《解析函数的概念》PPT课件

1第二章 解析函数 第二章第二章 解析函数解析函数2.2 解析函数和调和函数的关系解析函数和调和函数的关系2.1 解析函数的概念解析函数的概念2.3 初等函数初等函数2第二章 解析函数 2.1 解析函数的概念 2.1 解析函数的概念解析函数的概念一、导数与微分一、导数与微分 二、解析函数二、解析函数 三、柯西三、柯西-黎曼方程黎曼方程 3第二章 解析函数 2.1 解析函数的概念 一、导数与微分一、导数与微分1.复变函数的导数复变函数的导数zwz 0limzzfzzfz )()(lim000则称则称 在在 处处可导可导，)(zf0z设函数设函数 在在 点的某邻域内有定义，点的某邻域内有定义，)(zfw 0z定义定义zz 0是是0z,)()(00zfzzfw 的邻域内的任意一点，的邻域内的任意一点，如果如果存在有限的极限值存在有限的极限值 A，且称且称 A为为 在在 处的处的导数导数，)(zf0z.)(0zf 记作记作 如果函数如果函数 在区域在区域 D 内的每一点都可导，内的每一点都可导，)(zf在在 D 内可导内可导，此时即得，此时即得 的的导导(函函)数数)(zf.)(zf )(zf则称则称 P30定义定义 2.1 4第二章 解析函数 2.1 解析函数的概念 一、导数与微分一、导数与微分2.复变函数的微分复变函数的微分则称则称 在在 处处可微可微，)(zfz设函数设函数 在在 点的某邻域内有定义，点的某邻域内有定义，)(zfw zzz z定义定义是是的邻域内的任意一点，的邻域内的任意一点，若若 在区域在区域 D 内处处可微，则称内处处可微，则称 在在 D 内可微内可微。)(zf)(zf如果存在如果存在 A，使得，使得,)|()()(zozAzfzzfw 记作记作zA.dzAw 为为微分微分，特别地，有特别地，有.dzz zzfw )(考虑函数考虑函数 即可即可)导数反映的是导数反映的是“变化率变化率”；而微分更能体现；而微分更能体现“逼近逼近”的思想。的思想。.ddzAw P30 补补 5第二章 解析函数 2.1 解析函数的概念 一、导数与微分一、导数与微分3.可导与可微以及连续之间的关系可导与可微以及连续之间的关系(1)可导可导 可微可微如果如果可导可导)(lim0zfzwz 0)(lim0 zzzfwz)|()(zozzfw 可微可微；如果如果可微可微)(lim0zfAzwz 可导可导。)|(zozAw zzoAzw )|(由此可得由此可得zzfwd)(d .dd)(zwzf 即即6第二章 解析函数 2.1 解析函数的概念 一、导数与微分一、导数与微分3.可导与可微以及连续之间的关系可导与可微以及连续之间的关系(1)可导可导 可微可微(2)可导可导 连续连续如果如果可导可导可微可微)|(zozAw 0lim0 wz连续连续。由此可见，上述结论与一元实函数是一样的。由此可见，上述结论与一元实函数是一样的。对二元实函数：对二元实函数：偏导数存在偏导数存在 可微可微 偏导数连续偏导数连续。7第二章 解析函数 2.1 解析函数的概念 ,2z zzzzz 220)(limzzzzz 20)(2lim)2(lim0zzz 解解zzfzzfz )()(lim0(1)由由(n 为正整数为正整数)；,)(1 nnznz同理可得同理可得.2)()(2zzzf 得得,0)(C(C 为复常数为复常数)。8第二章 解析函数 2.1 解析函数的概念 解解zzzzz 11lim0)(1lim0zzzz .12z zzfzzfz )()(lim0(2)由由.11)(2)(zzzf 得得9第二章 解析函数 2.1 解析函数的概念 一、导数与微分一、导数与微分4.求导法则求导法则;)()()()(zgzfzgzf ;)()()()()()(zgzfzgzfzgzf ,)()()()()()()(2zgzgzfzgzfzgzf .)0)(zg(1)四则运算法则四则运算法则P32 10第二章 解析函数 2.1 解析函数的概念 一、导数与微分一、导数与微分4.求导法则求导法则(1)四则运算法则四则运算法则.)()()(zgzgfzgf .)(1)(1)()(wfzfwwz (2)复合函数的求导法则复合函数的求导法则(3)反函数的求导法则反函数的求导法则其中，其中，与与 是两个互为反函数的单值是两个互为反函数的单值)(wz )(zfw .0)(zf函数，且函数，且11第二章 解析函数 2.1 解析函数的概念 二、解析函数二、解析函数则称则称 在在 点解析点解析；)(zf0z(1)如果函数如果函数 在在 点点以及以及 点的邻域内点的邻域内处处可导，处处可导，)(zf0z0z定义定义(2)如果函数如果函数 在区域在区域 D 内的每一点解析，内的每一点解析，)(zf则称则称)(zf或者称或者称 是是 D 内的内的解析函数解析函数。在在区域区域 D 内解析内解析，)(zf奇点奇点则称则称 为为 的的奇点奇点。如果函数如果函数 在在 点不解析，点不解析，)(zf0z0z)(zf(2)区域可导区域可导 区域解析。区域解析。关系关系(1)点可导点可导 点解析；点解析；P31定义定义 2.2 (解析函数的由来解析函数的由来)12第二章 解析函数 2.1 解析函数的概念 二、解析函数二、解析函数性质性质(1)在区域在区域 D 内解析的两个函数内解析的两个函数 与与 的和、的和、差、积、商差、积、商(除去分母为零的点除去分母为零的点)在在 D 内解析。内解析。)(zf)(zg(2)如果函数如果函数 在在 z 平面上的区域平面上的区域 D 内解析，内解析，)(zg 则复合函数则复合函数 在在 D 内解析。内解析。)(gfw 函数函数 在在 平面上的区域平面上的区域 G 内解析，内解析，)(fw 且对且对 D 内的每一点内的每一点 z，函数，函数 的值都属于的值都属于 G，)(zgP32 13第二章 解析函数 2.1 解析函数的概念 由函数由函数 的解析性以及的解析性以及nz又方程又方程 的根是的根是014)(2 zzQ,21 z)(zf 2)()()()()(zQzQzPzQzP .)14()3(814222 zzzz,3)(zzP,14)(2 zzQ设设解解当当 时，时，0)(zQ)()()(zQzPzf 解析，解析，因此在全平面除去点因此在全平面除去点 的区域内，的区域内，解析。解析。)(zf21 z求导法则可知：求导法则可知：14第二章 解析函数 2.1 解析函数的概念 极限不存在极限不存在(见见1.5)讨论函数讨论函数 的解析性。的解析性。2|)(zzfw 例例zwz 0lim当当 时，时，0 z即即,0lim0 zwz;0)0(f当当 时，时，0 zzwz 0lim不存在。不存在。因此，因此，仅在仅在 点可导，点可导，处处不解析处处不解析。0 z2|)(zzfw zzzzzzzz )()(lim0解解,|)(2zzzzfw )(22yx 由由有有.)(lim0zzzzzz 15第二章 解析函数 2.1 解析函数的概念 讨论函数讨论函数 的解析性。的解析性。yixzfw2)(例例yixyixyyixxyx )2()(2)(lim00解解zwz 0lim,2lim00yixyixyx 当当 时，时，0,0 yx,2lim0 zwz当当 时，时，0,0 xy,1lim0 zwz因此，因此，处处不可导，处处不解析。处处不可导，处处不解析。yixzfw2)(对函数对函数 如何判别其解析性如何判别其解析性？问题问题,),(),()(yxviyxuzf 16第二章 解析函数 2.1 解析函数的概念 三、柯西三、柯西-黎曼方程黎曼方程1.