只要只要,1M 取取,110时时当当Mx .11Mx 就有就有11 xy例例3.11lim1 xx故故线线为函数图形的铅直渐近为函数图形的铅直渐近1 x例例4 4.1 )(,1 )(:.41,11,10,0)(0时的无穷大时的无穷大不是当不是当但函数但函数的的的任何邻域内都是无界的任何邻域内都是无界在点在点函数函数证明证明设函数设函数 xxfxxfxxxxf证证,0 M11lim)(lim 11 xxfxx因因为为,0 1 所所以以,11 1时时当当 x.)(Mxf.1 )(0的的的任何邻域内都是无界的任何邻域内都是无界在点在点故故 xxf,0)(lim 1 xfx又因为又因为,0 M所所以以,02 ,11 2时时当当 x.)(Mxf .1 )(时时的的无无穷穷大大不不是是当当因因此此函函数数xxf二、无穷小的性质二、无穷小的性质1.无穷小与函数极限的关系证证 必要性必要性,)(lim0Axfxx 设设.,)()(,)(0是是无无穷穷小小其其中中件件是是的的充充分分必必要要条条具具有有极极限限函函数数中中或或程程在在自自变变量量的的同同一一变变化化过过 AxfAxfxxx,0 则则,0 ,0 0时时使得当使得当 xx.)(Axf,)(Axf 令令 ,0时时的的无无穷穷小小是是则则xx .)(Axf所所以以定理定理1充分性充分性,)(Axf设设 ,0时时的的无无穷穷小小是是是是常常数数其其中中xxA.)(lim0Axfxx 则则,)(Axf于于是是 ,0时的无穷小时的无穷小是是因为因为xx ,0 则则,0 ,0 0时时使得当使得当 xx.)(Axf .的情况的情况类似地可以证明类似地可以证明 x定理定理2 有限个无穷小的和也是无穷小有限个无穷小的和也是无穷小.证证,0时时的的两两个个无无穷穷小小是是当当及及设设xx ,02 ,01 ,010时时当当 xx;2 恒有恒有,min21 取取 22 ,).(0 xx 是是无无穷穷小小所所以以 ;2 恒有恒有,02 ,02 ,020时时当当 xx,00时时当当 xx)(仍成立仍成立 x2.无穷小的运算定理定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证证,),(10内有界内有界在在设函数设函数 xUuo,0 M即即,0时时的的无无穷穷小小是是当当又又设设xx ,0 所所以以.),(10都都成成立立对对一一切切使使 xUxMuo ,02 ,),(20时时使使得得当当 xUxo.M 恒有恒有,min21 取取 uu 所所以以MM ,.,0为无穷小为无穷小时时当当故故 uxx ,),(0时时使使得得当当 xUxo ,同时成立同时成立和和MMu 推论推论1常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.三、无穷小阶的比较三、无穷小阶的比较实例实例.1sin sin 22xxxxx，观察函数观察函数.1sin ,sin ,022都是无穷小都是无穷小时时当当xxxxxx 问题问题:它们的商是什么它们的商是什么?xxx20lim,0 xxxsinlim0,1 2201sinlimxxxxxx1sinlim0.不存在不存在20sinlimxxx,极限不同极限不同,反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.;0 0,0 2快快比比的过程中的过程中在在xxx;0 0sin快慢相仿快慢相仿与与xx ;0 0 2慢慢比比反反过过来来xx .0 01sin22的的快快慢慢不不可可比比与与xxx为此为此,即有下面无穷小的阶的比较的定义即有下面无穷小的阶的比较的定义.0,且且穷小穷小是同一过程中的两个无是同一过程中的两个无设设);(,0lim o 记作记作高阶的无穷小高阶的无穷小是比是比就说就说如果如果 ;,lim低低阶阶的的无无穷穷小小是是比比就就说说如如果果 ;,0lim是是同同阶阶无无穷穷小小与与就就说说如如果果 c.,0,0lim阶阶无无穷穷小小的的是是关关于于就就说说如如果果kkck .,1lim 记记作作是是等等价价无无穷穷小小与与就就说说如如果果 等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形.关于等价无穷小的定理关于等价无穷小的定理定理定理 1).(o 要条件为要条件为是等价无穷小的充分必是等价无穷小的充分必与与证证必要性必要性 ,设设 lim 则则 1lim 1lim ,0 ,)(o 所以所以 .)(o 即即充分性充分性 ,)(o 设设 lim 则则 )(limo )(1limo,1 .所以所以.limlim ,lim ,则则存在存在且且设设证证 lim lim limlimlim.lim 定理定理2四、无穷大与无穷小的关系四、无穷大与无穷小的关系.)(1 0,)(,)(,;)(1 ,)(,为无穷大为无穷大则则且且无穷小无穷小为为如果如果反之反之为无穷小为无穷小则则为无穷大为无穷大如果如果程中程中在自变量的同一变化过在自变量的同一变化过xfxfxfxfxf 证证.)(lim0 xfxx设设,0 根据无穷大的定义根据无穷大的定义,1 M对于对于定理定理 3,)(1 xf即即 .)(1,0为无穷小为无穷小时时所以当所以当xfxx,1)(Mxf恒恒有有.0)(,0)(lim,0 xfxfxx且且设设反反之之,0 M,0)(xf由于由于,0 ,1 M 对于对于,00时时使使得得当当 xx,1)(Mxf 恒有恒有,00时时使使得得当当 xx,0 (1)定理定理2 的意义在于关于无穷大的讨论的意义在于关于无穷大的讨论,都可都可归结为关于无穷小的讨论归结为关于无穷小的讨论.关于定理关于定理2的说明的说明:.2,(2)仍成立仍成立定理定理时时当当 x.)(1Mxf 从而从而 .)(1,0为无穷大为无穷大时时所以当所以当xfxx 常用等价无穷小:,0时时当当 x).1,0(ln1,111,21cos1,1e,)1ln(,arctan,tan,arcsin,sin2 aaaxaxnxxxxxxxxxxxxxxxnx用等价无穷小可给出函数的近似表达式用等价无穷小可给出函数的近似表达式:例如例如,),(sinxoxx ).(211cos22xoxx