樊昌信版通信原理课件骄阳书苑

通信原理1骄阳书苑通信原理第第7章数字带通传输系统章数字带通传输系统 2骄阳书苑第7章数字带通传输系统l概述概述n数字调制：把数字基带信号变换为数字带通信号（已调信号）的过程。n数字带通传输系统：通常把包括调制和解调过程的数字传输系统。n数字调制技术有两种方法：u利用模拟调制的方法去实现数字式调制；u通过开关键控载波，通常称为键控法键控法。u基本键控方式：振幅键控、频移键控、相移键控n数字调制可分为二进制调制和多进制调制。振幅键控 频移键控 相移键控3骄阳书苑第7章数字带通传输系统l7.1 二进制数字调制原理二进制数字调制原理n7.1.1 二进制振幅键控(2ASK）u基本原理：p“通-断键控(OOK)”信号表达式 p波形”时发送“以概率，”时发送“以概率0P101Pt,Acos)(cOOKte4骄阳书苑第7章数字带通传输系统u2ASK信号的一般表达式其中 Ts 码元持续时间；g(t)持续时间为Ts的基带脉冲波形，通常假设是高 度为1，宽度等于Ts的矩形脉冲；an 第N个符号的电平取值，若取则相应的2ASK信号就是OOK信号。ttsteccos)(2ASKnsnnTtgats)()(P0P1an1,概率为概率为5骄阳书苑第7章数字带通传输系统u2ASK信号产生方法模拟调制法（相乘器法）键控法乘法器)(2teASK二进制不归零信号tccos)(tstccos)(ts)(2teASK开关电路6骄阳书苑第7章数字带通传输系统u2ASK信号解调方法 p非相干解调(包络检波法)p相干解调(同步检测法)带通滤波器全波整流器低通滤波器抽样判决器定时脉冲输出)(2teASKabcd带通滤波器相乘器低通滤波器抽样判决器定时脉冲输出)(2teASKtccos7骄阳书苑第7章数字带通传输系统p非相干解调过程的时间波形 8骄阳书苑第7章数字带通传输系统u功率谱密度 2ASK信号可以表示成 式中 s(t)二进制单极性随机矩形脉冲序列设：Ps(f)s(t)的功率谱密度 P2ASK(f)2ASK信号的功率谱密度则由上式可得由上式可见，2ASK信号的功率谱是基带信号功率谱Ps(f)的线性搬移（属线性调制）。知道了Ps(f)即可确定P2ASK(f)。ttsteccos)(2ASK)()(41)(2ASKcscsffPffPfP9骄阳书苑第7章数字带通传输系统由6.1.2节知，单极性的随机脉冲序列功率谱的一般表达式为式中 fs=1/Ts G(f)单个基带信号码元g(t)的频谱函数。对于全占空矩形脉冲序列，根据矩形波形g(t)的频谱特点，对于所有的m 0的整数，有，故上式可简化为将其代入得到msssssmffmfGPffGPPffP)()()1()()1()(220)()(nSaTmfGSS)()0()1()()1(2222fGPffGPPffPsss)()(41)(2ASKcscsffPffPfP10骄阳书苑第7章数字带通传输系统当概率P=1/2时，并考虑到则2ASK信号的功率谱密度为其曲线如下图所示。)()()0()1(41)()()1(4122222ASK2ccsccsffffGPfffGffGPPfP)()(SSTfSaTfGSTG)0(222)()(sin)()(sin16)(scscscscsASKTffTffTffTffTfP)()(161ccffff11骄阳书苑第7章数字带通传输系统p2ASK信号的功率谱密度示意图 12骄阳书苑第7章数字带通传输系统p从以上分析及上图可以看出：2ASK信号的功率谱由连续谱和离散谱两部分组成；连续谱取决于g(t)经线性调制后的双边带谱，而离散谱由载波分量确定。2ASK信号的带宽是基带信号带宽的两倍，若只计谱的主瓣（第一个谱零点位置），则有式中 fs=1/Ts即，2ASK信号的传输带宽是码元速率的两倍。sASKfB2213骄阳书苑第7章数字带通传输系统n7.1.2 二进制频移键控（2FSK）u基本原理 p表达式：在2FSK中，载波的频率随二进制基带信号在f1和f2两个频率点间变化。故其表达式为”时发送“”时发送“0),cos(A1),cos(A)(212FSKnnttte14骄阳书苑第7章数字带通传输系统p典型波形：p由图可见，2FSK 信号的波形(a)可以分解为波形(b)和波形（c），也就是说，一个2FSK信号可以看成是两个不同载频的2ASK信号的叠加。因此，2FSK信号的时域表达式又可写成15骄阳书苑第7章数字带通传输系统式中 g(t)单个矩形脉冲，Ts 脉冲持续时间；n和n分别是第n个信号码元（1或0）的初始相位，通常可令其为零。因此，2FSK信号的表达式可简化为)cos()()cos()()(212FSKnnsnnnsntnTtgatnTtgatePPan1,0,1概率为概率为PPan概率为概率为,01,1 ttsttste22112FSKcoscos)(16骄阳书苑第7章数字带通传输系统式中u2FSK信号的产生方法 p采用模拟调频电路来实现：信号在相邻码元之间的相位是连续变化的。p采用键控法来实现：相邻码元之间的相位不一定连续。ttsttste22112FSKcoscos)(nsnnTtgats)(1 nsnnTtgats)(2振荡器1f1反相器振荡器2f2选通开关选通开关相加器基带信号)(2teFSK17骄阳书苑第7章数字带通传输系统u2FSK信号的解调方法p非相干解调带通滤波器带通滤波器抽样判决器输出包络检波器包络检波器12)(2teFSK定时脉冲18骄阳书苑第7章数字带通传输系统p相干解调带通滤波器带通滤波器抽样判决器输出低通滤波器低通滤波器12)(2teFSK定时脉冲相乘器相乘器t1cost2cos19骄阳书苑第7章数字带通传输系统p其他解调方法：比如鉴频法、差分检测法、过零检测法等。