退化圆锥曲线的妙用举隅

退化圆锥曲线的妙用举隅圆锥曲线方程的一般形式为F(x, y)二Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + y + F二0 (A和C不同时为0).若F(x, y)可分解为两个一次因式的乘积，那么F(x, y) = 0就是退化的圆锥曲线，它表示两条直线.另外，圆或椭圆也可以退化为一点.反之，若两条直线f1(x, y)二0、f (x, y) = 0，也可以写成退化的圆锥曲线方程f (x, y) - f (x, y) = 0 ；点P(x , y )可以写 2 1 2 0 0(x x )2(y y )2成退化的点圆(x x )2 + (y y )2二0或退化的点椭圆 亠+0= 0 .这一问0 0 a 2b2题往往被忽视，事实上，如果我们根据问题的具体条件从中发掘某些特性，别出心裁而又恰如其分的构造退化圆锥曲线，那么解题之巧妙则可见一斑一 退化圆、椭圆(即点圆、点椭圆)的妙用例1求经过点M(3,1)，且与圆C : x2 + y2 + 2x 6y + 5二0相切于点N(l,2)的圆的方程解 视点N(1,2)为退化圆，其方程为(x -1)2 + (y - 2)2 = 0可设所求的圆方程为x2 + y2 + 2 x 6 y + 5 + 九(x 1)2 + (y 2)2 = 0Cp由于该圆经过点M(3,1)， 故所求圆的方程为(x )2 + ( y 14)2 = |9|.于是将点M (3,1)代入方程Q,可解得九=2713714196例2求与抛物线C : y二4x2相切于点P(1,4)且过点A(3,0)的圆方程.解 因为点P(1,4)在抛物线C : y二4x2上，所以与抛物线相切于点P的切线方程为(4 + y) = 4 x,即 8 x y 4 = 02视点P(1,4)为退化圆，其方程为(x 一 I)2 + (y 一 4)2 = 0 可设所求的圆方程为(x 1)2 + (y 4)2 +九(8 x y 4) = 0 Q 由于圆过点A(3,0)，代入方程Q求得九=1765故所求圆的方程为(x 5)2 + (y )2 =例3已知椭圆C : x2 + 3y2二4，求椭圆C，使它同时满足一下三个条件：(1) 椭圆C与椭圆C相似(即离心率相同)，且它们相切于点A(l,l)；(2) 椭圆C过点B(3,4)；(3) 椭圆C的长轴在平行于y轴的直线上.解 由题设，视点A(1,1)为点椭圆，其方程为(x -1)2 + n(y -1)2 = 0 (n 0且n丰1) 设所求椭圆C的方程为九(x2 + 3y2 - 4) +(x 一1)2 + n(y 一1)2 - 0Q因为点B(3,4)在椭圆C上，所以九(9 + 48 4) + 4 + 9n = 0，即53九+ 9n + 4二0 Q 又椭圆C与C相似，且长轴在平行于y轴的直线上，因为有1:3 = (3九+ n):(1 +九)，即有 3n + 8 九1 二 0 Q联立方程QQ，解得九=，n =2987将上式代入方程Q整理可得33x2 +11 y2 87x - 85y +128二0，即为所求椭圆C的方 程.二. 退化双曲线(即两条相交直线)的妙用x2y 2例4.已知椭圆C :+】=1(a b 0)上的任意一点P与短轴两端点A、B的连a2b2线分别交长轴于Q、R两点椭圆中心为O，求证：I OQ I -1 OR I为定值.证明 设P(x , y )为椭圆上任意一点，A(0,b)、B(0,b).00易知的方程为y b二厶-x，PB的方程为y + b =乙 xxx00y 2 b2因为PA与PB相交，可视为退化双曲线，其方程为y 2 b 2 = 0 x 2 Qx20x 2 y 2b2由于点P在椭圆c上，则亠+ 1二1,即y 2 b2 = x 2a2b20a2 0将上式代入方程Q可得y2 b2 =- x2a2设Q(x ,0)，R(x ,0)，则在上式中令y = 0，即得x、x为方程x2 a2 = 0的两根QRQ R由韦达定理可得X x =a2QR于是I OQI -1 OR 1=1 x I -1 x 1= a2为定值，从而命题得证.QRx2 y 2例5.