点可导的充要条件点可导的充要条件且满足柯西且满足柯西 黎曼黎曼(Cauchy-Riemann)方程：方程：和和 在点在点 处可微，处可微，),(yxu),(yxv),(yx(简称简称 方程方程)RC ,yvxu .xvyu 函数函数 在点在点 处可导处可导),(),()(yxviyxuzfw 定理定理yixz 的充要条件是：的充要条件是：)(22yxoyBxAu 实二元函数实二元函数 可微的含义可微的含义：),(yxu附附)|(zo.)(22yxoyyuxxu P33定理定理 2.1 17第二章 解析函数 2.1 解析函数的概念 三、柯西三、柯西-黎曼方程黎曼方程1.点可导的充要条件点可导的充要条件证明证明 必要性必要性“”viuzfw )(若若在在 处可导，处可导，yixz ,)|()()(zoyixibaviu 且且,yvxua .xvyub 和和 在点在点 处可微，处可微，),(yxu),(yxv),(yx故故,)(biazf 记记,)|()(zozxfw 则必可微，即则必可微，即由由,viuw yixz 有有,)|(zoybxau ,)|(zoyaxbv 18第二章 解析函数 2.1 解析函数的概念 z 三、柯西三、柯西-黎曼方程黎曼方程1.点可导的充要条件点可导的充要条件证明证明 充分性充分性“”)(zf即即在在 处可微处可微(可导可导)，yixz ,)|()()(zoyixviuviuwxx 若若和和 在点在点 处可微，处可微，),(yxu),(yxv),(yx则则得得,)|(zoyuxuuyx ,)|(zoxvyvvxy ,xyyxvuvu 又由又由和和 满足满足 方程：方程：uvRC ,)|(zoyuxuuyx ,)|(zoxvyvvxy xu xv .)(xxviuzf 且且(跳过跳过?)?)19第二章 解析函数 2.1 解析函数的概念 .)(xvixuzf 求导公式求导公式三、柯西三、柯西-黎曼方程黎曼方程1.点可导的充要条件点可导的充要条件)(zf若若在在 处可导，处可导，yixz 则则yuixu yuiyv .xviyv P34 (关于关于C-R条件条件)20第二章 解析函数 2.1 解析函数的概念 三、柯西三、柯西-黎曼方程黎曼方程2.区域解析的充要条件区域解析的充要条件和和 在区域在区域 D 内可微，内可微，且且),(yxu),(yxv函数函数 在区域在区域 D 内解析的内解析的),(),()(yxviyxuzfw 定理定理充要条件是：充要条件是：满足满足 C R 方程。方程。推论推论在区域在区域 D 内存在且连续，并满足内存在且连续，并满足 C R 方程，方程，),(),()(yxviyxuzfw 在区域在区域 D 内解析。内解析。和和 的四个偏导数的四个偏导数若函数若函数),(yxu),(yxvyxyxvvuu ,则函数则函数 P34定理定理 2.2 P34推论推论 21第二章 解析函数 2.1 解析函数的概念 可知不满足可知不满足 C R 方程，方程，解解 由由zw ,yix 有有,yvxu ,1 yv,0 xv,1 xu,0 yu所以所以 在复平面内处处不可导，在复平面内处处不可导，处处不解析。处处不解析。zw 讨论函数讨论函数 的可导性与解析性。的可导性与解析性。例例zw 22第二章 解析函数 2.1 解析函数的概念 ,)()(3223yyxiyxx ,3223yyxvyxxu 有有,322yxyv ,2 yxxv ,322yxxu ,2 yxyu ,0 yx由由 C R 方程，方程，所以所以 仅在仅在 点可导，点可导，处处不解析处处不解析。zw 2z)0,0(解解 由由zw 2zzz2|讨论函数讨论函数 的可导性与解析性。的可导性与解析性。例例2zzw 23第二章 解析函数 2.1 解析函数的概念 ,2yyv ,0 xv,2xxu ,0 yu讨论函数讨论函数 的可导性与解析性。的可导性与解析性。例例22)(yixzf ,yx 由由 C R 方程，方程，解解 由由,22yvxu 有有处处不解析。处处不解析。