连续时间系统的时域分析卷积法

二、卷积法二、卷积法0 00 )1(23ttet0)()()()(01)1(1)(tratratratrnnn)()1(23tuet用 表示。系统的初始状态为 ，例例1 已知某线性时不变连续系统的动态方程式为：()klhtA B将 代 入 微 分 方 程，使 方 程 两 边 平 衡，确 定 系 数，(0)1,(0)3rr求系统的零输入响应 。)()()(1t ueAt htnkkk解：解：系统的特征方程为系统的特征根为3()2e()th tu t333e()3e()3e()2()tttAt A ut A utt)(2)(3)(tthdttdh30()2 edtgtzi12(0)(0)1rrAAzi12(0)(0)233rrAA 解得)()(tte23zi()6e5e,0ttr tt)(2)(3)(tthdttdh)()(3tuAetht系统的初始状态为 ，例例2 已知某线性时不变连续系统的动态方程式为：(0)2,(0)1rr 求系统的零输入响应 。)()()(1t ueAt htnkkk解：解：系统的特征方程为系统的特征根为0tnm由 于后，方 程 右 端 为 零，故 时zi1(0)(0)2rrAzi12(0)(0)21rrAA 解得,mn 22zi()2e3 e,0ttr ttt（两相等实根）zi12()e(cos2sin2)tr tAtAt系统的初始状态为 ，例例3 已知某线性时不变连续系统的动态方程式为：(0)1,(0)3rr求系统的零输入响应 。)()()(1t ueAt htnkkk解：解：系统的特征方程为系统的特征根为3B 2 5()()()i te tt对例 所示电路，求电流对激励的冲激响应。zi1(0)(0)1rrAzi12(0)(0)23rrAA 解得zi()e(cos22sin2),0tr tttt2 系统的零状态响应)(tg22d d()7()1 0()()6()4()d dh t h th t t t tt t )(tg(0)(0)hh用冲激函数匹配法求和卷积法求解系统零状态响应 的思路)(tg22d d()7()1 0()()6()4()d dh t h th t t t tt t )(tgtftf()(22(0)(0)hh用冲激函数匹配法求和卷积法求解系统零状态响应 的推导)(tg)(2f)(1tf)(2tft零状态响应 。例例4已知某LTI系统的动态方程式为dtfftftftf)()()()()(2121系统的冲激响应试求系统的)(tg解：解：3(3()2(tueu td tf(2连续时间系统的单位冲激响应连续时间系统的单位冲激响应)(2f连续时间系统的单位冲激响应的定义连续时间系统的单位冲激响应的定义冲激平衡法求系统的单位冲激响应冲激平衡法求系统的单位冲激响应例例1 已知某线性时不变连续系统的动态方程式为：试求系统的单位冲激响应。解：解：当 时，即NoImage解得NoImage例例2 已知某线性时不变连续系统的动态方程式为：2试求系统的单位冲激响应。解：解：当 时，即1且故 的形式为动态方程式的特征根)(th)()()(tRtutuNoImage解得NoImageNoImage(1)12()()f tft例29解：NoImage系统冲激响应h(t)，满足方程()(1)(2)(3)Rt RtRtRt 1tx()()()()()()()()()()()()h tatbtctd u th tatbtc u th tatb u t 它的奇次解形式为2512()(0)tth tAeA et代入方程NoImage得NoImageNoImageNoImage代入h(t)NoImageNoImageNoImageNoImage冲激平衡法小结冲激平衡法小结)(3)(2)(6)(ttthdttdh连续系统的阶跃响应连续系统的阶跃响应1 1 2 2 11 22()()()()()()fttftt ft tt ft tt 1()fata11221221 1 2 ()()()()()fttfttfttfttfttt 则例例3求例1所示系统的单位阶跃响应 。12 2 1()()()()ftfttttt 解：解：)(tf例1系统的单位冲激响应为：利用单位冲激响应和单位阶跃响应的关系，可得：0卷积积分的计算和性质1212()()()()df atf atf af a t11221122()()()()df t tf t tft f t t 1221()()fttfttax一、卷积积分的计算12d()()ddfftt)()()(thtfty1）将 和 中的自变量由 和 ，成为函数的自变量；26BA()()()(1)()(2)(1)(2)ut ut ut ut ut ut ut ut 1 2d()()ddfftt 12()fttt2）把其中一个信号翻转、平移；()(1)()(2)u tu t u tu t 12()()f tttt翻转翻转平移平移()()()(1)()(2)(1)(2)ut ut ut ut ut ut ut ut 3）将 与 相乘；对乘积后的图形积分。12d()()dft ftt例例1 计算例例2 计算)()(21t ft fdtddttdftf)()(21)()(21tfdttdfdfft)(21()()()(1)()(2)(1)(2)ut ut ut ut ut ut ut ut dft ft)()(21)(t R)(t R)()()(21t f t f t s()()()(1)()(2)(1)(2)ut ut ut ut ut ut ut ut )()()(21t f t f t s)(t R d f t ft )()(12NoImage二、卷积的性质二、卷积的性质)(2)(e3)(edd33ttuAtuAttt)(2)(e3ttAt)(3)(2 )(6)(e6)()(e6)(e666tttBt uAtBt uAtAttt)(3)(2)(6)()(e6tttBtBtAtNoImageNoImageNoImage()()()ytf t ht(0)(0)1(0)(0)1hbhhch 位移特性证明：展缩特性证明：124313AA111abc 1221()()df xf tttxx121 2()()()t tt tt t t 12121251AAAA121()()df xfatxxa2 541()()ee()33t th ttu t 12121()()d 01()()d 0f xf atxxaaf xf atxxaa二、卷积的性质二、卷积的性质6）微分特性NoImageNoImageNoImage7）积分特性NoImageNoImageNoImage推广导高阶导数或多重积分设NoImage则有NoImageNoImageNoImageNoImageNoImage微分特性证明：(1)21()()f tft12()()d dttff NoImage同理NoImageNoImage积分特性证明：NoImageNoImageNoImageNoImageNoImage同理NoImage计算 。例：利用位移特性及 ，)()()()(2)(1)(tftftsjiji12()()ddttffdft ft)()(21)(t R)(t R)()()(21t f t f t s(1)12()()ft f t)()()(21t f t f t s)(t R d f t ft )()(121767104abacba(1)21()()ftft()()()()()kkfttftNoImage三、奇异信号的卷积三、奇异信号的卷积()()()()d ()()d()f ttftftf t NoImageNoImageNoImageNoImage1)延迟特性NoImage)(4)(dd6)(dd)(10)(dd7)(dd2222tetettettitittit证明：证明：NoImage1()()ahta t因 为，即 中 有 一 项()()()()7()()()10()()()6()4()atbtctdu tatbtcu tatbu tttt1212()()()f t tt tf t t t NoImage三、奇异信号的卷积三、奇异信号的卷积00()()()()df tt tft t 0()ftt12 ()()()f tf tf t已 知112212()()f t tf t tf t t t 则12()f ttt 121()()()fatfatfata1221()()()()f tt tf tt t NoImageNoImage()()00()()()kkftttfttNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImage例3NoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImage