正弦函数余弦函数的性质全课堂PPT

1三角函数三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质正弦函数余弦函数的性质2正、余弦函数图像特征：正、余弦函数图像特征：2oxy-11-13232656734233561126sin0,2 yxx在函数在函数 的图象上，起关键作用的点有：的图象上，起关键作用的点有：sin,0,2 yx x最高点：最高点：最低点：最低点：与与x轴的交点：轴的交点：(0,0)(,0)(2,0)1,(23)1,2(注意：函数图注意：函数图像的凹凸性！像的凹凸性！知识回顾知识回顾:3-oxy-11-13232656734233561126cos0,2 yxx在函数在函数 的图象上，起关键作用的点有：的图象上，起关键作用的点有：cos,0,2 yx x最高点：最高点：最低点：最低点：与与x轴的交点：轴的交点：(0,1)3(,0)2(2,1)(,1)(,0)2注意：函数图注意：函数图像的凹凸性！像的凹凸性！余弦函数余弦函数图像特征：图像特征：4x6yo-12345-2-3-41y=sinx (x R)x6o-12345-2-3-41y y=cosx (x R)一、正弦、余弦函数的周期性一、正弦、余弦函数的周期性5 对于函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数，如果存在一个非零常数T，使得，使得当当x取定义域内的每一个值时，都有取定义域内的每一个值时，都有 f(x+T)=f(x)那么函数那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个叫做这个函数的周期。函数的周期。注：注：1、T要是非零常数要是非零常数 2、“每一个值每一个值”只要有一个反例，则只要有一个反例，则f(x)就不为周期函数（如就不为周期函数（如f(x0+t)f(x0)）3、周期函数的周期周期函数的周期T往往是多值的（如往往是多值的（如y=sinx 2,4,-2,-4,都是周都是周 期）期）4、周期、周期T中最小的正数叫做中最小的正数叫做f(x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）正弦函数是周期函数，最小正周期是)0(2kZkk且2余弦函数是周期函数，最小正周期是)0(2kZkk且2一一.周期性周期性sin()yAx函数函数 的周期是的周期是cos()yAx函数函数 的周期是的周期是226x22322523yO23225311x22322523yO23225311二二.奇偶性奇偶性(1)()sin,f xx xR xR 任意任意()sin()fxx sin x ()f x ()sin,f xx xR 为为奇奇函数函数(2)()cos,f xx xRxR 任意任意()cos()fxx cosx()f x()cos,f xx xR 为为偶偶函数函数7三三.定义域和值域定义域和值域x22322523yO23225311x22322523yO23225311正弦函数正弦函数sinyx 定义域：定义域：R值域：值域：-1，1余弦函数余弦函数cosyx 定义域：定义域：R值域：值域：-1，1|sin|1|cos|1xx8练习练习 下列等式能否成立？下列等式能否成立？(1)2cos3x 2(2)sin0.5x 3cos2x 1 sin0.5x 1,1 9例例1.求下列函数的定义域和值域。求下列函数的定义域和值域。(1)3sinyx(2)cosyx定义域定义域值域值域R3|22,22xkxkkZ0,12,4(3)2sin(2),36 6yxx 0,2101cosyx（）(2)3sinyx解解(1)(1)：定义域：定义域：R.R.值域：值域：-1,1.-1,1.(3)lgsinyx值域为值域为解（解（2 2）：-3sinx 0-3sinx 0sinx 0sinx 0定义域为定义域为 x|+2kx2+2k,kZx|+2kx2+2k,kZ又又-1sinx 0-1sinx 00-3sinx 30-3sinx 30,311探究：正弦函数的最大值和最小值探究：正弦函数的最大值和最小值最大值：最大值：2x当当 时，时，有最大值有最大值1yk2最小值：最小值：2x当当 时，时，有最小值有最小值1yk2x22322523yO23225311四四.