所以所以 仅在直线仅在直线 上可导，上可导，yx 22)(yixzf xyyx 24第二章 解析函数 2.1 解析函数的概念 讨论函数讨论函数 的可导性与解析性。的可导性与解析性。例例)sin(cos)(eyiyzfx 解解 由由有有,sin,coseeyvyuxx ,coseyuxx ,sineyuxy ,coseyvxy ,sineyvxx 四个偏导数连续，四个偏导数连续，且满足且满足 C R 方程，方程，故故 在全平面上处处可导，在全平面上处处可导，)sin(cos)(eyiyzfx 处处解析，且处处解析，且.)sin(cos)(eyiyviuzfxxx 注注)sin(cos)(eyiyzfx 函数函数yixee 记为记为,ez本例结果表明：本例结果表明：.)(eezz P35 例例2.4 部分部分 25第二章 解析函数 2.1 解析函数的概念 ,2yAxux ,2ByxAuy ,2yxDvy ,2yDxCvx 解解 由由有有,2222yxyDxCvByxyAxu 由由 C R 方程可得方程可得,22yxDyAx ,)2(2yDxCByxA 求解得求解得.2,1,1,2 DCBA26第二章 解析函数 2.1 解析函数的概念 即得即得cyxf),(常数常数)。(1)由由 解析，解析，证证viuzf )(,yxvu ,xyvu ,)(yxvu ,)(xyvu 由由 解析，解析，viuzf )(,0 yxyxvvuuvu,为常数，为常数，27第二章 解析函数 2.1 解析函数的概念 证证0),(yxf(常数常数)；(2)由由 解析，解析，viuzf )(,yxvu ,xyvu ,0 vu由由 在在 D 内为常数，内为常数，|)(|zfavu 22(常数常数)，两边分别对两边分别对 x,y 求偏导得：求偏导得：若若,0 uvvu 若若,0 uvvu方程组方程组(A)只有零解，只有零解，即得即得cyxf),(常数常数)。,0 yxyxvvuuvu,为常数，为常数，,0 xxvvuu,0 yyvvuu ,0 yxuvuu,0 yxuuuv(A)28第二章 解析函数 2.1 解析函数的概念 解解 令令,)(0)()()(21vvizgzfzh 记为记为,viu 由由 和和 解析，得解析，得 也解析，也解析，)(zf)(zg)(zh由由 C R 方程有方程有,yxvu ,xyvu ,0)(21 yvv,0)(21 xvv即得即得cyxvyxv ),(),(21(常数常数)。意义意义 解析函数的实部一旦给定，则虚部只能相差一个常数。解析函数的实部一旦给定，则虚部只能相差一个常数。(虚部虚部)(实部实部)例例 设函数设函数解析，证明：解析，证明：1)(viuzf ,),(),(21cyxvyxv 2)(viuzg 和和均在某区域均在某区域 D 内内其中其中 c 为常数。为常数。下节还将看到对于解析函数的实部下节还将看到对于解析函数的实部(或虚部或虚部)本身也有要求。本身也有要求。29第二章 解析函数 2.1 解析函数的概念 轻松一下30第二章 解析函数 2.1 解析函数的概念 附：附：知识广角知识广角 解析函数的由来解析函数的由来 解析函数的名称是解析函数的名称是康道尔西康道尔西(Condorcet)首先使用的。他的首先使用的。他的研究报告没有公开出版，但有很多人知道他的工作。研究报告没有公开出版，但有很多人知道他的工作。在康道尔西使用该名称在康道尔西使用该名称 20 年之后，年之后，拉格朗日拉格朗日(Lagrange)也也使用了解析这个术语，他在使用了解析这个术语，他在解析函数论解析函数论中将能展开成中将能展开成级数的函数说成是解析函数。级数的函数说成是解析函数。现在所使用的解析函数的概念，则基本上是在现在所使用的解析函数的概念，则基本上是在魏尔斯特拉魏尔斯特拉斯斯(Weierstrass)的著作中形成的。的著作中形成的。(返回返回)31第二章 解析函数 2.1 解析函数的概念 1755年，年，欧拉欧拉(Euler)也提到了上述关系式。