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机动 目录 上页 下页 返回 结束 数学科学学院数学科学学院 陈建华陈建华线性代数线性代数机动 目录 上页 下页 返回 结束 行列式展开定理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.1.计算计算1112114124611242D解解:(化上三角形法化上三角形法)111200530243015021312rrrr24rr1112015002430053322rr1112015000143005343514rr11120151001435700014D57复习复习41rr机动 目录 上页 下页 返回 结束 本节内容 余子式、代数余子式 行列式按行（列）展开定理 Laplace 定理机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.1.aij的余子式的余子式：在在 中划去元素中划去元素aij 所在的第所在的第i行和第行和第 j 列元素，得到的列元素，得到的n-1-1阶行列式。记作：阶行列式。记作：Mij|ij nDa2.元素元素aij的的代数代数余子式余子式：111214313234414244aaaaaaaaa111314212324414344aaaaaaaaa4|ija例如，在例如，在 中，中，M32Aij(1)i+jMijA23=(-1)2+3M23=一、余子式和代数余子式一、余子式和代数余子式机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、行列式按某行二、行列式按某行(列列)展开定理展开定理 D 按按行行展展1(1,2,)nijijja Ain 按按列列展展1(1,2,)nijijia Ajnai1Ai1+ai2Ai2+ainAina1jA1j+a2jA2j+anjAnj行行列机动 目录 上页 下页 返回 结束 思路思路:先证特殊情形再证一般情形；先证特殊情形再证一般情形；一般情形的证明通过转一般情形的证明通过转化为特殊情形完成化为特殊情形完成.证：证：先证先证111211121222121112111000nnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaDa Aaaaaaai1Ai1+ai2Ai2+ainAin1 211211 211 211211 21()121()121(1)(1)nnnnnnnnnndefj jjnjjnjj jjnj jjnnnnjjnjj jjnnnnDa aaaaaaaaMa AD 按按行行展展机动 目录 上页 下页 返回 结束 次证次证 11121112000jnijijnnnjnnijaaaaDa Aaaaaai 行逐一向下交换经行逐一向下交换经 ni 次至末行次至末行 j 列逐一向右交换经列逐一向右交换经 nj 次至末列次至末列思路：化归为情形机动 目录 上页 下页 返回 结束 11111111111111111111111111100(10)0jjnjiijijinijiijijinijnnjnjnnnjinnjijaaaaaaaaaaaaaaaDaaaaaa(1)ij aij MijaijAij(1)ij aij Mnn 由由机动 目录 上页 下页 返回 结束 最后最后12iiinDDD证毕证毕ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin由由111211212000000niiinnnnnaaaDaaaaaa11121111211112112121212000000nnniiinnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.1.计算行列式计算行列式1112114124611242D解法解法1 1：化上三角形法化上三角形法解法解法2 2：降阶法：降阶法机动 目录 上页 下页 返回 结束 1112005302430150053243150232rr 0530143150 53143 12rr 190143 1112114124611242D D21312rrrr41rr57=(-1)1+1=(-1)3+1机动 目录 上页 下页 返回 结束 14142143423113092D 123242rrrr 70178214300553092 725311利用行列式按行(列)展开定理计算行列式时,一般利用有较多0的行(列)展开,对一般的数字行列式,可将某行(列)化到只剩一非零元时降阶处理.=10=(-1)2+27178055392=5(-1)2+372580053112 例例2 2：计算：计算机动 目录 上页 下页 返回 结束 12341123111221131211nnxnDxxnxxxxxx例例3 3 计算行列式计算行列式首列元素全是1,第一行乘以(1)加到下面各行只能使下面元素变为0,其它元素却没有规律，不可取。分析分析 利用相邻两行元素较接近的特点:从首行起,每行加其下行的(1)倍,按首列展开后再使用该手法机动 目录 上页 下页 返回 结束 1223,211,01111101111100111100001111nnnnrr rrrrrrxxDxxxxx111111111111(1)0111100011nnxxx 解：解：机动 目录 上页 下页 返回 结束 1223,21,1,100001000(1)010000011nnrr rrnrrnxxxxxx=(1)n+1x n-2机动 目录 上页 下页 返回 结束 123422221234333312341111xxxxDxxxxxxxx例例4 4 计算计算4 4阶范德蒙阶范德蒙 (Vandermonde)行列式行列式 分析 相邻两行元素较接近!末行始,后一行加上其前行的(x1)倍,a11下面元素都变为0,按首列展开，按首列展开后提取各列公因子得3阶范德蒙行列式。再从末行始,后一行加上其前行的(x2)倍，机动 目录 上页 下页 返回 结束 213141234222232111()()()xxxxxxxxxxxx123422221234333312341111xxxxDxxxxxxxx213141221331441222221331441111100()()()0()()()xxxxxxDxxxxxxxxxxxxxxxxxx解：解：机动 目录 上页 下页 返回 结束 2131413242332442111()()()00()()xxxxxxxxxxxxxxxx123422221234333312341111xxxxDxxxxxxxx213141234222232111()()()xxxxxxxxxxxx21314132423411()()()()()xxxxxxxxxxxx14()jiijxx =(x2x1)(x3x1)(x4x1)(x3x2)(x4x2)(x4x3)连乘积记号机动 目录 上页 下页 返回 结束 123222212311111231111nnnnnnnnxxxxDxxxxxxxx可以证明可以证明n 阶阶“范德蒙行列式范德蒙行列式”1()jiij nxx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.