下图给出了过零检测法过零检测法的原理方框图及各点时间波形。限幅微分整流脉冲展宽输出低通)(2teFSKabcdef20骄阳书苑第7章数字带通传输系统u功率谱密度对相位不连续的2FSK信号，可以看成由两个不同载频的2ASK信号的叠加，它可以表示为 其中，s1(t)和s2(t)为两路二进制基带信号。据2ASK信号功率谱密度的表示式，不难写出这种2FSK信号的功率谱密度的表示式：令概率P=，只需将2ASK信号频谱中的fc分别替换为f1和f2，然后代入上式，即可得到下式：ttsttsteFSK22112cos)(cos)()()()(41)()(41)(221122211ffPffPffPffPfPssssFSK21骄阳书苑第7章数字带通传输系统 其曲线如下：2112112FSK)()(sin)()(sin16)(sssssTffTffTffTffTfP222222)()(sin)()(sin16sssssTffTffTffTffT)()()()(1612211ffffffff22骄阳书苑第7章数字带通传输系统由上图可以看出：p相位不连续2FSK信号的功率谱由连续谱和离散谱组成。其中，连续谱由两个中心位于f1和f2处的双边谱叠加而成，离散谱位于两个载频f1和f2处；p连续谱的形状随着两个载频之差的大小而变化，若|f1 f2|fs，则出现双峰；p若以功率谱第一个零点之间的频率间隔计算2FSK信号的带宽，则其带宽近似为其中，fs=1/Ts为基带信号的带宽。图中的fc为两个载频的中心频率。sfffB2122FSK23骄阳书苑第7章数字带通传输系统n7.1.3 二进制相移键控（2PSK）u2PSK信号的表达式：在2PSK中，通常用初始相位0和分别表示二进制“1”和“0”。因此，2PSK信号的时域表达式为 式中，n表示第n个符号的绝对相位：因此，上式可以改写为)cos(A)(2PSKnctte”时发送“”时发送“，1,00nPtPttecc1,cosA,cosA)(2PSK概率为概率为24骄阳书苑第7章数字带通传输系统由于两种码元的波形相同，极性相反，故2PSK信号可以表述为一个双极性全占空矩形脉冲序列与一个正弦载波的相乘：式中这里，g(t)是脉宽为Ts的单个矩形脉冲，而an的统计特性为即发送二进制符号“0”时（an取+1），e2PSK(t)取0相位；发送二进制符号“1”时（an取-1），e2PSK(t)取相位。这种以载波的不同相位直接去表示相应二进制数字信号的调制方式，称为二进制绝对相移绝对相移方式方式。ttsteccos)(2PSKnsnnTtgats)()(PPan1,1,1概率为概率为25骄阳书苑第7章数字带通传输系统u典型波形26骄阳书苑第7章数字带通传输系统u2PSK信号的调制器原理方框图p模拟调制的方法 p键控法 乘法器)(2tePSK双极性不归零tccos)(ts码型变换tccos)(ts)(2tePSK开关电路移相0180027骄阳书苑第7章数字带通传输系统u2PSK信号的解调器原理方框图和波形图：带通滤波器相乘器低通滤波器抽样判决器定时脉冲输出)(2tePSKtccosabcde28骄阳书苑第7章数字带通传输系统波形图中，假设相干载波的基准相位与2PSK信号的调制载波的基准相位一致（通常默认为0相位）。但是，由于在2PSK信号的载波恢复过程中存在着的相位模糊，即恢复的本地载波与所需的相干载波可能同相，也可能反相，这种相位关系的不确定性将会造成解调出的数字基带信号与发送的数字基带信号正好相反，即“1”变为“0”，“0”变为“1”，判决器输出数字信号全部出错。这种现象称为2PSK 方式的“倒倒”现象现象或“反相工作反相工作”。这也是2PSK方式在实际中很少采用的主要原因。另外，在随机信号码元序列中，信号波形有可能出现长时间连续的正弦波形，致使在接收端无法辨认信号码元的起止时刻。为了解决上述问题，可以采用7.1.4节中将要讨论的差分相移键控（DPSK）体制。29骄阳书苑第7章数字带通传输系统u功率谱密度比较2ASK信号的表达式和2PSK信号的表达式：2ASK：2PSK：可知，两者的表示形式完全一样，区别仅在于基带信号s(t)不同（an不同），前者为单极性，后者为双极性。因此，我们可以直接引用2ASK信号功率谱密度的公式来表述2PSK信号的功率谱，即应当注意，这里的Ps(f)是双极性矩形脉冲序列的功率谱。ttsteccos)(2ASKPtPttecc1,cosA,cosA)(2PSK概率为概率为)()(41)(2cscsPSKffPffPfP30骄阳书苑第7章数字带通传输系统 由6.1.2节知，双极性的全占空矩形随机脉冲序列的功率谱密度为将其代入上式，得若P=1/2，并考虑到矩形脉冲的频谱：则2PSK信号的功率谱密度为)()0()21()()1(42222fGPffGPPffPsss)()()0()21(41)()()1(222222PSKccsccsffffGPfffGffGPPfP)()(SSTfSaTfGSTG)0(222)()(sin)()(sin4)(scscscscsPSKTffTffTffTffTfP31骄阳书苑第7章数字带通传输系统p功率谱密度曲线从以上分析可见，二进制相移键控信号的频谱特性与2ASK的十分相似，带宽也是基带信号带宽的两倍。区别仅在于当P=1/2时，其谱中无离散谱（即载波分量），此时2PSK信号实际上相当于抑制载波的双边带信号。因此，它可以看作是双极性基带信号作用下的调幅信号。32骄阳书苑第7章数字带通传输系统n7.1.4 二进制差分相移键控（2DPSK）u2DPSK原理p2DPSK是利用前后相邻码元的载波相对相位变化传递数字信息，所以又称相对相移键控相对相移键控。