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2.3.1 质点的功与能质点的功与能一功一功 力的力的空间累积空间累积效应：效应：WrF ，动能定理动能定理对对 积累积累1恒力作用下的功恒力作用下的功rFrFWcosrF2.3.1 质点的功与能质点的功与能rFWdcosdFrdiF1drirdB*i1A1F2变力的功变力的功rFWddBABAsFrFWdcosddrds sFWdcosd2.3.1 质点的功与能质点的功与能在直角系下在直角系下）（zddddzyBAxBAFyFxFrFWkFjFiFFzyxkj yi xrzdddd在自然系下在自然系下cosBAWFdsdBAF s2.3.1 质点的功与能质点的功与能0d,900ooW0d,18090ooW0dd90oWrF(1)功的正、负功的正、负讨论讨论(2)作作功的图示功的图示cosF1s2ssdsosFWssdcos212.3.1 质点的功与能质点的功与能（3）功是一个过程量，与路径有关功是一个过程量，与路径有关（4）合力的功，等于各分力的功的代数和合力的功，等于各分力的功的代数和123dBBAAWFrF drF drF dr（）11BAWF drWWWW123123FFFF33BAWF dr22BAWF dr2.3.1 质点的功与能质点的功与能 功的单位功的单位（焦耳）焦耳）tWP 平均功率平均功率 瞬时功率瞬时功率vFtWtWPtddlim0cosvFP 功率的单位功率的单位 （瓦特）瓦特）W10kW131sJ1W1mN1J12.3.1 质点的功与能质点的功与能例例1、质量为质量为2kg的质点在力的质点在力12Fti=(SI)的作用下，从静止出发，沿的作用下，从静止出发，沿x轴正向作直线运轴正向作直线运动。求前三秒内该力所作的功。动。求前三秒内该力所作的功。解：解：vdttdxFrdFWx122000032120tdttdtmFadtvvttt332340012 3369729()Wtt dtt dttJ2.3.1 质点的功与能质点的功与能例例2 质量为质量为10kg 的质点，在外力作用下做平的质点，在外力作用下做平面曲线运动，该质点的速度为面曲线运动，该质点的速度为开始时质点位于坐标原点。求在质点从开始时质点位于坐标原点。求在质点从 y=16m 到到 y=32m 的过程中，外力做的功。的过程中，外力做的功。jit1642v解解ttdtvxxd4d2xyWF dxF dy 80 xxdFmtdtv3320 dWtt0ddtmFyyv2.3.1 质点的功与能质点的功与能J 1200d320213ttddxyWF xF y时16y1t时32y2t16yyv tt0ya 2.3.1 质点的功与能质点的功与能sincosmgFtancossinFmg mg解：解：tanmgF 例例3 小球在水平变力小球在水平变力 作用下缓慢移动，即在作用下缓慢移动，即在所有位置上均近似处于力平衡状态，直到绳子所有位置上均近似处于力平衡状态，直到绳子与竖直方向成与竖直方向成 角。角。求：求：(1)的功，的功，(2)重力重力的功。的功。FFmlFgm2.3.1 质点的功与能质点的功与能dmgWmgr)cos1(mglddFWFrF s)cos1(mgl变力变力恒力曲线运动恒力曲线运动0d sinlmg0d sinlmgmlFgm2.3.1 质点的功与能质点的功与能例例4 作用在质点上的力为作用在质点上的力为)(42Nji yF 在下列情况下求质点从在下列情况下求质点从)(21mx 处运动到处运动到)(32mx 处该力作的功：处该力作的功：1.质点的运动轨道为抛物线质点的运动轨道为抛物线yx42 2.质点的运动轨道为直线质点的运动轨道为直线64 xyXYO23125.2yx42 64 xy2.3.1 质点的功与能质点的功与能做做功功与与路路径径有有关关JdydxxdyydxdyFdxFWyyxxyxyxyx8104242491322121212211.)