向量及其线性运算点的坐标与向量的坐标课件

向量及其线性运算点的坐标与向量的坐标本学期讲完本学期讲完微积分微积分下册的内容。总学时下册的内容。总学时数为数为80。各章学时分配大致如下：第五章向。各章学时分配大致如下：第五章向量代数与空间解析几何约量代数与空间解析几何约10学时，第六章多学时，第六章多元函数微分学约元函数微分学约18学时，第七章重积分约学时，第七章重积分约14学时，第八章曲线积分与曲面积分约学时，第八章曲线积分与曲面积分约14学时学时，第九章无穷级数约，第九章无穷级数约14学时。其余学时作为学时。其余学时作为半期考和期末考的复习。半期考和期末考的复习。基本要求：课前预习；上课认真听讲，掌握基本要求：课前预习；上课认真听讲，掌握重点、难点和典型例题解法；课后复习总结重点、难点和典型例题解法；课后复习总结并认真完成课后作业，错题及时订正。并认真完成课后作业，错题及时订正。向量及其线性运算点的坐标与向量的坐标一、向量及其线性运算一、向量及其线性运算二、点的坐标与向量的坐标二、点的坐标与向量的坐标三、小结三、小结第五章第五章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何向量及其线性运算点的坐标与向量的坐标第一节、向量及其线性运算第一节、向量及其线性运算一、向量的概念一、向量的概念向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量.向量表示：向量表示：a或或21MM1M2M 自由向量：自由向量：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量.相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量.ab向量的夹角向量的夹角:让两向量的起点重合后让两向量的起点重合后,两射线间夹角两射线间夹角.0.向量及其线性运算点的坐标与向量的坐标模为模为1 1的向量的向量.21MM00a零向量：零向量：模为模为0 0的向量的向量.0|a21MM|向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小.单位向量：单位向量：或或或或负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量.a a a向量及其线性运算点的坐标与向量的坐标两向量平行：两向量平行：两非零向量方向相同或相反，就称两非零向量方向相同或相反，就称它们平行，记为它们平行，记为a/b。零向量与任何向量平行。零向量与任何向量平行。两向量共线：两向量共线：两向量两向量平行平行时，把它们的起点放在时，把它们的起点放在同一点，则它们的终点、公共起点在一条直线上同一点，则它们的终点、公共起点在一条直线上，又称两向量共线。又称两向量共线。向量及其线性运算点的坐标与向量的坐标1 加法：加法：cba abc（平行四边形法则）（平行四边形法则）特殊地：若特殊地：若ababc|bac 分为同向和反向分为同向和反向bac|bac （平行四边形法则有时也称为三角形法则）（平行四边形法则有时也称为三角形法则）二、向量的线性运算：二、向量的线性运算：多个向量相加：多个向量相加：向量及其线性运算点的坐标与向量的坐标向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：（1 1）交换律：）交换律：.abba （2 2）结合律：）结合律：cbacba )().(cba （3）.0)(aa2 减法减法)(baba abb b cbabac )(ba ba abc向量及其线性运算点的坐标与向量的坐标设设 是是一一个个数数，向向量量a与与 的的乘乘积积a 规规定定为为,0)1(a 与与a同同向向，|aa ,0)2(0 a,0)3(a 与与a反反向向，|aa aa2a21 3、向量与数的乘法、向量与数的乘法向量及其线性运算点的坐标与向量的坐标数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：)()(aa a)(（2 2）分配律：）分配律：aaa )(baba )(.0ababa ，使，使一的实数一的实数分必要条件是：存在唯分必要条件是：存在唯的充的充平行于平行于，那末向量，那末向量设向量设向量定理定理两个向量的平行关系两个向量的平行关系向量及其线性运算点的坐标与向量的坐标同方向的单位向量，同方向的单位向量，表示与非零向量表示与非零向量设设aa00|aaa.|0aaa 一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量量同方向的单位向量.例例1 1 化简化简 53215abbba例例2 2 试用向量方法证明：对角线互相平分的试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形四边形必是平行四边形.ouPuuue u u推论：设与数轴ou的正向同向的单位向量记为e,对数轴推论：设与数轴ou的正向同向的单位向量记为e,对数轴上的任一点，坐标为，OP可唯一地表示为：上的任一点，坐标为，OP可唯一地表示为：OPOP向量及其线性运算点的坐标与向量的坐标x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点定点o空间直角坐标系空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向三个坐标轴的正方向符合符合右手系右手系.第二节、点的坐标与向量的坐标第二节、点的坐标与向量的坐标1、空间、空间 直角坐标系直角坐标系向量及其线性运算点的坐标与向量的坐标xyozxoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限向量及其线性运算点的坐标与向量的坐标空间的点空间的点有序数组有序数组),(zyx 11特殊点的表示特殊点的表示:)0,0,0(O),(zyxM xyzo)0,0,(xP)0,0(yQ),0,0(zR)0,(yxA),0(zyB),(zoxC坐标轴上的点坐标轴上的点,P,Q,R坐标面上的点坐标面上的点,A,B,C向量及其线性运算点的坐标与向量的坐标设设),(1111zyxM、),(2222zyxM为为空空间间两两点点xyzo 1MPNQR 2M?21 MMd在在直直角角21NMM 及及 直直 角角PNM1 中中，使使用用勾勾股股定定理理知知空间两点间的距离空间两点间的距离 .21221221221zzyyxxMM 空间两点间距离公式空间两点间距离公式向量及其线性运算点的坐标与向量的坐标向量及其线性运算点的坐标与向量的坐标xyzo 1MPNQR 2M二二.向向量量的的坐坐标标及及向向量量线线性性运运算算的的坐坐标标表表示示 以以kji,分分别别表表示示沿沿zyx,轴轴正正向向的的单单位位向向量量.ijkkajaiaazyx 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影x 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影y 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影z向量的标准分解式向量的标准分解式向量及其线性运算点的坐标与向量的坐标在三个坐标轴上的在三个坐标轴上的分向量分向量：,kajaiazyx向量的向量的坐标坐标：,zyxaaa向量的向量的坐标表达式坐标表达式：,zyxaaaa 向量及其线性运算点的坐标与向量的坐标向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa ;)()()(kbajbaibazzyyxx ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx 向量及其线性运算点的坐标与向量的坐标ABMxyzo1112223(,)B(,)M.A xy zxy z 例例：已已知知两两点点和和，以以及及实实数数0 0，在在直直线线ABAB上上求求一一点点，使使AM=MBAM=MB,zyxOM 特殊地：特殊地：11112222122.(,),(,),Mxy zMxyzM M 例例 设设的的坐坐标标为为的的坐坐标标为为求求向向量量的的坐坐标标表表示示式式。12212121()()()M Mxx iyyjzz k 12222,)M Mxyz 1 11 11 1特特别别地地，线线段段的的中中点点：x xy yz zM M=(2 22 22 2向量及其线性运算点的坐标与向量的坐标非零向量非零向量 的的方向角方向角：a非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.、,0 ,0 .0 xyzo 1M 2M 向量的模与方向余弦的坐标表示式向量的模与方向余弦的坐标表示式向量及其线性运算点的坐标与向量的坐标xyzo 1M 2M 由图分析可知由图分析可知 cos|aax cos|aay cos|aaz 向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向.222|zyxaaaa PQR向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式向量及其线性运算点的坐标与向量的坐标0222 zyxaaa当当 时，时，,cos222zyxxaaaa ,cos222zyxyaaaa .cos222zyxzaaaa 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式向量及其线性运算点的坐标与向量的坐标1coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征0a|aa.cos,cos,cos 特殊地：单位向量的方向余弦为向量的坐标。特殊地：单位向量的方向余弦为向量的坐标。以向量的方向余弦为坐标的向量就是与该向量同以向量的方向余弦为坐标的向量就是与该向量同向的单位向量。向的单位向量。向量及其线性运算点的坐标与向量的坐标3、向量的投影：、向量的投影：,(,),OMON 设设向向量量aba baba b|cosbae 则则向向量量a a在在向向量量b b上上的的投投影影向向量量为为|cosbaprj a 数数称称为为向向量量a a在在向向量量b b上上的的投投影影，记记为为向量及其线性运算点的坐标与向量的坐标kajaiaazyx 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影x 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影y 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影zxxprj aa yyprj aa zzprj aa 向量及其线性运算点的坐标与向量的坐标).2,2,2(),4,2,2(向量及其线性运算点的坐标与向量的坐标6A(1,3,-2),B(5,0,3)ABvxoyxyv 例例：(1)(1)设设为为空空间间的的两两点点，求求向向量量的的模模与与方方向向角角。（2 2）设设一一物物体体运运动动速速度度 的的大大小小为为5 5，方方向向指指向向面面上上方方，并并与与 轴轴、轴轴正正向向的的夹夹角角为为、，写写出出 的的3434坐坐标标表表达达式式。向量及其线性运算点的坐标与向量的坐标空间直角坐标系空间直角坐标系 空间两点间距离公式空间两点间距离公式（注意它与平面直角坐标系的（注意它与平面直角坐标系的区别区别）（轴、面、卦限）（轴、面、卦限）六、小结六、小结 21221221221zzyyxxMM 向量及其线性运算点的坐标与向量的坐标向量的概念向量的概念向量的加减法向量的加减法向量与数的乘法向量与数的乘法（注意与标量的区别）（注意与标量的区别）（平行四边形法则）（平行四边形法则）（注意数乘后的方向）（注意数乘后的方向）向量的坐标表示向量的坐标表示向量及其线性运算点的坐标与向量的坐标(,)x y z思思考考：写写出出点点到到各各坐坐标标轴轴的的距距离离，到到各各坐坐标标面面的的距距离离，到到原原点点的的距距离离。