p假设为当前码元与前一码元的载波相位差，定义数字信息与 之间的关系为于是可以将一组二进制数字信息与其对应的2DPSK信号的载波相位关系示例如下：”表示数字信息“，”表示数字信息“10,0 0 0 0 00 0 0 0 0 02DPSK01 1 0 0 1 0 1 1或信号相位：二进制数字信息：33骄阳书苑第7章数字带通传输系统相应的2DPSK信号的波形如下：由此例可知，对于相同的基带信号，由于初始相位不同，2DPSK信号的相位可以不同。即2DPSK信号的相位并不直接代表基带信号，而前后码元的相对相位才决定信息符号。0 0 0 00 0 0 0 0 02DPSK01 1 0 0 1 0 1 1或信号相位：二进制数字信息：34骄阳书苑第7章数字带通传输系统p数字信息与之间的关系也可定义为p2DPSK信号的矢量图在B方式中，当前码元的相位相对于前一码元的相位改变/2。因此，在相邻码元之间必定有相位突跳。在接收端检测此相位突跳就能确定每个码元的起止时刻。”表示数字信息“，”表示数字信息“01,0参考相位参考相位/2/2(a)A方式 参考相位参考相位/2/2(b)B方式 35骄阳书苑第7章数字带通传输系统u2DPSK信号的产生方法由上图可见，先对二进制数字基带信号进行差分编码，即把表示数字信息序列的绝对码变换成相对码（差分相对码（差分码）码），然后再根据相对码进行绝对调相，从而产生二进制差分相移键控信号。上图中使用的是传号差分码，即载波的相位遇到原数字信息“1”变化，遇到“0”则不变。36骄阳书苑第7章数字带通传输系统p2DPSK信号调制器原理方框图差分码可取传号差分码或空号差分码。其中，传号差分码的编码规则为式中，为模2加，bn-1为bn的前一码元，最初的bn-1可任意设定。上式的逆过程称为差分译码（码反变换），即tccos)(ts)(2teDPSK开关电路移相01800码变换1nnnbab1nnnbba37骄阳书苑第7章数字带通传输系统u2DPSK信号的解调方法之一 p相干解调(极性比较法)加码反变换法原理：先对2DPSK信号进行相干解调，恢复出相对码，再经码反变换器变换为绝对码，从而恢复出发送的二进制数字信息。在解调过程中，由于载波相位模糊性的影响，使得解调出的相对码也可能是“1”和“0”倒置，但经差分译码（码反变换）得到的绝对码不会发生任何倒置的现象，从而解决了载波相位模糊性带来的问题。38骄阳书苑第7章数字带通传输系统p2DPSK的相干解调器原理图和各点波形 带通滤波器相乘器低通滤波器抽样判决器定时脉冲输出)(DPSK2tetccos码反变换器abcdef39骄阳书苑第7章数字带通传输系统u2DPSK信号的解调方法之二：差分相干解调(相位比较）法 带通滤波器相乘器低通滤波器抽样判决器定时脉冲输出)(DPSK2te延迟Tsabcde40骄阳书苑第7章数字带通传输系统p用这种方法解调时不需要专门的相干载波，只需由收到的2DPSK信号延时一个码元间隔，然后与2DPSK信号本身相乘。相乘器起着相位比较的作用，相乘结果反映了前后码元的相位差，经低通滤波后再抽样判决，即可直接恢复出原始数字信息，故解调器中不需要码反变换器。u2DPSK系统是一种实用的数字调相系统，但其抗加性白噪声性能比2PSK的要差。41骄阳书苑第7章数字带通传输系统u功率谱密度 从前面讨论的2DPSK信号的调制过程及其波形可以知道，2DPSK可以与2PSK具有相同形式的表达式。所不同的是2PSK中的基带信号s(t)对应的是绝对码序列；而2DPSK中的基带信号s(t)对应的是码变换后的相对码序列。因此，2DPSK信号和2PSK信号的功率谱密度是完全一样的。信号带宽为与2ASK的相同，也是码元速率的两倍。sfB2B2PSKDPSK242骄阳书苑第7章数字带通传输系统l7.2 二进制数字调制系统的抗噪声性能二进制数字调制系统的抗噪声性能n概述u通信系统的抗噪声性能是指系统克服加性噪声影响的能力。在数字通信系统中，信道噪声有可能使传输码元产生错误，错误程度通常用误码率来衡量。因此，与分析数字基带系统的抗噪声性能一样，分析数字调制系统的抗噪声性能，也就是求系统在信道噪声干扰下的总误码率。u分析条件：假设信道特性是恒参信道，在信号的频带范围内具有理想矩形的传输特性(可取其传输系数为K)；信道噪声是加性高斯白噪声。并且认为噪声只对信号的接收带来影响，因而分析系统性能是在接收端进行的。43骄阳书苑第7章数字带通传输系统n7.2.1 二进制振幅键控(2ASK)系统的抗噪声性能u同步检测法的系统性能p分析模型带通滤波器相乘器低通滤波器抽样判决器定时脉冲输出tccos2发送端信道)(tsT)(tni)(tyi)(ty)(txeP44骄阳书苑第7章数字带通传输系统p计算：设在一个码元的持续时间Ts内，其发送端输出的信号波形可以表示为式中则在每一段时间(0,Ts)内，接收端的输入波形为式中，ui(t)为uT(t)经信道传输后的波形。”时发送“”时发送“001)()(tutsTTtTttAtuScT其它00cos)(”时发送“”时发送“0)(1)()()(tntntutyiiii45骄阳书苑第7章数字带通传输系统为简明起见，认为信号经过信道传输后只受到固定衰减，未产生失真（信道传输系数取为K)，令a=AK，则有而ni(t)是均值为0的加性高斯白噪声。假设接收端带通滤波器具有理想矩形传输特性，恰好使信号无失真通过，则带通滤波器的输出波形为式中，n(t)是高斯白噪声ni(t)经过带通滤波器的输出噪声。