最值最值12探究：余弦函数的最大值和最小值探究：余弦函数的最大值和最小值最大值：最大值：0 x当当 时，时，有最大值有最大值1yk2最小值：最小值：x当当 时，时，有最小值有最小值1yk2x22322523yO2322531113x6o-12345-2-3-41y当且仅当当且仅当）时，（Zkkx22；1)(sinmaxx当且仅当当且仅当）时，（Zkkx22.1)(sinminx当且仅当）时，（Zkkx2；1)(cosmaxx当且仅当）时，（Zkkx2.1)(cosminx四、正弦、余弦函数的最值四、正弦、余弦函数的最值x6yo-12345-2-3-41)(sinRxxy)(cosRxxy14例题例题x22322523yO23225311求使函数求使函数 取得最大值、最小值的取得最大值、最小值的自变量的集合，并写出最大值、最小值。自变量的集合，并写出最大值、最小值。)22cos(3xy化未知为已知化未知为已知分析：分析：令令22xz则则zysin315例例2.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么的集合，并说出最大、最小值分别是什么.cos1,3sin2,.yxxRyx xR(1);(2)解：解：这两个函数都有最大值、最小值这两个函数都有最大值、最小值.（1）使函数）使函数 取得最大值的取得最大值的x的集合，就是的集合，就是使函数使函数 取得最大值的取得最大值的x的集合的集合cos1,yxxRcos,yx xR|2,x xkkZ 使函数使函数 取得最小值的取得最小值的x的集合，就是的集合，就是使函数使函数 取得最小值的取得最小值的x的集合的集合cos1,yxxRcos,yx xR|(21),x xkkZ 函数函数 的最大值是的最大值是1+1=2；最小值是；最小值是-1+1=0.cos1,yxxR16练习练习.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么的集合，并说出最大、最小值分别是什么.cos1,3sin2,.yxxRyx xR(1);(2)解：解：（2）令）令t=2x,因为使函数因为使函数 取最大值的取最大值的t的集合是的集合是3sin,yt tR|2,2t tkkZ 222xtk 由由4xk 得得所以使函数所以使函数 取最大值的取最大值的x的集合是的集合是3sin2,yx xR|,4x xkkZ 同理，使函数同理，使函数 取最小值的取最小值的x的集合是的集合是3sin2,yx xR|,4x xkkZ函数函数 取最大值是取最大值是3，最小值是，最小值是-3。3sin2,yx xR 17五、探究：正弦函数的单调性五、探究：正弦函数的单调性25232223,25，、，、当当 在区间在区间上时，上时，x曲线逐渐上升，曲线逐渐上升，sin的值由的值由 增大到增大到 。11753357,22222222、，、，、当当 在区间在区间x上时，曲线逐渐下降，上时，曲线逐渐下降，sin的值由的值由 减小到减小到 。11x22322523yO2322531118探究：正弦函数的单调性探究：正弦函数的单调性x22322523yO23225311正弦函数在每个闭区间正弦函数在每个闭区间)(22,22Zkkk都是增函数，其值从都是增函数，其值从1增大到增大到1；而在每个闭区间而在每个闭区间32,2()22kkkZ上都是上都是减函数，其值从减函数，其值从1减小到减小到1。19探究：余弦函数的单调性探究：余弦函数的单调性 3,2 0 2 3,4、，、，当当 在区间在区间x上时，上时，曲线逐渐上升，曲线逐渐上升，cos的值由的值由 增大到增大到 。11曲线逐渐下降，曲线逐渐下降，sin的值由的值由 减小到减小到 。11 2,0 23 、，、，当当 在区间在区间x上时，上时，x22322523yO2322531120探究：余弦函数的单调性探究：余弦函数的单调性x22322523yO23225311由余弦函数的周期性知：由余弦函数的周期性知：其值从其值从1减小到减小到1。