设曲面S的方程为

设曲面设曲面 S 的方程为：的方程为：),(yxfz ,Dxoy 面上的投影区域为面上的投影区域为在在,Dd 设小区域设小区域,),(dyx 点点.),(,(的切平面的切平面上过上过为为yxfyxMS.,dsdAdAdsSzd 则则有有，为为截截切切平平面面为为柱柱面面，截截曲曲面面轴轴的的小小于于边边界界为为准准线线，母母线线平平行行以以 如图，如图，d),(yxMdAxyzs o 4 Applications of Multiple Integral一、The Surface Area,面面上上的的投投影影在在为为xoydAd,cos dAd,11cos),1,(22yxyxffffn dffdAyx221,122 DyxdffA 曲面曲面S的面积元素的面积元素曲面面积公式为：曲面面积公式为：dxdyyzxzAxyD 22)()(1设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(xzhy 曲面面积公式为：曲面面积公式为：.122dzdxxyzyAzxD 设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(zygx 曲面面积公式为：曲面面积公式为：;122dydzzxyxAyzD 同理可得同理可得xyzRRo利用对称性利用对称性,考虑第一卦限部分考虑第一卦限部分,则则18AA 22022dxRyxRR28R 22xRz .0,0:22RxxRyD Rdx08222Ryx222RzxDEg.1计算圆柱面计算圆柱面 222Rzx 被圆柱面被圆柱面 222Ryx 所截的部分的面积所截的部分的面积.Sol.A1yxzzDyxdd1822 曲面方程曲面方程 Sol.2222azyx axyx 22Eg.2 求球面求球面含在圆柱面含在圆柱面内部的那部分面积内部的那部分面积.利用对称性利用对称性,考虑第一卦限部分考虑第一卦限部分,222yxaz 曲面方程曲面方程.0,:22 yaxyxD则则dxdyzzADyx 2214dxdyyxaaD 2224 cos0220142ardrrada.4222aa )0(aSol.两曲面的交线为圆周两曲面的交线为圆周,222 azayx在在 x o y 平面上的投影域为平面上的投影域为:,:222ayxDxy 得得由由)(122yxaz ,2axzx,2ayzy 221yxzz ,441222yxaa 知知由由222yxaz 221yxzz,2dxdyyxaaAxyD 222441故故dxdyxyD 2rdrraada 022204122 a ).15526(62 a二、The Center of Mass of the Lamina当薄片是均匀的，重心称为当薄片是均匀的，重心称为形心形心.,1 DxdAx.1 DydAy DdA 其中其中,),(),(DDdyxdyxxx .),(),(DDdyxdyxyy 由元素法由元素法 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，平平面面薄薄片片的的重重心心ab xyo薄片关于薄片关于 轴对称轴对称x,0 y则则 DxdAx 1 20coscoscos2 bardrrdA)(16)(233224abab .)(222ababab Sol.)0(cos,cos之间的均匀薄片的重心之间的均匀薄片的重心求位于两圆求位于两圆babrar Eg.4 Sol.先求区域先求区域 D的面积的面积 A，20t，ax 20 adxxyA20)(20)sin()cos1(ttadta 2022)cos1(dtta.32a Da 2a)(xy 所所以以形形心心在在ax 上上，即即 ax ,DydxdyAy1 )(0201xyaydydxA adxxya2022)(61 203cos16dtta5.6a 由于区域关于直线由于区域关于直线ax 对称对称，所求形心坐标为所求形心坐标为 56(,)aa R Eg.6 在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上,要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片,使整个使整个的另一边长度应为多少的另一边长度应为多少?22xRyboRyxSol.建立坐标系如图建立坐标系如图.,0y由对称性知由对称性知Dyxydd022ddxRbRRyyx2332bRR 由此解得由此解得Rb32问接上去的均匀矩形薄片问接上去的均匀矩形薄片即有即有D薄片的重心恰好落在圆心上薄片的重心恰好落在圆心上,?b Eg.7 计算二重积分,dd)35(Dyxyx其中其中D 是由曲是由曲044222yxyx所围成的平面域所围成的平面域.Sol.2223)2()1(yx其形心坐标为其形心坐标为:面积为面积为:9ADyxxIdd5923)1(5ADyxydd3积分区域积分区域线线形心坐标2,1yxDyxxAxdd1DyxyAydd1AyAx35利用重心公式简化重积分计算利用重心公式简化重积分计算 三、The Moments of Inertia of the Lamina,),(2 DxdyxyI .),(2 DydyxxI 设有一平面薄片，占有设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域面上的闭区域D，在点，在点),(yx处的面密度为处的面密度为),(yx，假定，假定),(yx 在在D上连续，平面薄片对于上连续，平面薄片对于x轴和轴和y轴轴的转动惯量为的转动惯量为薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量x薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量ySol.