tTtttuSci其它00cosa)(”时发送“”时发送“0)(1)()()(tntntutyi46骄阳书苑第7章数字带通传输系统由第3章随机信号分析可知，n(t)为窄带高斯噪声，其均值为0，方差为n2，且可表示为于是有y(t)与相干载波2cos ct相乘，然后由低通滤波器滤除高频分量，在抽样判决器输入端得到的波形为ttnttntncsccsin)(cos)()(ttnttnttnttntatycscccscccsin)(cos)(sin)(cos)(cos)(”时发“”时发“0sin)(cos)(1sin)(cos)(ttnttnttnttnacscccscc”符号发送“”符号发送“0),(1),()(tntnatxcc47骄阳书苑第7章数字带通传输系统式中，a为信号成分，由于nc(t)也是均值为0、方差为n2的高斯噪声，所以x(t)也是一个高斯随机过程，其均值分别为a（发“1”时）和0（发“0”时），方差等于n2。设对第k个符号的抽样时刻为kTs，则x(t)在kTs时刻的抽样值是一个高斯随机变量。因此，发送“1”时，x的一维概率密度函数为”符号发送“”符号发送“0),(1),()(tntnatxcc”时发送“”时发送“0)(1)(kTxsscsckTnkTnax2212)(exp21)(nnaxxf48骄阳书苑第7章数字带通传输系统发送“0”时，x的一维概率密度函数为f1(x)和f0(x)的曲线如下：若取判决门限为b，规定判决规则为x b时，判为“1”x b时，判为“0”2202exp21)(nnxxf49骄阳书苑第7章数字带通传输系统判决规则为：x b时，判为“1”x b时，判为“0”则当发送“1”时，错误接收为“0”的概率是抽样值x小于或等于b的概率，即式中同理，发送“0”时，错误接收为“1”的概率是抽样值x大于b的概率，即bdxxfbxPP)()()1/0(1naberfc2211 xdxerfcue22ubdxxfbxPP)()()0/1(0nberfc22150骄阳书苑第7章数字带通传输系统设发“1”的概率P(1)为，发“0”的概率为P(0)，则同步检测时2ASK系统的总误码率为上式表明，当P(1)、P(0)及f1(x)、f0(x)一定时，系统的误码率Pe与判决门限b的选择密切相关。)1/0()0()1/0()1(PPPPPebbdxxfPdxxfP)()0()()1(0151骄阳书苑第7章数字带通传输系统p最佳门限从曲线求解从阴影部分所示可见，误码率Pe等于图中阴影的面积。若改变判决门限b，阴影的面积将随之改变，即误码率Pe的大小将随判决门限b而变化。进一步分析可得，当判决门限b取P(1)f1(x)与P(0)f0(x)两条曲线相交点b*时，阴影的面积最小。即判决门限取为b*时，系统的误码率Pe最小。这个门限b*称为最佳判决门限。52骄阳书苑第7章数字带通传输系统从公式求解最佳判决门限也可通过求误码率Pe关于判决门限b的最小值的方法得到，令得到即 将f1(x)和f0(x)的公式代入上式，得到化简上式，整理后可得：此式就是所需的最佳判决门限。0bPe0)()0()()1(*0*1bfPbfP)()0()()1(*0*1bfPbfP22*22*2)(exp2)0(2)(exp2)1(nnnnbPabP)1()0(ln22*PPaabn53骄阳书苑第7章数字带通传输系统若发送“1”和“0”的概率相等，则最佳判决门限为b*=a/2此时，2ASK信号采用相干解调（同步检测）时系统的误码率为式中为解调器输入端的信噪比。当r 1，即大信噪比时，上式可近似表示为)1()0(ln22*PPaabn421rerfcPe222nar4/r1erPe54骄阳书苑第7章数字带通传输系统u包络检波法的系统性能p分析模型：只需将相干解调器（相乘-低通）替换为包络检波器（整流-低通），即可以得到2ASK采用包络检波法的系统性能分析模型。p计算显然，带通滤波器的输出波形y(t)与相干解调法的相同:当发送“1”符号时，包络检波器的输出波形为 当发送“0”符号时，包络检波器的输出波形为”时发“”时发“0sin)(cos)(1sin)(cos)()(ttnttnttnttnatycscccscc)()()(22tntnatVsc)()()(22tntntVsc55骄阳书苑第7章数字带通传输系统 由3.6节的讨论可知，发“1”时的抽样值是广义瑞利型随机变量；发“0”时的抽样值是瑞利型随机变量，它们的一维概率密度函数分别为式中，n2为窄带高斯噪声n(t)的方差。2222/)(2021)(naVnneaVIVVf222/20)(nVneVVf56骄阳书苑第7章数字带通传输系统设判决门限为b，规定判决规则为抽样值V b 时，判为“1”抽样值V b 时，判为“0”则发送“1”时错判为“0”的概率为上式中的积分值可以用Marcum Q函数计算，Marcum Q函数的定义是bbdVVfdVVfbVPP)(1)()()1/0(101baVnndVeaVIVn2222/)(2021dtettIQt2/)(022),(57骄阳书苑第7章数字带通传输系统令上式中则上面的P(0/1)公式可借助Marcum Q函数表示为式中，r=a2/n2为信号噪声功率比；b0=b/n 为归一化门限值。dtettIQt2/)(022),(nnnVtba，),(1)1/0(nnbaQP),2(10brQ58骄阳书苑第7章数字带通传输系统同理，当发送“0”时错判为“1”的概率为故系统的总误码率为当P(1)=P(0)时，有bdVVfbVPP)()()0/1(02/2/2/2202222bbbVneedVeVnn)0/1()0()1/0()1(PPPPPe2/020)0(),2(1)1(bePbrQP2/02021),2(121beebrQP59骄阳书苑第7章数字带通传输系统 上式表明，包络检波法的系统误码率取决于信噪比r和归一化门限值b0。