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第十一篇复数、算法、推理与证明第十一篇复数、算法、推理与证明(必修必修3 3、选修、选修1-2)1-2)六年新课标全国卷试题分析六年新课标全国卷试题分析高考考点、示例分布图高考考点、示例分布图命题特点命题特点1.1.复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的加减乘除四则运算的加减乘除四则运算.运算是高考的热点运算是高考的热点,一般为选一般为选择题择题,占占5 5分分.2.2.算法题型有求输出结果算法题型有求输出结果,完善程序框图及判断程序完善程序框图及判断程序运行的功能运行的功能,常以选择题、填空题为主常以选择题、填空题为主,属容易题属容易题,占占5 5分分.3.3.高考对归纳推理、类比推理、反证法、分析法较高考对归纳推理、类比推理、反证法、分析法较少考查少考查,但其数学思想方法会渗透到解题之中但其数学思想方法会渗透到解题之中.4.4.高考对演绎推理、直接证明与间接证明的考查高考对演绎推理、直接证明与间接证明的考查,单单独命题的可能性不大独命题的可能性不大,但其思想会渗透到多题之中但其思想会渗透到多题之中.第第1 1节数系的扩充与复数的引入节数系的扩充与复数的引入 考纲展示考纲展示 1.1.理解复数的基本概念理解复数的基本概念,理解复数理解复数相等的充要条件相等的充要条件.2.2.了解复数的代数表示法及其几何了解复数的代数表示法及其几何意义意义,能进行复数代数形式的四则能进行复数代数形式的四则运算运算.3.3.了解两个具体复数相加、相减的了解两个具体复数相加、相减的几何意义几何意义.知识链条完善知识链条完善考点专项突破考点专项突破知识链条完善知识链条完善 把散落的知识连起来把散落的知识连起来知识梳理知识梳理1.1.复数的有关概念复数的有关概念(1)(1)复数的定义复数的定义形如形如a+bi(a,ba+bi(a,bR R)的数叫做复数的数叫做复数,其中实部是其中实部是 ,虚部是虚部是 (i(i是虚数单位是虚数单位).).=(2)(2)复数的分类复数的分类 0 0,R 00bzabiaa bba实数复数纯虚数虚数非纯虚数=a ab b(3)(3)复数相等复数相等a+bi=c+dia+bi=c+di (a,b,c,d(a,b,c,dR R).).a=ca=c且且b=db=d(4)(4)共轭复数共轭复数a+bia+bi与与c+dic+di互为共轭复数互为共轭复数 (a,b,c,d(a,b,c,dR R).).a=ca=c且且b=-db=-d|z|z|a+bi|a+bi|22ab2.2.复数的几何意义复数的几何意义(1)(1)复平面的概念复平面的概念建立建立 来表示复数的平面叫做复平面来表示复数的平面叫做复平面.直角坐标系直角坐标系(2)(2)实轴、虚轴实轴、虚轴在复平面内在复平面内,x,x轴叫做轴叫做 ,y,y轴叫做轴叫做 ,实轴上的点都表示实轴上的点都表示 ;除除原点以外原点以外,虚轴上的点都表示虚轴上的点都表示 .实轴实轴虚轴虚轴实数实数纯虚数纯虚数Z(a,b)Z(a,b)3.3.复数的运算复数的运算(1)(1)复数的加、减、乘、除运算法则复数的加、减、乘、除运算法则设设z z1 1=a+bi,z=a+bi,z2 2=c+di(a,b,c,d=c+di(a,b,c,dR R),),则则加法加法:z:z1 1+z+z2 2=(a+bi)+(c+di)=(a+bi)+(c+di)=;减法减法:z:z1 1-z-z2 2=(a+bi)-(c+di)=(a+bi)-(c+di)=;乘法乘法:z:z1 1z z2 2=(a+bi)(c+di)=(a+bi)(c+di)=;(a+c)+(b+d)i(a+c)+(b+d)i(a-c)+(b-d)i(a-c)+(b-d)i(ac-bd)+(ad+bc)i(ac-bd)+(ad+bc)i22acbdcd+22bcadcdi i(2)(2)复数加法的运算定律复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律复数的加法满足交换律、结合律,即对任何即对任何z z1 1,z,z2 2,z,z3 3C C,有有z z1 1+z+z2 2=,(z(z1 1+z+z2 2)+z)+z3 3=.z z2 2+z+z1 1z z1 1+(z+(z2 2+z+z3 3)(3)(3)复数乘法的运算定律复数乘法的运算定律复数的乘法满足交换律、结合律、分配律复数的乘法满足交换律、结合律、分配律,即对于任意即对于任意z z1 1,z,z2 2,z,z3 3C C,有有z z1 1z z2 2=z z2 2z z1 1,(z,(z1 1z z2 2)z z3 3=z=z1 1(z(z2 2z z3 3),z),z1 1(z(z2 2+z+z3 3)=z)=z1 1z z2 2+z+z1 1z z3 3.2.-b+ai=i(a+bi).2.-b+ai=i(a+bi).3.i3.i4n4n=1,i=1,i4n+14n+1=i,i=i,i4n+24n+2=-1,i=-1,i4n+34n+3=-i(n=-i(nN N*).).4.i4.i4n4n+i+i4n+14n+1+i+i4n+24n+2+i+i4n+34n+3=0(n=0(nN N*).).对点自测对点自测A A2.2.(2018(2018广西三市第二次调研广西三市第二次调研)已知复数已知复数z z满足满足(1+2i)z=-3+4i,(1+2i)z=-3+4i,则则|z|z|等于等于()C CD D4.4.(教材改编题教材改编题)已知已知(1+2i)=4+3i,(1+2i)=4+3i,则则z=z=.答案答案:2+i2+i5.5.下面四个命题下面四个命题:3+4i3+4i比比2+4i2+4i大大;复数复数3-2i3-2i的实部为的实部为3,3,虚部为虚部为-2i;-2i;z z1 1,z,z2 2为复数为复数,z,z1 1-z-z2 20,0,那么那么z z1 1zz2 2;z z1 1,z,z2 2为复数为复数,若若 +=0,+=0,则则z z1 1=z=z2 2=0.=0.其中不正确的命题有其中不正确的命题有 (写出所有不正确命题的编号写出所有不正确命题的编号).).21z22z答案答案:考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识考点一复数的基本概念考点一复数的基本概念求解与复数概念相关问题的技巧求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部与虚复数的分类、复数的相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关部有关,所以解答与复数概念有关的问题时所以解答与复数概念有关的问题时,需把所给复数化为代数形式需把所给复数化为代数形式,即即a+bi(a,ba+bi(a,bR R)的形式的形式,再根据题意求解再根据题意求解.反思归纳反思归纳【跟踪训练跟踪训练1 1】(1)(1)(2018(2018山西省六校第四次联考山西省六校第四次联考)复数复数z=(1+i)z=(1+i)3 3的虚部为的虚部为()(A)-2(A)-2 (B)2 (B)2(C)-2i(C)-2i(D)2i(D)2i解析解析:(1)z=(1+i)(1)z=(1+i)3 3=(1=(12 2+2i+i+2i+i2 2)(1+i)=2i(1+i)=2i+2i)(1+i)=2i(1+i)=2i+2i2 2=-2+2i,=-2+2i,虚部是虚部是2,2,故故选选B.B.考点二复数的运算考点二复数的运算【例【例2 2】(1)(1)(2018(2018天津市滨海新区八校联考天津市滨海新区八校联考)复数复数 等于等于()(A)1-i(A)1-i(B)-1-i(B)-1-i(C)1+i(C)1+i(D)-1+(D)-1+I I(2)(2)(2018(2018全国全国卷卷)i(2+3i)i(2+3i)等于等于()(A)3-2i(A)3-2i(B)3+2i(B)3+2i(C)-3-2i(C)-3-2i(D)-3+2i(D)-3+2i2i1i(2)i(2+3i)=2i+3i(2)i(2+3i)=2i+3i2 2=-3+2i.