设三角形的两直角边分别在设三角形的两直角边分别在x轴和轴和y轴上，如图轴上，如图aboyx对对y轴的转动惯量为轴的转动惯量为,2dxdyxIDy babydxxdy0)1(02.1213 ba 同理：对同理：对x轴的转动惯量为轴的转动惯量为dxdyyIDx 2.1213 ab.dvM 其中其中,1 dvxMx()The Center of Mass,1 dvyMy.1 dvzMz 四、Applications of Triple Integral()The Moments of Inertia,)(22 dvzyIx,)(22 dvxzIy,)(22 dvyxIz.)(222 dvzyxIo dddsinsin222rrr Sol.取球心为原点取球心为原点,z 轴为轴为 l 轴轴,:2222azyx 则则 zI zyxyxddd)(22 552a Ma252 olzxy322 rraddsind040320 球体的质量球体的质量 334aM Eg.9 求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量.设球设球 所占域为所占域为(用球坐标用球坐标)薄片对薄片对轴上单位质点的引力轴上单位质点的引力z 设有一平面薄片，占有设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域面上的闭区域D，在点在点),(yx处的面密度为处的面密度为),(yx，假定，假定),(yx 在在D上连续，计算该平面薄片对位于上连续，计算该平面薄片对位于 z轴上的点轴上的点),0,0(0aM处的单位质点的处的单位质点的引力引力)0(a,zyxFFFF ,)(),(23222 dayxxyxfFDx ,)(),(23222 dayxyyxfFDy .)(),(23222 dayxyxafFDz 为引力常数为引力常数f五、引力Sol.由积分区域的对称性知由积分区域的对称性知,0 yxFF dayxyxafFDz 23)(),(222 dayxafD 23)(1222oyzxFdrrardafR 0222023)(1.11222 aaRfa所求引力为所求引力为.112,0,022 aaRfa几何应用：曲面的面积几何应用：曲面的面积物理应用：重心、转动惯量、物理应用：重心、转动惯量、对质点的引力对质点的引力（注意审题，熟悉相关物理知识）（注意审题，熟悉相关物理知识）小结 DyxyxDdxdyyxI22:,)(解解1 434sincos02)sin(cos drrdI 4344)sin(cos31 d 4344)4(sin34 d补充题补充题:计算计算 04sin34dtt2 解解 2:222)21()21()21(yx其形心坐标为其形心坐标为:面积为面积为:21 A DyxxIdd 21)2121(A Dyxydd积分区域积分区域形心坐标形心坐标21,21 yxDyxxAxdd1DyxyAydd1AyAx 一、一、求锥面求锥面22yxz 被柱面被柱面xz22 所割下部分的所割下部分的曲面面积曲面面积.二、二、设 薄 片 所 占 的 闭 区 域设 薄 片 所 占 的 闭 区 域D是 介 于 两 个 圆是 介 于 两 个 圆 cos,cosbrar )0(ba 之间的闭区域之间的闭区域,求求均匀薄片的重心均匀薄片的重心.三、三、设有一等腰直角三角形薄片设有一等腰直角三角形薄片,腰长为腰长为a,各点处的各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方面密度等于该点到直角顶点的距离的平方,求薄片求薄片的重心的重心.四、四、设均匀薄片设均匀薄片(面密度为常数面密度为常数 1)1)所占闭区域所占闭区域D由抛物由抛物线线xy292 与直线与直线2 x所围成所围成,求求xI和和yI.练练 习习 题题五、求面密度为常量五、求面密度为常量 的匀质半圆环形薄片的匀质半圆环形薄片:0,222221 zyRxyR对位于对位于z轴上点轴上点 )0)(,0,0(0 aaM处单位质量的质点的引力处单位质量的质点的引力F.六、设由六、设由exoyxy 及及,ln所围的均匀薄板所围的均匀薄板(密度密度1),1),求此薄板绕哪一条垂直于求此薄板绕哪一条垂直于x轴的直线旋转时转动惯轴的直线旋转时转动惯 量最小量最小?一、一、2.二、二、)0,)(2(22bababa .三、三、).52,52(aa四、四、.796,572 yxII五、五、),(ln22211222222112222aRRaRRaRRaRRfF )11(,0221222aRaRfa练习题答案练习题答案