推论推论 :行列式行列式某一行某一行(列列)的各元素与的各元素与另一行另一行(列列)的的对应对应元素的元素的代数余子式代数余子式乘积之和乘积之和等于等于零零.1122sssssnsnDa Aa Aa A1 11111niinssnnn naaaaaaaa1122isisinsna Aa Aa A1 11111niiniinnn naaaaaaaa第第s s行行理解：理解：第第s s行行0ai1As1+ai2As2+ainAsn=0 (is)机动 目录 上页 下页 返回 结束 综合定理及推论得综合定理及推论得“代数余子式的代数余子式的 重要性质重要性质 ”:1nkikjka A1nikjkka A0Dijij0Dijija1jA1t+a2jA2t+anjAnt=0 (jt)对于行列式的列，类似地有：对于行列式的列，类似地有：行行列机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5 5 设设1513113411112234D=0，计算，计算A41+A42+A43+A44.=a31A41+a32A42+a33A43+a34 A44分析:A41+A42+A43+A44巧用第3行的四个1机动 目录 上页 下页 返回 结束 1234522211312451112243150D 分析分析注意到第二、四行元素的特点,利用行列式按某行展开定理的推论,将A31+A32+A33与A34+A35分别看成整体，列方程组求解.解解:，求求(1)A31+A32+A33(2)A34+A35例例6 设设a21A31+a22A32+a23A33+a24 A34+a25A350a41A31+a42A32+a43A33+a44 A34+a45A3502(A31+A32+A33)+(A34+A35)0(A31+A32+A33)+2(A34+A35)0A31+A32+A33=0A34+A35=0思考:如何求 A41+A42+A43?机动 目录 上页 下页 返回 结束 1513113411232234D解解:例例7 设设，计算，计算 A41+A42+A43+A44a31A41+a32A42+a33A43+a34 A440a41A41+a42A42+a43A43+a44 A44DA41+A42+2A43+3 A4402A41+2A42+3A43+4 A44D两式相减得两式相减得A41+A42+A43+A44D=6思考：其它解法A41+A42+A43+A441513113411231111=6机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.1.几个概念几个概念(1)k 阶子式阶子式：任选任选k行行k列列 k阶行列式，记作阶行列式，记作 M.(aij是行列式的一阶子式是行列式的一阶子式)(2)k 阶子式的余子式：划去阶子式的余子式：划去k阶子式所在的阶子式所在的k行行k列列 nk阶行列式，记阶行列式，记M (3)k 阶子式的代数余子式阶子式的代数余子式:11(1)kkiijjAM 三、拉普拉斯定理三、拉普拉斯定理机动 目录 上页 下页 返回 结束 注2:行列式按行(列)展开是拉普拉斯定理 k=1的情形2.拉普拉斯定理 的所有的所有k 阶子式阶子式(共共 个个)与各自的代数余子式的乘与各自的代数余子式的乘积之和等于积之和等于D.kntC即：即：行列式行列式D中任意选定中任意选定k行行(1kn),这这k行元素组成行元素组成DM1 A1M2 A2Mt At ()kntC注1:拉普拉斯定理是将行列式按某k行(列)展开机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8 8 用拉普拉斯定理计算行列式用拉普拉斯定理计算行列式 2130323031251111D1,21 2 1 21 2 1 321252315(1)(1)32113311D 按按行行展展1 2 2 31335(1)2311 解：解：1(3)(15)(1)(4)(9)(8)9 机动 目录 上页 下页 返回 结束 5312017252023100414002350D例例9 9 计算行列式计算行列式 解：解：法二法二 按第五列展开后再按第一列展开按第五列展开后再按第一列展开 (教材例教材例1-11,P17)1-11,P17)法一法一 按三、四、五行展开按三、四、五行展开(3 4 5)(2 3 4)23150414(1)12235D =1080机动 目录 上页 下页 返回 结束 1111111111110000kkkkksssksssaaaaccbbccbb应用拉普拉斯定理易得行列式计算中的常用结论应用拉普拉斯定理易得行列式计算中的常用结论:11111111kskkksssaabbaabb 按前k行展开111111111111=0000kskkkkksssssaaccaaccbbbb？讨论完成机动 目录 上页 下页 返回 结束 乘法公式1112121222112.nnnnnnaaaaaaDaaa1112121222212.nnnnnnbbbbbbDbbb11121212222212.=.nnnnnnccccccDD Dccc122(,1.,2,.,1,2,.).ijiijijinnjca ba baim jnb 设则(证明见节，p55-56)机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业:P21 习题1.3 1,2,3,4机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题21122112D121001122112nnrrrD111211211211112112121 nnn按第一行展开11nD1nDn例例 计算计算 解解:从而解得从而解得机动 目录 上页 下页 返回 结束 V平行六面体123123123|()|aaabbbccc123411122233344411|11AA A AxyzxyzVxyzxyz 222222222222201011012880111110OABCrqarpbVqpcabc (,1789-1857)Cauchy解析几何中的行列式解析几何中的行列式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 范德蒙范德蒙 法国数学家，就对行列式本身而言，他是这门理论的奠基人在行列式的发展史上，他是把行列式理论与线性方程组求解相分离的第一人范德蒙自幼在父亲的指导下学习音乐，但对数学有浓厚的兴趣，后来终于成为法兰西科学院院士特别地，他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则1772 年，法国数学家拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法(.,1735 1796)AT Vandermonde机动 目录 上页 下页 返回 结束 线性代数是一种语言，必须线性代数是一种语言，必须用学习外语的方法每天学习这种用学习外语的方法每天学习这种语言语言 David.C.Lay机动 目录 上页 下页 返回 结束
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