按照上式计算出的误码率Pe等于下图中阴影面积的一半。由图可见，若b0变化，阴影部分的面积也随之而变；当b0处于f1(V)和f0(V)两条曲线的相交点b0*时，阴影部分的面积最小，即此时系统的总误码率最小。b0*为归一化最佳判决门限值。2/02021),2(121beebrQP60骄阳书苑第7章数字带通传输系统p最佳门限最佳门限也可通过求极值的方法得到，令可得当P(1)=P(0)时，有即f1(V)和f0(V)两条曲线交点处的包络值V就是最佳判决门限值，记为b*。b*和归一化最佳门限值b0*的关系为b*=b0*n。由f1(V)和f0(V)的公式和上式，可得出0bPe)()0()()1(*0*1bfPbfP)()(*0*1bfbf2022ln2n*nabIar61骄阳书苑第7章数字带通传输系统 上式为一超越方程，求解最佳门限值的运算比较困难，下面给出其近似解为 因此有而归一化最佳门限值b0*为对于任意的信噪比r，b0*介于21/2和(r/2)1/2之间。2022ln2n*nabIar11222*2841122naabar时时121,2/*0rrrbbn时时121,2/*rrabn62骄阳书苑第7章数字带通传输系统p实际工作情况在实际工作中，系统总是工作在大信噪比的情况下，因此最佳门限应取 即此时系统的总误码率为当r 时，上式的下界为将上式和同步检测法（即相干解调）的误码率公式想比较可以看出：在相同的信噪比条件下，同步检测法的抗噪声性能优于包络检波法，但在大信噪比时，两者性能相差不大。然而，包络检波法不需要相干载波，因而设备比较简单。另外，包络检波法存在门限效应，同步检测法无门限效应。2*0rb 2*ab421441reererfcP421reeP63骄阳书苑第7章数字带通传输系统例例7.2.1 设有一2ASK信号传输系统，其码元速率为RB=4.8 106波特，发“1”和发“0”的概率相等，接收端分别采用同步检测法和包络检波法解调。已知接收端输入信号的幅度a=1 mV，信道中加性高斯白噪声的单边功率谱密度n0=2 10-15 W/Hz。试求(1)同步检测法解调时系统的误码率；(2)包络检波法解调时系统的误码率。【解】(1)根据2ASK信号的频谱分析可知，2ASK信号所需的传输带宽近似为码元速率的两倍，所以接收端带通滤波器带宽为带通滤波器输出噪声平均功率为信噪比为Hz016.926BRBW0192.1n802Bn1261092.1210128622nar64骄阳书苑第7章数字带通传输系统于是，同步检测法解调时系统的误码率为包络检波法解调时系统的误码率为可见，在大信噪比的情况下，包络检波法解调性能接近同步检测法解调性能。45.641066.1261416.311eerPr/e45.64105.72121eePre65骄阳书苑第7章数字带通传输系统n7.2.2 二进制频移键控(2FSK)系统的抗噪声性能u同步检测法的系统性能p分析模型 带通滤波器相乘器低通滤波器抽样判决器定时脉冲输出t1cos2发送端信道)(tsT)(tni)(tyi)(1ty)(1txeP带通滤波器相乘器低通滤波器t2cos2)(2ty)(2tx1266骄阳书苑第7章数字带通传输系统p分析计算设“1”符号对应载波频率f1（1），“0”符号对应载波频率f2（2），则在一个码元的持续时间Ts内，发送端产生的2FSK信号可表示为式中”时发送“”时发送“0)(1)()(01tututsTTTtTttAtuST其它00cos)(11tTttAtuST其它00cos)(2067骄阳书苑第7章数字带通传输系统因此，在时间(0,Ts)内，接收端的输入合成波形为 即式中，ni(t)为加性高斯白噪声，其均值为0。”时发送“”时发送“0)()(1)()()(01tntKutntKutyiTiTi”时发送“”时发送“0),(cos1),(cos21tntatntatyiii68骄阳书苑第7章数字带通传输系统 在分析模型图中，解调器采用两个带通滤波器来区分中心频率分别为f1和f2的信号。中心频率为f1的带通滤波器只允许中心频率为f1的信号频谱成分通过，而滤除中心频率为f2的信号频谱成分；中心频率为f2的带通滤波器只允许中心频率为f2的信号频谱成分通过，而滤除中心频率为f1的信号频谱成分。这样，接收端上下支路两个带通滤波器的输出波形和分别为式中，n1(t)和n2(t)分别为高斯白噪声ni(t)经过上下两个带通滤波器的输出噪声窄带高斯噪声，其均值同为0，方差同为n2，只是中心频率不同而已，即”时发送“”时发送“0)(1)(cos)(1111tntntaty”时发送“”时发送“0)(cos1)()(2222tntatnty69骄阳书苑第7章数字带通传输系统现在假设在时间(0,Ts)内发送“1”符号（对应1），则上下支路两个带通滤波器的输出波形分别为它们分别经过相干解调后，送入抽样判决器进行比较。比较的两路输入波形分别为上支路 下支路式中，a 为信号成分，n1c(t)和n2c(t)均为低通型高斯噪声，其均值为零，方差为n2。ttnttntnsc11111sin)(cos)()(ttnttntnsc22222sin)(cos)()(ttnttnatysc11111sin)(cos)()(ttnttntysc22222sin)(cos)()()()(11tnatxc)()(22tntxc70骄阳书苑第7章数字带通传输系统因此，x1(t)和x2(t)抽样值的一维概率密度函数分别为当x1(t)的抽样值x1小于x2(t)的抽样值x2时，判决器输出“0”符号，造成将“1”判为“0”的错误，故这时错误概率为式中，z=x1 x2，故z是高斯型随机变量，其均值为a，方差为z2 =2 n2。22112)(exp21)(nnaxxf22222exp21)(nnxxf)0()0()()1/0(2121zPxxPxxPP71骄阳书苑第7章数字带通传输系统设z的一维概率密度函数为f(z)，则由上式得到同理可得，发送“0”错判为“1”的概率 显然，由于上下支路的对称性，以上两个错误概率相等。于是，采用同步检测时2FSK系统的总误码率为在大信噪比条件下，上式可以近似表示为dzaxdzzfzPPzz02202)(exp21)()0()1/0(221rerfc221)()0/1(21rerfcxxPP221rerfcPe221reerP72骄阳书苑第7章数字带通传输系统u包络检波法的系统性能 p分析模型带通滤波器带通滤波器抽样判决器输出包络检波器包络检波器12)(2teFSK定时脉冲73骄阳书苑第7章数字带通传输系统p分析计算这时两路包络检波器的输出 上支路：下支路：由随机信号分析可知，V1(t)的抽样值V1服从广义瑞利分布，V2(t)的抽样值V2服从瑞利分布。其一维概率密度函数分别为显然，发送“1”时，若V1小于V2，则发生判决错误。)()()(21211tntnatVsc)()()(22222tntntVsc22212/)(210211)(naVnneaVIVVf2222/222)(nVneVVf74骄阳书苑第7章数字带通传输系统错误概率为令并代入上式，经过简化可得212121)()()()1/0(dVdVVfVfVVPPc1022112)()(dVdVVfVfVV1022212102122expdV/aV-aVIVnnn102/)2(210212221dVeaVIVnaVnnnVt12naz275骄阳书苑第7章数字带通传输系统根据Marcum Q函数的性质，有所以同理可求得发送“0”时判为“1”的错误概率，其结果与上式完全一样，即有于是，2FSK信号包络检波时系统的总误码率为02022222110dt(zt)etIe/P)/z(tz1)(0zQ02/)(022dtezttIzt，222121102r/zee/P22121)()0/1(reVVPP221reeP76骄阳书苑第7章数字带通传输系统p结论 将上式与2FSK同步检波时系统的误码率公式比较可见，在大信噪比条件下，2FSK信号包络检波时的系统性能与同步检测时的性能相差不大，但同步检测法的设备却复杂得多。因此，在满足信噪比要求的场合，多采用包络检波法 77骄阳书苑第7章数字带通传输系统p例例7.2.2 采用2FSK方式在等效带宽为2400Hz的传输信道上传输二进制数字。2FSK信号的频率分别为f1=980 Hz，f2=1580 Hz，码元速率RB=300 B。接收端输入（即信道输出端）的信噪比为6dB。试求：（1）2FSK信号的带宽；（2）包络检波法解调时系统的误码率；（3）同步检测法解调时系统的误码率。【解解】（1）根据式(7.1-22)，该2FSK信号的带宽为 （2）由于误码率取决于带通滤波器输出端的信噪比。由于FSK接收系统中上、下支路带通滤波器的带宽近似为1200Hz300298015802122FSKsfffB600Hz22BsRfB78骄阳书苑第7章数字带通传输系统它仅是信道等效带宽（2400Hz）的1/4，故噪声功率也减小了1/4，因而带通滤波器输出端的信噪比比输入信噪比提高了4倍。又由于接收端输入信噪比为6dB，即4倍，故带通滤波器输出端的信噪比应为将此信噪比值代入误码率公式，可得包络检波法解调时系统的误码率（3）同理可得同步检测法解调时系统的误码率 1644r482107.12121eePre5821039.3e32121reerP79骄阳书苑第7章数字带通传输系统n7.2.3 二进制相移键控(2PSK)和二进制差分相移键控(2DPSK)系统的抗噪声性能u信号表达式无论是2PSK信号还是2DPSK，其表达式的形式完全一样。在一个码远的持续时间Ts内，都可表示为式中当然，sT(t)代表2PSK信号时，上式中“1”及“0”是原始数字信息（绝对码）；当sT(t)代表2DPSK信号时，上式中“1”及“0”是绝对码变换成相对码后的“1”及“0”。”时发送“”时发送“0)()(1)()(101tutututsTTTTtTttAtuScT其它00cos)(180骄阳书苑第7章数字带通传输系统u2PSK相干解调系统性能 p分析模型p分析计算接收端带通滤波器输出波形为经过相干解调后，送入抽样判决器的输入波形为带通滤波器相乘器低通滤波器抽样判决器定时脉冲输出tccos2发送端信道)(tsT)(tni)(tyi)(ty)(txeP”时发送“，”时发送“0sin)(cos)(1,sin)(cos)()(ttnttnattnttnatycscccscc”符号发送“”符号发送“0),(1),()(tnatnatxcc81骄阳书苑第7章数字带通传输系统由于nc(t)是均值为0，方差为n2的高斯噪声，所以x(t)的一维概率密度函数为由最佳判决门限分析可知，在发送“1”符号和发送“0”符号概率相等时，最佳判决门限b*=0。此时，发“1”而错判为“0”的概率为同理，发送“0”而错判为“1”的概率为 时发送“12)(exp21)(221nnaxxf”时发送“02)(exp21)(220nnaxxf01)()0()1/0(dxxfxPPrerfc2100)()0()0/1(dxxfxPPrerfc2182骄阳书苑第7章数字带通传输系统故2PSK信号相干解调时系统的总误码率为在大信噪比条件下，上式可近似为)1/0()0()1/0()1(PPPPPererfc21reerP2183骄阳书苑第7章数字带通传输系统u2DPSK信号相干解调系统性能 p分析模型：相干解调法2DPSK的相干解调法，又称极性比较-码反变换法，其模型如上。原理是：对2DPSK信号进行相干解调，恢复出相对码序列，再通过码反变换器变换为绝对码序列，从而恢复出发送的二进制数字信息。因此，码反变换器输入端的误码率可由2PSK信号采用相干解调时的误码率公式来确定。于是，2DPSK信号采用极性比较-码反变换法的系统误码率，只需在2PSK信号相干解调误码率公式基础上再考虑码反变换器对误码率的影响即可。带通滤波器相乘器低通滤波器抽样判决器定时脉冲输出)(DPSK2tetccos码反变换器abcdef84骄阳书苑第7章数字带通传输系统其简化模型如图如下：码反变换器对误码的影响 eP码反变换器eP相对码绝对码 nb na 1001010110111001101nnab 1001011011100101nnab 100111101110101nnab 0101110101nnab（无误码时）（1个错码时）（连续2个错码时）（连续n个错码时）85骄阳书苑第7章数字带通传输系统p误码率 设Pe为码反变换器输入端相对码序列bn的误码率，并假设每个码出错概率相等且统计独立，Pe 为码反变换器输出端绝对码序列an的误码率，由以上分析可得式中Pn为码反变换器输入端bn序列连续出现n个错码的概率，进一步讲，它是“n个码元同时出错，而其两端都有1个码元不错”这一事件的概率。由上图分析可得，得到 nePPPP22221eeeeePPPPPP21)1()1()1(2222)1()1()1(eeeeePPPPPP neeeneenPPPPPP2)1()1()1(代入上式代入上式)()1(222neeeeePPPPP)1()1(222neeeeePPPPP86骄阳书苑第7章数字带通传输系统因为误码率总小于1，所以下式必成立将上式代入式可得由上式可见，若Pe很小，则有Pe/Pe 2 若Pe很大，即Pe 1/2，则有Pe/Pe 1 这意味着Pe总是大于Pe。也就是说，反变换器总是使误码率增加，增加的系数在12之间变化。eneeePPPP11)1(2)1()1(222neeeeeePPPPPPeeePPP)1(287骄阳书苑第7章数字带通传输系统将2PSK信号相干解调时系统的总误码率式代入可得到2DPSK信号采用相干解调加码反变换器方式时的系统误码率为当Pe 0，则判为“1”正确接收若x +d，不会发生错判；同理，当信号电平等于-(M-1)d时，若nc d)噪声抽样绝对值大于d的概率。因为nc是均值为0，方差为n2的正态随机变量，故有)(11)(212)(2dnPMdnPMdnPMMPcccedxncdxednPn222/22142骄阳书苑第7章数字带通传输系统将代入上式，得到式中dxncdxednPn222/22ndxnederfcMdxeMPn2112211222/xzdzexerfc22)(143骄阳书苑第7章数字带通传输系统u误码率和信噪比的关系为了找到误码率Pe和接收信噪比r 的关系，我们将上式作进一步的推导。首先来求信号平均功率。对于等概率的抑制载波MASK信号，其平均功率等于由上式得到将上式代入误码率公式，得到误码率 上式中的Ps/n2 就是信噪比r，所以上式可以改写为当M=2时，上式变为2/1222612/)12(2MisMdidMP1622MPds221311nsePMerfcMPrMerfcMPe13112rerfcPe21144骄阳书苑第7章数字带通传输系统u误码率曲线 Per(dB)145骄阳书苑第7章数字带通传输系统n7.5.2 MFSK系统的抗噪声性能u非相干解调时的误码率p分析模型V1(t)抽样判决带通滤波f1包络检波带通滤波fM包络检波输入输出VM(t)定时脉冲带通滤波f2包络检波.146骄阳书苑第7章数字带通传输系统p误码率分析计算假设：1、当某个码元输入时，M个带通滤波器的输出中仅有一个是信号加噪声，其他各路都只有噪声。2、M路带通滤波器中的噪声是互相独立的窄带高斯噪声，其包络服从瑞利分布。故这(M-1)路噪声的包络都不超过某个门限电平h的概率等于其中P(h)是一路滤波器的输出噪声包络超过此门限h的概率，由瑞利分布公式它等于式中，N 滤波器输出噪声的包络；n2 滤波器输出噪声的功率。1)(1 MhPhhNnnnedNeNhP22222/2/2)(147骄阳书苑第7章数字带通传输系统假设这(M-1)路噪声都不超过此门限电平h就不会发生错误判决，则式的概率就是不发生错判的概率。因此，有任意一路或一路以上噪声输出的包络超过此门限就将发生错误判决，此错判的概率将等于显然，它和门限值h有关。下面就来讨论h值如何决定。1)(1 MhP112/112/122221)1(11)(1 1)(MnnhnMhMennenMehPhP148骄阳书苑第7章数字带通传输系统有信号码元输出的带通滤波器的输出电压包络服从广义瑞利分布：式中，I0()第一类零阶修正贝赛尔函数；x 输出信号和噪声之和的包络；A 输出信号码元振幅；n2 输出噪声功率。其他路中任何路的输出电压值超过了有信号这路的输出电压值x就将发生错判。因此，这里的输出信号和噪声之和x就是上面的门限值h。