也提到了上述关系式。附：附：知识广角知识广角 关于关于 C R 条件条件,yvxu .xvyu 1746年，年，达朗贝尔达朗贝尔(DAlemert)在研究流体力学时首先提到在研究流体力学时首先提到了如下的关系式：了如下的关系式：若函数若函数 是解析函数，则上述关系式成立。是解析函数，则上述关系式成立。ivuzf )(1777年，年，欧拉欧拉的两篇研究报告的两篇研究报告(1793年与年与1794年才发表年才发表)中中,证明了条件的必要性，即证明了条件的必要性，即32第二章 解析函数 2.1 解析函数的概念 附：附：知识广角知识广角 关于关于 C R 条件条件 1851年，上述关系式在黎曼的第一篇重要论文年，上述关系式在黎曼的第一篇重要论文(博士论文博士论文)“复变函数论的基础复变函数论的基础”中再次出现。黎曼把它当作了解析中再次出现。黎曼把它当作了解析函数定义的基础，并且在它上面建立了相应的理论。函数定义的基础，并且在它上面建立了相应的理论。上述关系式在柯西的著作中也多次出现。柯西在很长时期上述关系式在柯西的著作中也多次出现。柯西在很长时期内没能解决所研究的函数应当满足什么样的条件才能成为内没能解决所研究的函数应当满足什么样的条件才能成为解析函数，直到晚年他才区分出解析函数类。解析函数，直到晚年他才区分出解析函数类。后来人们就以柯西和曼黎的名字来命名上述关系式，不过后来人们就以柯西和曼黎的名字来命名上述关系式，不过也有些著作把该上述关系式称为欧拉达朗贝尔条件。也有些著作把该上述关系式称为欧拉达朗贝尔条件。33第二章 解析函数 2.1 解析函数的概念 附：附：人物介绍人物介绍 柯西柯西 数学史上最多产的数学家之一。数学史上最多产的数学家之一。复变函数论的奠基人之一。复变函数论的奠基人之一。数理弹性理论的奠基人之一数理弹性理论的奠基人之一。法国数学家(17891857)柯 西A.L.Cauchy34第二章 解析函数 2.1 解析函数的概念 在纯数学和应用数学方面的功力相当深厚。很多数学定理在纯数学和应用数学方面的功力相当深厚。很多数学定理和公式都是以他的名字命名的，如柯西不等式、柯西积分和公式都是以他的名字命名的，如柯西不等式、柯西积分公式等等。公式等等。在论文写作数量上，柯西仅次于欧拉。他一生中总共发表在论文写作数量上，柯西仅次于欧拉。他一生中总共发表了了 789 篇论文和几本书。他的全集从篇论文和几本书。他的全集从 1882 年开始出版，直年开始出版，直到到 1974 年才出齐最后一卷，总计年才出齐最后一卷，总计 28 卷。卷。附：附：人物介绍人物介绍 柯西柯西35第二章 解析函数 2.1 解析函数的概念 附：附：人物介绍人物介绍 黎曼黎曼德国数学家(18261866)黎 曼B.Riemann 是世界数学史上最具独创精神的数学家之一。是世界数学史上最具独创精神的数学家之一。复变函数论的奠基人之一。复变函数论的奠基人之一。黎曼几何的创始人。黎曼几何的创始人。36第二章 解析函数 2.1 解析函数的概念 黎曼的著作不多，但却异常深刻，极具创造与想象力。黎曼的著作不多，但却异常深刻，极具创造与想象力。附：附：人物介绍人物介绍 黎曼黎曼 柯西、黎曼和维尔斯特拉斯是公认的复变函数论的主要柯西、黎曼和维尔斯特拉斯是公认的复变函数论的主要奠基人，但在处理复变函数理论的方法上，黎曼的方法奠基人，但在处理复变函数理论的方法上，黎曼的方法被认为是本质的。被认为是本质的。在其短暂的一生中，黎曼为数学的众多领域作出了许多在其短暂的一生中，黎曼为数学的众多领域作出了许多奠基性、创造性的工作。奠基性、创造性的工作。复变函数中许多术语，如复变函数中许多术语，如单值函数单值函数、多值函数多值函数、分支分支、单叶曲面单叶曲面以及以及单连通区域单连通区域等，都是黎曼首先使用的。等，都是黎曼首先使用的。(返回返回)