而在每个闭区间而在每个闭区间上都是减函数，上都是减函数，2,2kk 其值从其值从1增大到增大到1；在每个闭区间在每个闭区间2,2kk都是都是增函数增函数，21练习练习 P46 (4)先画草图，然后根据草图判断先画草图，然后根据草图判断x22322523yO23225344xysin4,x22练习 P46 练习1 x22322523yO23225311x(1)sin 0:x22322523yO23225311(0,)2k 2k (2)sin0:x ()0,2k 2k (1)cos0:x ()22,2k 2k kZ kZ kZ(2)cos0:x (22,3)2k 2k kZ 23五、正弦函数的单调性五、正弦函数的单调性 y=sinx (x R)增区间为增区间为 ，其值从其值从-1增至增至12 2 xyo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 x sinx2 2 23 0 -1 0 1 0-1减区间为减区间为 ，其值从其值从 1减至减至-12 23 +2k,+2k,k Z2 2 +2k,+2k,k Z2 23 24五、余弦函数的单调性五、余弦函数的单调性 y=cosx (x R)x cosx2 2 -0 -1 0 1 0-1减区间为减区间为 ，其值从其值从 1减至减至-12k,2k +,k Zyxo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 增区间为增区间为 其值从其值从-1增至增至1 +2k ,+2k,k Z225 例例3 3 比较下列各组数的大小比较下列各组数的大小:(1)sin()sin();1810与2317(2)cos()cos().5与学以致用学以致用2614sin()2,2 23yxx 例：求函数，的单调递增区间。1:,sin23xyz解令z=函数的单调递增区间是2,2.22kk12x2,2232kk由54x4,k.33kkZ得A 2,2,设5A,.33B 易知15sin()2,2 2333yxx 则函数，的单调递增区间是-,。5|4x4,k.33BxkkZ271sin()2,2 32yxx 你能求函数，的单调递增区间吗？1,sin23xyz令z=函数的单调递减区间是32,2.22kk132x2,2232kk由5114x4,k.33kkZ得A 2,2,设5A 2,2 33B 易知1sin()2,2 33253yxx 则函数，的增-2,-,单调递区间2是。511|4x4,k.33BxkkZ11:y=sin()sin(),3223xx 另解 28x22322523yO23225311PP正弦函数的图象正弦函数的图象53113,22222x 对称轴：对称轴：,2xkkZ (,0),(0,0),(,0),(2,0)对称中心：对称中心：(,0)kkZ 六、正弦、余弦函数的对称性六、正弦、余弦函数的对称性29余弦函数的图象余弦函数的图象,0,2x 对称轴：对称轴：,xkkZ 35(,0),(,0),(,0),(,0)2222 对称中心：对称中心：(,0)2kkZ PPx22322523yO2322531130六、正弦、余弦函数的对称性六、正弦、余弦函数的对称性x6yo-12345-2-3-41x6o-12345-2-3-41y)(sinRxxy)(cosRxxyy=sinx的图象对称轴为：的图象对称轴为：y=sinx的图象对称中心为：的图象对称中心为：y=cosx的图象对称轴为：的图象对称轴为：y=cosx的图象对称中心为：的图象对称中心为：；，Zkkx2.)0 (Zkk，；，Zkkx.)0 2(Zkk，任意两相邻对称轴任意两相邻对称轴(或对称中心或对称中心)的间距为半个周期；的间距为半个周期；对称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期对称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期.3145842)452sin(5xDxCxBxAxy、的一条对称轴是、例C该函数的对称中心为 .Zkk，)0 82(（）32 为函数为函数 的一条对称轴的是的一条对称轴的是（）sin(2)3yx x22322523yO232253114.3A x 12x .2B x .0D x 解：经验证，当解：经验证，当.12C x 时时232x12x 为对称轴为对称轴练习练习33函数函数y=sinxy=cosx图形图形定义域定义域值域值域最值最值单调性单调性奇偶性奇偶性周期周期对称性对称性2522320 xy21-1xRxR 1,1y 1,1y 