因此，发生错误判决的概率是 将前面两式代入上式，得到计算结果如下：0,21exp)(222202xAxAxIxxpnnn0)()(dhhPhpPee149骄阳书苑第7章数字带通传输系统上式是一个正负项交替的多项式，在计算求和时，随着项数增加，其值起伏振荡，但是可以证明它的第1项是它的上界，即有上式可以改写为222222)1(2/1111102/)1(20212111)1(1)1(nnnnnAMnnMnhnnnnAeennMdheAhIhnMeP224/21nAeeMP2/2/212120rEeeMeMP150骄阳书苑第7章数字带通传输系统由于一个M进制码元含有k比特信息，所以每比特占有的能量等于E/k，这表示每比特的信噪比将r=krb代入得出在上式中若用M代替(M-1)/2，不等式右端的值将增大，但是此不等式仍然成立，所以有这是一个比较弱的上界，但是它可以用来说明下面的问题。krkErb/20224/21nAeeMP)2/exp(21bekrMP)2/exp(bekrMP151骄阳书苑第7章数字带通传输系统因为所以上式可以改写为 由上式可以看出，当k 时，Pe按指数规律趋近于0，但要保证上式条件表示，只要保证比特信噪比rb大于2ln2=1.391.42 dB，则不断增大k，就能得到任意小的误码率。对于MFSK体制而言，就是以增大占用带宽换取误码率的降低。但是，随着k的增大，设备的复杂程度也按指数规律增大。所以k的增大是受到实际应用条件的限制的。keMk2ln2 2ln2expberkP2ln2,02ln2bbrr即152骄阳书苑第7章数字带通传输系统p码元错误率Pe和比特错误率Pb之间的关系假定当一个M进制码元发生错误时，将随机地错成其他(M-1)个码元之一。由于M 进制信号共有M种不同的码元，每个码元中含有k个比特，M=2k。所以，在一个码元中的任一给定比特的位置上，出现“1”和“0”的码元各占一半，即出现信息“1”的码元有M/2种，出现信息“0”的码元有M/2种。例：图中，M=8，k=3，在任一列中均有4个“0”和4个“1”。所以若一个码元错成另一个码元时，在给定的比特位置上发生错误的概率只有4/7。码元比特 00 0 0 10 0 1 20 1 0 30 1 1 41 0 0 51 0 1 61 1 0 71 1 1153骄阳书苑第7章数字带通传输系统一般而言，在一个给定的码元中，任一比特位置上的信息和其他(2k-1 1)种码元在同一位置上的信息相同，和其他2k-1种码元在同一位置上的信息则不同。所以，比特错误率Pb和码元错误率Pe之间的关系为当k很大时，)2/1(1 21221keekkbPPP2/ebPP 154骄阳书苑第7章数字带通传输系统p误码率曲线(a)非相干解调rbPe155骄阳书苑第7章数字带通传输系统u相干解调时的误码率p计算结果给出如下：p上式较难作数值计算，为了估计相干解调时MFSK信号的误码率，可以采用下式给出的误码率上界公式：dAdueePMrAuAe122/2/2221211)()1(rerfcMPe156骄阳书苑第7章数字带通传输系统p误码率曲线(b)相干解调Perb157骄阳书苑第7章数字带通传输系统p比较相干和非相干解调的误码率：由曲线图可见，当k 7时，两者的区别可以忽略。这时相干和非相干解调误码率的上界都可以用下式表示：224/21nAeeMP(a)非相干解调rbPe(b)相干解调Perb158骄阳书苑第7章数字带通传输系统n7.5.3 MPSK系统的抗噪声性能uQPSK系统的性能p噪声容限 p误码率：设f()为接收矢量（包括信号和噪声）相位的概率密度，则发生错误的概率等于下面将用简单方法计算上式。011100109002/0)(1dfPe159骄阳书苑第7章数字带通传输系统设：信号表示式为式中 可知，当QPSK码元的相位k等于45时，故信号码元相当于是互相正交的两个2PSK码元，其幅度分别为接收信号幅度的1/21/2倍，功率为接收信号功率的(1/2)倍。另一方面，接收信号与噪声之和为式中并且，n(t)的方差为n2，噪声的两个正交分量的方差为tbtattskkkk000sincos)cos()(kkacoskkbsin2/1kkba)()cos()(tntAtrcttnttntncsccsin)(cos)()(222nsc160骄阳书苑第7章数字带通传输系统若把此QPSK信号当作两个2PSK信号分别在两个相干检测器中解调时，只有和2PSK信号同相的噪声才有影响。由于误码率决定于各个相干检测器输入的信噪比，而此处的信号功率为接收信号功率的(1/2)倍，噪声功率为n2。若输入信号的信噪比为r，则每个解调器输入端的信噪比将为r/2。在7.2节中已经给出2PSK相干解调的误码率为其中r为解调器输入端的信噪比，故现在应该用r/2代替r，即误码率为所以，正确概率为 rerfcPe212/21rerfcPe2/2/11rerfc161骄阳书苑第7章数字带通传输系统因为只有两路正交的相干检测都正确，才能保证QPSK信号的解调输出正确。由于两路正交相干检测都正确的概率为所以QPSK信号解调错误的概率为上式计算出的是QPSK信号的误码率。若考虑其误比特率，则由于正交的两路相干解调方法和2PSK中采用的解调方法一样。所以其误比特率的计算公式和2PSK的误码率公式一样。u对于任意M进制PSK信号，其误码率公式为 22/11rerfc22/2111rerfcPeMMrxrreddxeereP/cos22/cos2221cos41211162骄阳书苑第7章数字带通传输系统p当M大时，MPSK误码率公式可以近似为写为 pOQPSK的抗噪声性能和QPSK完全一样。p误码率曲线Perb(dB)MrerfcPesin163骄阳书苑第7章数字带通传输系统n7.5.4 MDPSK系统的抗噪声性能u误码率计算近似公式为 u曲线MrerfcPe2sin2Perb(dB)164骄阳书苑第7章数字带通传输系统l7.6 小结小结165骄阳书苑