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第一章遇角平分线常用辅助线【添法透析】角相等时,添线段可构造线段相等、三角形全等或相似,常用有如下四大添法:一点在平分线,可作垂两边二. 角边相等,可造全等三. 平分加平行,可得等腰形四.平分加垂线,补得等腰现点在平分线,可作垂两边角平分线性质定理:角平分线上点到角两边距离相等.如图,若OP是ZAOB角平分线,PEOA,可过P点作PFOB,则可用结论有:(1) PF二PE;(2)证得 OPF 丝OPE;(3)证得 OF=OE.例1.已知如图,在 ABC中,ZC=90,AD 平分ZCAB,CD=1.5,BD=2.5, 求 AC.邦德点拨:过点D作DEAB,则DE二CD,AE二AC,再利用方程思想、勾股定理解AC.练习1:已知如图,P为AABC两外角ZDBC和ZECB平分线的交点,二.角边相等,可造全等在角的两边取相等线段,可得全等三角形.如图,若OP为NAOB角平分线,可在OB上取OF=OE,则可用结论有:(1)证得AOPF丝OPE;(2)证得 PF=PE, OF=OE;求证:AP平分C.AD(3)证得 ZPFO=ZPEO,ZOPF=ZOPE.例2.已知如图,AB/CD, BE平分ZABC, CE平分ZBCD点E在AD上,求证:BC=AB+CD.邦德点拨:在BC上截取BF=BA,问题转化为证CF=CD.练习2.已知如图,AD是AABC的内角平分线,P是AD上异于点A的任意一点,试比较PB-PC与AC-AB的大小,并说明理由.三.平分加平行,可得等腰形1 .过角平分线上一点,作角的一边平行线,可构造得等腰三角形或相似;如图,若OP是ZAOB平分线,过P点作OB平行线交OA于E点,可用结论:证得EOP是等腰三角形.如图,若AD是ZBAC平分线,过C点作AB平行线交直线AD于E点可用结论有:(1)证得AEOP是等腰三角形;(2) 证得CDEsADB;AB BD(3) AC CD -2.过角的一边上一点,作角平分线的平行线,可构造得等腰三角形.如图,若OP为NAOB平分线,过直线OB上一点E,作OP平行线交OA于点F则可用结论有:(1)证得 OEF是等腰三角形;1(2)证得 NE=亍 ZAOB.,例3.已知如图,在AABC中(AB丰AC), D、E在BC上,且DE=EC,过D作DF/BA交E于点F, DF=AC,求证:AE平分ZBAC.邦德点拨:过C点作AB平行线交AE延长线于点G,则ZG=ZBAE,接下只需证ZG=ZCAE.FCA的延长线于练习3.已知如图,过 ABC的边BC的中点D作ZBAC的平分线AG的平行线,交AB、BC点 E、D、F.求证:BE=CF.四.平分加垂线补得等腰现从角的一边上一点作角平分线的垂线,与另一边相交,可得等腰三角形七如图,若OP是ZAOB平分线,EPOP,则可延长EP交OB于F点,可用结论有:(1)证得 OEF是等腰三角形;(2) P是EF中点.GCD G例4.F B如图,AABC中,过点A分别作ZABC, ZACB的外角的平分线的垂线AD、AE,D、E为垂足.求证:(1)ED/BC;(2)ED=(AB+AC+BC).2邦德点拨:延长AD、AE交直线BC于F、G,可证得BAFACAG为等腰三角形.A1.已知如图,在 ABC 中,BD、CD 分别平分ZABC 和ZACB, DE/AB, FD/AAD.求ADEF周长.练习4.已知如图,等腰RtABC中,ZA=90, AB=AC, BD平分/ABC, CE1BD,垂足为点E,求证:BD=2CE.homework 】2.已知如图,四边形ABCD中,/B+/D=180,BC=CD.求证:ABC4 .如图,ABC中4.如图,ABC中,AM平分ZA , BD垂直于AM,交AM延长线于点D13.已知如图,/BAD=/CAD, ABAC, CD1AD 于点 D, H 是 BC 中点,求证:DH=g(AB-AC).ADECA 交 AB 于 E.求证:AE=BE.5.已知CE、AD是ABC的角平分线,/B=60,求证:AC=AE+
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