22xk时，时，1maxy22xk 时，时，1miny 2xk时，时，1maxy2xk时，时，1miny-2,222xkk增函数增函数32,222xkk减函数减函数2,2xkk 增函数增函数2,2xkk 减函数减函数2522320 xy1-122对称轴对称轴：,2xkkZ对称中心对称中心：(,0)kkZ对称轴对称轴：,xkkZ对称中心对称中心：(,0)2 kkZ奇函数奇函数偶函数偶函数34 求求 函数的对称轴和对称中心函数的对称轴和对称中心sin(2)3yx 23zx 解解（1）令）令则则sin(2)sin3yxz sinyz 的对称轴为的对称轴为,2zkkZ 232xk 解得：对称轴为解得：对称轴为,122xkkZ(2)sinyz 的对称中心为的对称中心为(,0),kkZ 23xk 对称中心为对称中心为62xk zk (,0),Z62kk 练习练习35练习练习 求求 函数的对称轴和对称中心函数的对称轴和对称中心1cos()24yx 36正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质习题课习题课376 3/2一、基础题型 A奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D以上都不对 答案B38 3函数ysin(2x)为偶函数，00，当cosx1，即x2k(kZ)时，y取最大值为ab；当cosx1，即x2k(kZ)时，y取最小值为ab.若a0，当cosx1，即x2k(kZ)时，yminab；当cosx1，即x2k(kZ)时，ymaxab.44454647484950)sin3)(sin2()1(xxy6sinsin)1(2xxy62tty则xtsin令425)21(2t 11，t42521sin21maxyxt时，即当41sin1minyxt时，即当 11，求下列函数的最值例、351的最值、求函数xxyexcos6sin2142xxycos6)cos1(212解：1cos6cos22xx 11cos，令xt211)23(216222ttty则 11，t7)(21cos1maxyZkkxxt时，即当5)(21cos1maxyZkkxxt时，即当521sin21sin2)2(xxy221sin)2(yyx12211sin1yyx由022221yyy14841222yyyyy1313yyy或313yy或1031032yyy，所求值域为)331(535455565758 分析根据函数奇偶性定义进行判断，先检查定义域是否关于原点为对称区间，如果是，再验证f(x)是否等于f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数59606162 辨析解答忽视了以下内容：三角形中的最小角的范围不是090，而是060，又三角形是不等边三角形，故00与b0讨论676869练习练习 求下列函数的单调区间：求下列函数的单调区间：222242kxk解：由388kxk得3222242kxk由3788kxk得3,k88kk所求单调增区间为，Z37,88kkkZ所求单调递减区间为(2)3sin(2)4yx70 22 cos11cos3223sin4 cos4,33xyxyxxx 练习：求下列函数的值域归纳：归纳：解题中应注意三角函数的有界性解题中应注意三角函数的有界性对函数值的影响对函数值的影响71变形变形1:1:2sin4 sin2yabxbxya 已知的最大值为3，最小值为1，求函数的周期和最大和最小值。分类讨论法分类讨论法72变形变形2:2:已知关于已知关于x x的方程的方程2sin2sin2 2x-cosx+2m=0 x-cosx+2m=0有解有解,求求m m的取值范围的取值范围.法法1:1:分离参数法分离参数法73 答案D74 答案C7576 答案B77 4sin1、sin1、sin的大小顺序是()A s i n 1 s i n 1 s i n B sin1sinsin1 C s i n s i n 1 s i n 1 D sin1sin1sin 答案B 解析1弧度57.3，ysinx在(0，90)上是增函数，且11，sin1sinsin1.78 5下列函数中，奇函数的个数为()yx2sinx;ysinx，x0,2；ysinx，x，;yxcosx.A1个B2个C3个D4个 答案C 解析ysinx，x0,2的定义域不关于原点对称，不是奇函数，、符合奇函数的概念79 6y2sinx2的值域是()A2,2 B0,2 C2,0 DR 答案A 解析x20，sinx21,1，y2sinx22,28081 8函数yasinxb的最大值为1，最小值为7，则a_，b_.