/()(,XYO23125.2yx42 64 xybazyxBAdzFdyFdxFrdFWJdydxxdyydxdyFdxFWyyxxyxyxyx25214264249132221212211./)()(,)(42Nji yF2 2保守力与非保守力势能保守力与非保守力势能 rermmGF2(1)万有引力作功万有引力作功二二 万有引力和弹性力作功的特点万有引力和弹性力作功的特点 对对 的万有引力为的万有引力为mmm移动移动 时，时，作元功为作元功为 FrdrFWddrermmGrd2rrrdrdmmABArBr2 2保守力与非保守力势能保守力与非保守力势能 BArrrrmmGWd2rrererrdcosdd)11(ABrrmmGWBArrermmGrFWdd2m从从A到到B的过程中的过程中 作功：作功：FrrrdrdmmABArBrrd2 2保守力与非保守力势能保守力与非保守力势能 ikxFxFxo(2)弹性力作功弹性力作功2121ddxxxxxkxxFW)2121(2122kxkx FPxkxWdd2 2保守力与非保守力势能保守力与非保守力势能 2121ddxxxxxkxxFW)2121(2122kxkx xFdxdWx2x1O2 2保守力与非保守力势能保守力与非保守力势能 保守力保守力所作的功与路径无关所作的功与路径无关，仅决定，仅决定于于始、末始、末位置位置 保守力作功的数学表达式保守力作功的数学表达式)2121(22ABkxkxW弹力的功弹力的功)()(ABrmmGrmmGW引力的功引力的功2 2保守力与非保守力势能保守力与非保守力势能 ADBACBrFrFd d ABCD 质点沿任意质点沿任意闭合闭合路径运动一周时，路径运动一周时，保守力保守力对它所作的功为零对它所作的功为零0d lrFWBDAACBlrFrFrFd d d非保守力：非保守力：力所作的功与路径有关力所作的功与路径有关 （例如（例如摩擦摩擦力）力）2 2保守力与非保守力势能保守力与非保守力势能 (3)势能势能与质点位置有关的能量与质点位置有关的能量弹性弹性势能势能2p21kxE引力引力势能势能rmmGEp)2121(22ABkxkxW弹力弹力的功的功)()(ABrmmGrmmGW引力引力的功的功2 2保守力与非保守力势能保守力与非保守力势能 P1p2p)(EEEW 保守力的功保守力的功0),(pp0d),(EzyxrFzyxE00pE令令 势能计算势能计算pp0p)(EEEW保守力作功，势能减少保守力作功，势能减少2 2保守力与非保守力势能保守力与非保守力势能 势能具有势能具有相对性，相对性，势能势能大小大小与势能与势能零零 点点的选取的选取有关有关),(ppzyxEE 势能是势能是状态的状态的函数函数 势能是属于势能是属于系统的系统的讨论讨论 势能差与势能零点选取无关势能差与势能零点选取无关2 2保守力与非保守力势能保守力与非保守力势能 pEzOzmgE p(4)势能曲线势能曲线弹性弹性势能曲线势能曲线0,0pEx重力重力势能曲线势能曲线0,0pEz引力引力势能曲线势能曲线0,pErxOpE2p21kxExOpErmmGEp2 2保守力与非保守力势能保守力与非保守力势能 rFWdtmFddtv而而21222121vvmm三三 质点的动能定理质点的动能定理vvvvd21mWsFrFddtt1vAB2vFrd2 2保守力与非保守力势能保守力与非保守力势能 功是过程量，动能是状态量；功是过程量，动能是状态量；注意注意 合合外力对外力对质点质点所作的功，等于质点动所作的功，等于质点动能的能的增量增量 质点的动能定理质点的动能定理1k2k21222121EEmmWvv 功和动能依赖于惯性系的选取，功和动能依赖于惯性系的选取，但对不同惯性系动能定理形式相同但对不同惯性系动能定理形式相同2.3.2 质点系的功能原理质点系的功能原理外力功外力功 内力功内力功四质点系的动能定理四质点系的动能定理 质点系质点系动能定理动能定理 0kkEEWW内外1m2mimexiFiniF内力可以改变质点系的动能内力可以改变质点系的动能注意注意0kk0kkEEEEWWiiiiiiii内外 对质点系，有对质点系，有0kkiiiiEEWW内外 对第对第 个质点，有个质点，有i2.3.1 质点的功与能质点的功与能一对作用力和反作用力的功一对作用力和反作用力的功or1r2r21 m1m2dr1dr2f2f1m1、m2组成一个封闭系统组成一个封闭系统在在dt 时间内时间内2211rdfrdfdW 1111rdfrm 2112rrr )rr(df)rdrd(fdW122122 21ff 212rdfdW 2222rdfrm 121rdf 2.3.1 质点的功与能质点的功与能(1)内力和为零内力和为零,内力功的和是否为零？内力功的和是否为零？不一定为零不一定为零21ff 0fLfW11SfW22)SL(fW1AB1f2fABSL(2)内力的功也能改变系统的动能内力的功也能改变系统的动能 例例:炸弹爆炸，过程内力和为零，但内炸弹爆炸，过程内力和为零，但内力所做的功转化为弹片的动能。力所做的功转化为弹片的动能。讨论讨论2.3.2 质点系的功能原理质点系的功能原理)()(0p0kpkEEEEWW非保内外0kkEEWW内外非保守非保守力的功力的功非保内保内内内WWWWii2 质点系的功能原理质点系的功能原理)(00ppipiipiEEEWE)(保内2.3.2 质点系的功能原理质点系的功能原理机械能机械能pkEEE0EEWW非保内外质点系的功能原理质点系的功能原理)()(0p0kpkEEEEWW非保内外2.3.2 质点系的功能原理质点系的功能原理3机械能守恒定律机械能守恒定律当当0非保内外WW0EE 时，时，有有 只有保守内力作功的情况下，质点只有保守内力作功的情况下，质点系的机械能保持不变系的机械能保持不变pkEE)(0pp0kkEEEEpkEEE2.3.2 质点系的功能原理质点系的功能原理 例例1:长为长为l 的均质链条，部分置于水平面上，的均质链条，部分置于水平面上，另一部分自然下垂另一部分自然下垂,已知链条与水平面间静摩已知链条与水平面间静摩擦系数为擦系数为 0,滑动摩擦系数为滑动摩擦系数为 Oy求求:满足什么条件时，链条将开始滑动满足什么条件时，链条将开始滑动(2)若下垂部分长度为若下垂部分长度为b 时，链条自静时，链条自静止开始滑动，当链条末端刚刚滑离止开始滑动，当链条末端刚刚滑离桌面时，其速度等于多少？桌面时，其速度等于多少？2.3.2 质点系的功能原理质点系的功能原理 解解:(1)以链条的水平部分以链条的水平部分为研究对象，设链条每单位为研究对象，设链条每单位长度的质量为长度的质量为，沿铅垂向，沿铅垂向下取下取Oy 轴。轴。例例 当当 y b0，拉力大于最大静摩擦力时，链，拉力大于最大静摩擦力时，链条将开始滑动。条将开始滑动。设链条下落长度设链条下落长度 y=b0 时，处于临界状态时，处于临界状态0)(000gblgblb0001Oy2.3.2 质点系的功能原理质点系的功能原理 (2)以整个链条为研究对象，链条在运动过程中以整个链条为研究对象，链条在运动过程中各部分之间相互作用的内力的功之和为零，各部分之间相互作用的内力的功之和为零，lb)bl(gyygW 2221dlb)bl(gy)yl(W 221d摩擦力的功摩擦力的功重力的功重力的功2.3.2 质点系的功能原理质点系的功能原理021)(21)(212222vlblgblg222)()(bllgbllgv根据动能定理有根据动能定理有
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