=-3+2i.故选故选D.D.反思归纳反思归纳复数代数形式运算问题的解题策略复数代数形式运算问题的解题策略(1)(1)复数的乘法复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位可将含有虚数单位i i的看作一类同的看作一类同类项类项,不含不含i i的看作另一类同类项的看作另一类同类项,分别合并即可分别合并即可.(2)(2)复数的除法复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把解题中要注意把i i的幂写的幂写成最简形式成最简形式.(2)(2)(2018(2018吉林长春市一模吉林长春市一模)设设i i为虚数单位为虚数单位,则则(-1+i)(1+i)(-1+i)(1+i)等于等于()(A)2i(A)2i (B)-2i (B)-2i(C)2(C)2 (D)-2 (D)-2解析解析:(2)(-1+i)(1+i)=-2.(2)(-1+i)(1+i)=-2.故选故选D.D.考点三复数的几何意义考点三复数的几何意义【例例3 3】(1)(1)(2016(2016全国全国卷卷)已知已知z=(m+3)+(m-1)iz=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第在复平面内对应的点在第四象限四象限,则实数则实数m m的取值范围是的取值范围是()(A)(-3,1)(A)(-3,1)(B)(-1,3)(B)(-1,3)(C)(1,+)(C)(1,+)(D)(-,-3)(D)(-,-3)(2)(2)(2018(2018重庆九校一模重庆九校一模)已知已知i i为虚数单位为虚数单位,且且(1+i)z=-1,(1+i)z=-1,则复数则复数z z对应的点对应的点位于位于()(A)(A)第一象限第一象限(B)(B)第二象限第二象限(C)(C)第三象限第三象限(D)(D)第四象限第四象限反思归纳反思归纳判断复数表示的点在复平面内的位置的方法判断复数表示的点在复平面内的位置的方法:首先将复数化成首先将复数化成a+bi(a,ba+bi(a,bR R)的形式的形式,其次根据实部其次根据实部a a和虚部和虚部b b的符号来确定点所在的象限及坐标的符号来确定点所在的象限及坐标.【跟踪训练跟踪训练3 3】(1)(1)(2018(2018吉林百校联盟九月联考吉林百校联盟九月联考)已知实数已知实数m,nm,n满足满足(m+ni)(m+ni)(4-2i)=3i+5(i(4-2i)=3i+5(i为虚数单位为虚数单位),),则在复平面内则在复平面内,复数复数z=m+niz=m+ni对应的点位于对应的点位于()(A)(A)第一象限第一象限(B)(B)第二象限第二象限(C)(C)第三象限第三象限(D)(D)第四象限第四象限(2)(2)(2018(2018衡水金卷高三联考衡水金卷高三联考)已知复数已知复数z=(iz=(i为虚数单位为虚数单位),),则复数则复数z z在复平在复平面内对应的点位于面内对应的点位于()(A)(A)第一象限第一象限(B)(B)第二象限第二象限(C)(C)第三象限第三象限(D)(D)第四象限第四象限 5i2i1备选例题备选例题【例例1 1】(2018(2018湖南永州市一模湖南永州市一模)若复数若复数z=aiz=ai2 2-bi(a,b-bi(a,bR R)是纯虚数是纯虚数,则一定则一定有有()(A)b=0(A)b=0 (B)a=0 (B)a=0且且b0b0(C)a=0(C)a=0或或b=0b=0(D)ab0(D)ab0解析解析:z=aiz=ai2 2-bi=-a-bi,-bi=-a-bi,由纯虚数定义可得由纯虚数定义可得a=0a=0且且b0,b0,故选故选B.B.【例例2 2】(2018(2018广东广州一模广东广州一模)已知已知i i为虚数单位为虚数单位,复数复数z=i(2-i)z=i(2-i)的模的模|z|z|等于等于()点击进入点击进入 应用能力提升应用能力提升
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