《微积分基础》模拟试题

微积分初步期末模拟试题一、填空题（每小题 4 分，本题共 20分）12函数f (x-2)二 x2 -4x + 2，贝y f (x) =_X2 -2_。.3若函数f (x) = xsin- + h x丰0，在x二0处连续，则k二 k, x = 0345曲线y二、;x在点（1,1）处的切线斜率是j1 (sin x cos 2 x x 2)dx = _一-i微分方程（y）3 + 4xy=y6 sin x的阶数为二、单项选择题（每小题 4 分，本题共 20分）A. (2,+w)B. (2,5C. (2,3) u (3,5)D. (2,3)u(3,52.设 y = lg2x ，贝 d y = (A）。111ln10A.dxB. dxC.dxDdxx lnl0x2xx3下列函数在指定区间（-卩+）上单调减少的是（B）。A. sin xB 3 xC. x 2Dex4.若函数 f (x)=x + . x (x 0),则 j f(x)dx = ( C）。1函数 f(x) =x + 51 ln( x 一 2)的定义域是（D）。Ax 2 + x + c1 2 3B. x 2 + x 2 + c2 3D5微分方程y = 0的通解为(D )A. y = 0B. y = cxC. y = x + cD.y = c三、计算题（本题共 44分，每小题 11 分）1 计算极限lim x2 + 2x一15。xt3x 2 一 9解：原式=lim(x + 5)( x 3)=-xT3 (x 一 3)(x + 3)32.设 y = x Jx + cos 3x，求 dy。匚31解：y = x 2 3sin3 x23丄dy =( x 2 3sin3 x)dx3. 计算不定积分J(2x - 1)iodx。解：J(2x - 1)iodx = 2J (2x - 1)iod(2x -1) = x - 1)n + c10解：J1 xe x dx = xe x0四、应用题(本题 16 分)4. 计算定积分 J 1xexdx 。1 - J1exdx = e - exo o用钢板焊接一个容积为4m3的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费 40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？解：设水箱的底边长为x，高为h，表面积为S，且有h =x2所以 S = x 2 + 4 xh = x 2 + ,xS，=2x-16x2令 S= 0，得 x = 2，因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当x = 2, h = 1时水 箱的表面积最小，此时的费用为 S| x 10 + 40 = 160 (元)x=2一、填空题(每小题 4分，本题共 20 分)1函数 f (x -1) = x2 - 2x + 2，贝y f (x) =_x2 +1 sin2x厶lim=2xt0 x3. 曲线y = x-2在点(1, 1)处的切线方程是y = -x + 3224.J (sinx)dx =sin x + c5微分方程xy + (y)4 sin x = ex+y的阶数为3二、单项选择题(每小题 4 分，本题共 20分)1函数f(x) =x的定义域是(C ).ln( x + 2)D. (-1,0) u(0,+s)A. (-2,+s)B. (-1,+s)C. (-2,-1) u (-1,+x)A0B1C 2D. -13.下列结论中(D )不正确.A. 若f (x)在a，b内恒有八x) 3解：原式=hm(x 丄 3)( x 一 3)xt3 (x 丄 1)(x 一 3)2设 y = In x + sin1，求 dy.x解： y = + cos 丄(一丄)x x x 2xcos()匚)dxx21cos 3计算不定积分Jdx x2解： J1cos 加=x2J cos1 d(i) = sin1 + cx xx4计算定积分 J e x ln xdx解：Je x In xdx =1x 2 ln x211 J e 兰 dx = e22 1 x 2四、应用题（本题 16 分）欲做一个底为正方形，容积为 32 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？32 解：设底的边长为x，高为h，用材料为y，由已知x2h = 32, h = 一x2于是32128y = x 2 + 4 xh = x 2 + 4 x -= x 2 +一x 2x令y = 2x 128 = 0，解得x = 4是唯一驻点，易知x = 4是函数的极小值 x 2点，也就是所求的最小值点，32此时有h = = 2，所以当x = 4，42h = 2 时用料最则 f ( x) =2. limxtOsin x2 x3.若函数f (x)=3x smxk,+1,x丰0在x = 0处连续，贝V k =1x = 0省一、填空题（每小题 4分，本题共 20 分）1函数 f (x + 2) = x2 + 4x + 2，4. J f (x)dx = x ln x + c，贝U 广(x)=5微分方程y = y的通解为_y = cex二、单项选择题（每小题 4 分，本题共 20分）+ P 5 x的定义域是（B）A (1,5)C (1,5B. (1,0) u (0,5D. (1,0) u (0,5)2设 y = lg2x，则 dy = ( C ).111ln10A. dxB.dxC.dxD.dxx2xx ln10x3.下列结论中(D )不正确.A. 若f (x)在a, b内恒有f(x) 0)，贝叮 f(x)dx = ( A ).A. x + ix + cB. x2 + x + cC 12 33 3C. x2 + x 2 + cD. x2 + x 2 + c2325微分方程(y)3 + 4xy=y5 sin x的阶数为(C )A. 2B. 3C.4D. 5三、计算题(本题共 44分，每小题 11 分)1 计算极限lim一1 .x-1 x 2 + 3x + 2解：原式=lim (x +1)(x-1) = lim = -2 xt_1 (x + 1)( x + 2) xt-1 x + 22设 y = 3x + cosex，求dy.解：y = 3x ln3 一 sinex - exdy = (3x ln3 - ex sinex)dx3计算不定积分J e dx解: J e dx = -J e：d() = -e: + cxx2丄-x24计算定积分J 2 xcos xdx隹兀兀2 一 2 sin xdx =+ cos xo020匹 解：J 2 x cos xdx = x sin x0四、应用题(本题 16 分)用钢板焊接一个容积为 4m 3的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费 40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？ 解：设水箱的底边长为x，高为h，表面积为S，且有h =- x2所以 S (x)二 x 2 + 4xh 二 x 2 + 16 ,xS(x)二 2x -x2令 S f(x) = 0，得 x 二 2 ,因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当x = 2, h = 1时水箱的表面积最小.此时的费用为 SQx 10 + 40 = 160 (元)