空间向量的基本定理

9. 5.4空间向量的基本定理教学目标：1了解空间向量基本定理及其推论；2.理解空间向量的基底、基向量的概念 教学重点：向量的分解(空间向量基本定理及其推论).教学难点：空间作图.教学方法：讲授法.教学过程设计：一、复习引入1. 复习向量与平面平行、共面向量的概念.区别：(1)向量与平面平行时，向量所在的直线可以在平面内，而直线与平面平行时 两者是没有公共点的.(2)平行于同一平面的向量叫做共面向量.共面向量不一定是在同一平面内的，但 可以平移到同一平面内.2. 空间共面向量定理及其推论.(1) 共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x, y,使得p= xa+yb .(2) 共面向量定理的推论：空间一点P在平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x, y, 使得MP二xMA + yMB ,或对于空间任意一定点O,有 OP = OM + xMA + yMB .OP = (1 - x - y)OM + xOA + yOB 今天我们将对平面向量基本定理加以推广，应用上面的三个公式我们可以解决与四点 共面有关的问题，得出空间向量基本定理.二、新课讲授问题1：右图中的向量AB、AD、AA是不共面的三个向量，请问向量AC与它们是什 么关系？由此可以得出什么结论？ AC二AB + AD + AA.由此可知，始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向 量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量.问题2：如果向量AB、AD、AA分别和向量a、b、c共线，能否用向量a、b、c表示向量AC ? AC =xa+yb+zc事实上，对空间任一向量AC，我们都可以构造出上述平行六 面体，由此我们得到了空间向量基本定理:如果三个向量a、b、c不共面，那么对于空间任一向量p,存在一个唯一的有序实 数组 x、y、z,使 P = xa+yb+zc.证明：存在性：（见课本P31）唯一性：设另有一组实数x、y、z，使得p = x+yb+zc,则有 xa+yb+zc=xa+yb+zc,.（x_x）a+（y y）b+（ 旷 z）c = 0.Ta、b、c不共面，.XX = y y = zz = 0,即 x=x且 y = y且 z= z.故实数x、y、z是唯一的.由上述定理可知，空间任一向量均可以由空间不共面的三个向量生成，我们把a、b、 c叫做空间的一个基底，a、b、c都叫做基向量.说明：空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 三个向量不共面就隐含着它们都不是零向量.（零向量与任意非零向量共线，与任意两 个非零向量共面） 一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向 量.由定理的证明过程（P32第一行）可以得到下面的推论：设0、A、B、C是不共面的四个点，则对空间任一点P，都存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使OF xOAyOB zOC说明：若x + y + z= 1，则根据共面向量定理得：P、A、B、C四点共面. 例4（见课本P32）三、课堂练习课本P32 练习四、课时小结1空间向量基本定理也成为空间向量分解定理，它与平面向量基本定理类似，区别仅 在于基底中多了一个向量，从而分解结果中多了以“项”.证明的思路、步骤也基本相同.2.空间向量基本定理的推论意在用分解定理确定点的位置，它对于今后用向量方法解 几何问题很有用，也为今后学习空间向量的直角坐标运算作准备.五、课后作业1课本P36习题9.51. 2.教学后记：