答案4382;)26sin()1(2的单调递减区间求函数、xy3、求下列函数的值域、求下列函数的值域1cos21cos2)2(;cos3sin)1(2xxyxxy 32,3,1sin4sin332xxxy的单调递减区间。求函数)23cos()2(xy 2,0,6cos1xxy83 正弦函数、余弦函数的图象都有无穷多条对称轴，其相邻两条对称轴间距离为半个周期，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点 解答三角函数的单调性问题一定要注意复合函数的单调性法则，更要注意函数的定义域 求函数yAsin(x)或yAcos(x)的单调区间时，0时，先利用诱导公式把x的系数化为正数，然后把x看作一个整体t，考虑函数yAsint(或yAsint)的单调区间利用复合函数单调性判定方法，构造不等式解之84课堂小结课堂小结:5、对称性：、对称性：y=sinx的图象对称轴为：的图象对称轴为：对称中心为：对称中心为：；，Zkkx2.)0 (Zkk，y=cosx的图象对称轴为：的图象对称轴为：对称中心为：对称中心为：；，Zkkx.)0 2(Zkk，任意两相邻对称轴任意两相邻对称轴(或对称中心或对称中心)的间距为半个周期；的间距为半个周期；对称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期对称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期.85 90tan18解,.44kkkZ所求函数单调递减区间为，3,44kk所求函数单调递增区间为，kZ.sin 293(tan)8xy（）练习练习 求下列函数的单调区间：求下列函数的单调区间：t9(tan)8y为减函数22,2,22,44xkkxkk由即，kZ为t=sinx的单调递增区间。322,2,223,44xkkxkk又即，kZ为t=sinx的单调递减区间。8611c o s()234124lo gxy（）1cos()0,34x解：由122234kxk当，9366,44kxkkZ 即为递减区间22342xkk当3366,44kxkkZ 即为递增区间。93|66,44xkxkkZ即为函数定义域。练习练习 求下列函数的单调区间：求下列函数的单调区间：1222342kxk得87(5)y=-|sin(x+)|4解：解：令令x+=u,4 则则 y=-|sinu|大致图象如下：大致图象如下：y=sinuy=|sinu|y=-|sinu|u2O1y-12222323减区间为减区间为Zkkku ,2 增区间为增区间为Zkkku ,2,即：即：Zkkkx ,4,43 y为增函数为增函数Zkkkx ,4,4 y为减函数为减函数练习练习 求下列函数的单调区间：求下列函数的单调区间：88函数函数y=sinxy=cosx图形图形定义域定义域值域值域最值最值单调性单调性奇偶性奇偶性周期周期对称性对称性2522320 xy21-1xRxR 1,1y 1,1y 22xk时，时，1maxy22xk 时，时，1miny 2xk时，时，1maxy2xk时，时，1miny-2,222xkk增函数增函数32,222xkk减函数减函数2,2xkk 增函数增函数2,2xkk 减函数减函数2522320 xy1-122对称轴对称轴：,2xkkZ对称中心对称中心：(,0)kkZ对称轴对称轴：,xkkZ对称中心对称中心：(,0)2 kkZ奇函数奇函数偶函数偶函数89 奇偶性奇偶性 单调性（单调区间）单调性（单调区间）奇函数奇函数偶函数偶函数 +2k,+2k,k Z2 2 单调递增单调递增 +2k,+2k,k Z2 23 单调递减单调递减 +2k,2k,k Z 单调递增单调递增2k,2k +,k Z单调递减单调递减函数函数余弦函数余弦函数正弦函数正弦函数2、定义域、定义域3、值域、值域1、周期性、周期性R-1,1 T=2 正弦、余弦函数的性质：正弦、余弦函数的性质：4、奇偶性与单调性：、奇偶性与单调性：课堂小结课堂小结: