复变函数 小结[章节练习]

复变函数 小结第一章一、 复数基本概念及其运算1. 复数：， （2）共轭复数：，记作：。性质：； ；“”可以是：“”；， （3）复数的模、主辐角、辐角, 2. 复数的表示代数表示：复数向量点；三角表示： 指数表示：.注：是的模，是的任意一个辐角。3. 复数的运算四则运算：设有，两个复数：； ； ；乘幂与方根（利用指数表示、三角表示）设有复数，则; （）Note： ；三、复变函数及其运算1. 复变函数：。几何意义：把平面上的一个点集 平面的一个点集。与实变函数的关系：设，则可以写成： 第二章 一、复变函数的导数与微分1. 定义：，=； 或记作.2求导法则：四则运算、 复合函数求导、反函数求导与一元函数相同；3. 微分：；二、解析函数1.定义：如果函数在点以及点的邻域内处处可导，则称在点解析；2.判别解析函数的方法（1）定义：=（2）Cauchy-Riemann 方程：函数在点处可导 ，在点处可微，且满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann )方程：，注：解析函数求导公式：；（3）解析函数的性质：在区域 D 内解析，则在区域 D 内也解析；复合函数 在 D 内解析；的反函数在值域内解析，且。3. 解析函数的构造问题：已知实部函数，求虚部 (或者已知虚部 v，求实部 u )，使得解析，且满足指定的条件。方法1：偏积分 =由=，方法2：第二类曲线积分：由 其中，或；二、 初等函数1. 指数函数：注：整个复平面解析；2. 对数函数：注：各分支在除去原点及负实轴的复平面内连续、解析；3. 幂函数：规定注：，处处解析；，（除原点）处处解析有理数+无理数，除去原点及负实轴的复平面内解析、多值；4. 三角函数：；注：整个复平面解析；导数公式与实变一样；第三章一、复变函数的积分的基本概念、性质1.定义 = 注：表示沿闭曲线C的正方向（逆时针）积分；2.复积分的性质；二、复积分的计算1. 在内不一定解析：设曲线，则 ，其中，注：重要的结论：，（曲线包含）；2. 在单连通域内解析：（1）C为D内的任意一条简单闭曲线，则（2）C为D内的任意一条简单曲线，则（3）在单连通域D内解析，D内闭曲线C包含，则， 3. 在多连通域内解析：注：为逆时针方向；第四章 一、复数项级数 （其余的概念及性质类似）1.复数列：，其中；Note：收敛，2. 敛散性的判别：（1）实部、虚部都收敛；（2），则发散；（3）若收敛，则称绝对收敛。（模）（4）若发散，收敛，则称条件收敛。二、复变函数项级数 （其余的概念及性质类似）1.收敛域：标准型收敛圆半径： 一般型2.和函数：借助基本展式，通过变形（求导、积分、拆项）求和。三、将函数展成泰勒、洛朗级数（1）根据奇点的个数，将复平面分为几个解析环；（2）根据所借助解析环的范围，将函数变形（拆项、逐项求导、逐项求积），借助，展开。第五章 留数一、孤立奇点可去奇点：； 阶极点：； note：该条件只能判断是极点； （有限值），则为的阶极点本性奇点：不存在，且不为；二、留数1. 留数：设为函数的孤立奇点，将在的去心邻域内展成洛朗级数： 称 在的留数。记作：，其中，C 是的去心邻域内绕的一条简单闭曲线。 注：2. 留数的计算方法（1）若为的可去奇点，则；（2）若为的1阶极点，若为的阶极点，则；（第三章）（3）由洛朗展式取。（本性奇点）我们在计算的时候要灵活选择方法，不要拘泥于一种方法。三、留数在实定积分计算中的应用1. 形如的积分 方法：（1）令，则 ， （2）原式=2. 形如，的积分说明：（1），为多项式；（2）分母的次数比分子的次数至少高二次（高一次）； （3）分母无实根。 方法：注：包含所有上半复平面内的奇点的闭曲线，是在上半平面内的孤立奇点。 方法：其中，是在上半平面内的孤立奇点。 Note：+ 第七章 Fourier变换1.定义： Fourier 正变换： F Fourier逆变换： F 2.性质： FF F F F F F F 3. 函数； ；F ； F ； F ；F ； F ；第八章Laplace变换1.定义：Laplace变换： L 2.性质： FL L L L L L L 3. 常用的Laplace变换L ； L ； L ；L ； L ； L 8随堂章节