过双曲线一 一=1的右焦点F作它的一条渐近线l的垂线交l于点A，交另 a 2 b2211一条渐近线l于点B，当线段AB被双曲线的左准线平分时，求双曲线的离心率e .2解 由于l与l相交，可视它们为退化双曲线，其方程为(bx-ay)(bx + ay) = 012艮卩 b 2 x2 一 a 2 y 2 = 0 Q易求得直线AB的斜率为-a，所以AB的方程为y = a(x c) Q bb将方程Q代入方程Q可得(b4 一 a 4) x 2 + 2a 4 cx 一 a 4 c 2 = 02a 4 c设A(x , y )、B(x ,y )，则由韦达定理得x + x =112212 b4a4a2依题意，线段AB被双曲线的左准线x = 平分，ca 4c a 2因此= ，即 2a2 = b2，b4 a4 cc ia 2 + b 21/、，从而双曲线的离心率为e = =、：1 + (一)2 = V3 .a Y a 2 a例6. (2014年全国大纲卷)已知抛物线C : y2 = 2px(p 0)的焦点为F，直线y = 4 与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且I QF 1= 5丨PQ I.4(1) 求C的方程；(2) 过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M、N两 点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程.8解 (1)设Q(x ,4)，代入y2 = 2px解得x =00 p所以 I PQ I=，I QF I=+ x =+ p202p5p858由题设I QF I= I PQ I得+=才，解得p = 2 (舍去)或p = 2 .42p4p所以C的方程为y2二4x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x = my +1 (m丰0)代入 y 2 = 4x 得 y 2 - 4my - 4 = 0.设 A(x ,y )、B(x ,y )，则由韦达定理得y + y 二 4m , y y =41 1 2 2 1 2 1 2因此AB的中点D(2m2 + 1,2m),又l的斜率为m，所以l的方程为x = y + 2m2 + 3m由于l与l相交，可视它们为退化双曲线.设过抛物线C: y2二4x与退化双曲线交点 的曲线系方程为九(y 2 4 x) + (x my 1)( x + y 2m 2 3) = 0m即 x2 + (丄m)xy + (九一 1) y 2 (4九 + 2m2 + 4)x + (2m3 + 3m 丄)y + 2m 2 + 3 = 0 Q mm因为A、M、B、N四点在同一圆上，即方程Q表示圆的方程，所以丄-m = 0，m解得m = 1.所以所求l的方程为x y 1 = 0或x + y 1 = 0 .一般地，l : y y = k(x x ) ，l : y y = k(x x )与二次曲线 Ax2 + By2 +1 1 1 2 2 2Dx + Ey + F = 0 (其中A，B不同时为零)有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件 是k =-k (kk丰0).这个命题的证明，其实也可以根据上题的方式予以简捷的处理.1 2 1 2三. 退化抛物线(即两条平行直线)的妙用例 7.求证：直线 l : x 2y 2 = 0 或l : 2x y 4 = 0 与直线 l : x + y 1 = 0 或l :1234x + y + 3 = 0的交点在同一圆周上.证明 因为l与I相交，可视为退化双曲线，其方程为(x-2y-2)(2x- y-4) = 012而l /1，可视为退化抛物线，其方程为(x + y 1)(x + y + 3) = 034根据两条直线的位置关系的判定易知直线l或l与直线l或l都有交点，因此两退化圆锥1234曲线必有交点存在，故可设经过两退化圆锥曲线交点的曲线系方程为(x 一 2 y 一 2)(2x 一 y 一 4) + 九(x + y 一1)( x + y + 3) = 0化简并整理可得（2 + 九）x2 + （2九-5）xy + （2 + 九）y 2 + （2九-8）x + （10 + 2九）y + （8 - 3九）二 0 令九=，并代入上式整理可得（x呂）2 + （y + 3）2 = 9由于上述方程表示一个圆，从而命题得证