2023年九年级中考数学高频考点突破——圆的切线的证明【含答案】

2023年九年级中考数学高频考点突破圆的切线的证明1如图，AB是O的直径，BC是O的弦，AEOC于点D，交BC于F，与过点B的直线交于点E，且BEEF（1）求证：BE是O的切线；（2）若O的半径为10，OD6，求BE的长2如图1，在O中，AC为直径，D在上，B为中点，过B作BFAD于F（1）求证：BF为O的切线；（2）如图2，连接DO并延长交AB于G，交O于E，连接BE，若AGAD1，求DF3如图，已知AB是O的直径，点P在BA的延长线上，弦BC平分PBD，且BDPD于点D（1）求证：PD是O的切线（2）若AB8cm，BD6cm，求弧AC的长4如图，在RtABC中，C90，B30，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D（1）求证：直线AB是O的切线；（2）若AC，求图中阴影部分的面积5如图，在O中，OEBC于点F，D为O上一点，连接DE，交AC于点G，AGAD（1）求证：AD是O的切线；（2）若A60，OE8，求DE的长6如图，四边形ABCD是正方形，点A，点B在O上，边DA的延长线交O于点E，对角线DB的延长线交O于点F，连接EF并延长至点G，使FBGFAB（1）求证：BG与O相切；（2）若O的半径为1，求AF的长7如图，已知四边形APBC中，ACBAPB60，过A，B，C三点的O与PA相切（1）求证：PB是O的切线；（2）若O的半径长为4cm，求图中阴影部分的面积8如图，AB为O的直径，过圆上一点D作O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OEAD交CD于点E，连接BE（1）直线BE与O相切吗？并说明理由；（2）若CA2，CD4，求DE的长9如图，在ABC中，ABAC，BAC90，在CB上截取CDCA，过点D作DEAB于点E，连接AD，以点A为圆心、AE的长为半径作A（1）求证：BC是A的切线；（2）若AC5，BD3，求DE的长10如图，AB为O的直径，C，D为O上两点，连接AC，BC，AD，BD，过点D作DEAB交CB的延长线于点E（1）求证：直线DE是O的切线；（2）若AB10，BC6，求AD，BE的长11如图，在ABC中，点O是BC中点，以O为圆心，BC为直径作圆刚好经过A点，延长BC于点D，连接AD已知CADB（1）求证：AD是O的切线；（2）若BD8，tanB，求O的半径12如图，ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，过圆O外一点D作DGBC，DG交线段AC于点G，交线段AB于点E，交圆O于点F，连接CF，AD（1）求证：BD与圆O相切；（2）若AEOE，CF平分ACB，BD12，DE的长为 13如图，AB为O的直径，CD是O的弦，点E在AB的延长线上，连接OC、AD，CDAB，CODE，A22.5（1）求证：DE是O的切线；（2）当CD2时，图中阴影部分的周长为 （直接填空）14如图，已知A、B、C、D、E是O上五点，O的直径BE2，BCD120，A为的中点，延长BA到点P，使BAAP，连接PE（1）求线段BD的长；（2）求证：直线PE是O的切线；（3）连接OP，求tanBPO的值15如图，在RtABC中，C90，AD平分BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A、D的O分别交边AB、AC于点E、F（1）求证：BC是O的切线；（2）若BE4，求阴影部分的面积16如图，ABC内接于O，AB是O的直径，过O外一点D作DGBC，DG交线段AC于点G，交AB于点E，交O于点F，连接DB，CF，AD（1）求证：BD与O相切；（2）若AEOE，CF平分ACB，BD6，求DE的长17已知AB是圆O的直径，点C是圆O上一点，点P为圆O外一点，且OPBC，PBAC（1）求证：PA为圆O的切线；（2）如果OPAB2，求AC的长18如图，ABC是以AB为直径的O的内接三角形，BD与O相切于点B，与AC的延长线交于点D，E是BD的中点，CE交BA的延长线于点F（1）求证：FC是O的切线；（2）若BD4，2EF3BE求BF的长和O的半径19如图，AB为直径，弦BC平分DBA，BD与O交于点E，过点C作BD的垂线于D（1）求证：CD是O的切线；（2）如果cosABD，OA2，求DE的长20如图，O是ABC的外接圆，AC为直径，延长AC到点E，使得CEBC，连接BE，且BAEE（1）求证：BE与O相切（2）如图2，过点C作CDBE于点D，连接AD，若AB4，BAE30，求tanBAD参考答案：1【解答】（1）证明：BEEF，EFBEBF，CFDEFB，EBFCFD，OBOC，OCBOBC，AEOC，OCB+CFD90，OBC+EBF90，即EBA90，AB是直径，BE是O的切线；（2）解：O的半径为10，OA10，AB20，AEOC，OD6，AD8，ADOEBA90，DAOBAE，DAOBAE，即，BE152【解答】（1）证明：连接OB，OBOA，23，B为CD中点，12，13，AFOB，OBF+F180，BFAD，F90，OBF90，半径OBBF于B，BF为O切线；（2）连接AE，延长BO交AE于H，DE为直径，DAEDBE90，AFBO，BHA180DAH90，四边形AFBH为矩形，AHBF，AFBH，设DFx，BHAFx+1，OHAE于HAHEH，DOEOOH为ADE中位线，OHAD，OBBHOHx+，AFOB，47，ADAG1，45，56，67，BGOBOAx+，ABBG+AGx+，在RtAOH中，根据勾股定理得：AH2AO2OH2x2+xBF2AH2x2+x，在RtAFB中，根据勾股定理得：AF2+BF2AB2，即（x+1）2+（x2+x）（x+）2，解得：DFx3【解答】（1）证明：连接OC，如图，OCOB，OCBOBC弦BC平分PBD，OBCDBC，OCBDBCOCBD，BDPD，OCPDOC为O的半径，PD是O的切线；（2）解：连接OC，如图，由（1）知：OCBD，PCOPDB，PA4POPA+OA8在RtOCP中，cosCOP，COP60弧AC的长4【解答】（1）证明：连接OD，CD，ACB90，B30，ACAB，A90B60，D为AB的中点，BDADAB，ADAC，ADC是等边三角形，ADCACD60，ACB90，DCO906030，ODOC，ODCDCO30，ADOADC+ODC60+3090，即ODAB，OD过圆心O，直线AB是O的切线；（2）解：由（1）可知：ACADBDAB，又AC，BDAC，B30，BDOADO90，BOD60，BO2DO，由勾股定理得：BO2OD2+BD2，即（2OD）2OD2+（）2，解得：OD1（负数舍去），所以阴影部分的面积SSBDOS扇形DOE5【解答】（1）证明：连接OD，如图，OEBC于点F，E+FGE90FGEAGD，E+AGD90AGAD，AGDADGE+ADG90ODOE，EODE，ODE+ADG90即ODA90，ODAD，OD为O的半径，AD是O的切线；（2）解：过点O作OHED于点H，如图，则DE2DHAGAD，A60，AGD为等边三角形，ADE60ODA90，ODE30在RtOHD中，cosODH，DHODcos3084DE2DH86【解答】解：（1）连接BE，四边形ABCD是正方形，BAE90，BE是圆O的直径，BAF+EAF90，EAFEBF，FBGFAB，FBG+EBF90，OBG90，故BG是圆O的切线；（2）如图，连接OA，OF，四边形ABCD是正方形，BE是圆的直径，EFD90，FDE45，FED45，AOF90，OAOF1，AF2AO2+FO21+12，AF，AF（舍去）7【解答】（1）证明：连接OA，OB，OP，ACB60，AOB2ACB120，PA与O相切于点A，OAP90，APB60，OBP360AOBOAPAPB90，OB是O的半径，PB是O的切线；（2）解：OAPOBP90，OAOB，OPOP，RtOAPRtOBP（HL），AOPBOPAOB60，APOAtan604（cm），阴影部分的面积2OAP的面积扇形AOB的面积2AOAP24416，阴影部分的面积为168【解答】解：（1）直线BE与O相切，理由：连接OD，CD与O相切于点D，ODE90，ADOE，ADODOE，DAOEOB，ODOA，ADODAO，DOEEOB，ODOB，OEOE，DOEBOE（SAS），OBEODE90，OB是O的半径，直线BE与O相切；（2）解法一：设O的半径为r，在RtODC中，OD2+DC2OC2，r2+42（r+2）2，r3，AB2r6，BCAC+AB2+68，由（1）得：DOEBOE，DEBE，在RtBCE中，BC2+BE2CE2，82+BE2（4+DE）2，64+DE2（4+DE）2，DE6；解法二：设O的半径为r，在RtODC中，OD2+DC2OC2，r2+42（r+2）2，r3，OA3，ADOE，DE6，DE的长为69【解答】（1）证明：过点A作AFCD于点F，如图，CDCA，CADCDA，BAC90，BAD+CAD90，BAD+CDA90DEAB，BAD+ADE90，ADECDAAEDE，AFCD，AEAF，即AF为A的半径，这样，直线BC经过半圆AF的外端F，且垂直于半径AF，BC是A的切线；（2）解：CDCA，AC5，CD5，BCBD+CD8DEAB，ACAB，DEAC，DE10【解答】（1）证明：连接OD，AODBODAOB90，ABDE，AODODE90，OD是O的半径，直线DE是O的切线；（2）解：连接CD，AB为O的直径，ACBADB90，AB10，BC6，AC8，ADBD5，ABDBAD45，ACDABD45，ABDE，ABDBDE45，BDEACD，四边形ADBC是圆内接四边形，CAD+CBD180，CBD+EBD180，EBDCAD，BDEACD，BE，AD的长为5，BE的长为11【解答】（1）证明：连接AO，BC是直径，BAC90，B+ACO90，OAOC，ACOOAC，CADBDAOCAD+CAO90，OAAD，AD是O的切线；（2）解：CADB，ADCBDA，ACDBAD，BD8，AD4，CDAD42，BCBDCD826，O的半径为312【解答】（1）证明：如图1，延长DB至H，DGBC，CBHD，AD，ACBH，AB是O的直径ACB90，A+ABC90，CBH+ABC90，ABD90，BD与O相切；（2）解：解法一：如图2，连接OF，CF平分ACB，ACFBCF，OFAB，BDAB，OFBD，EFOEDB，AEOE，OF4，BEOE+OB2+46，DE6解法二：如图2，连接OF，AEOE，OAOF2OE，RtOEF中，tanOEF2，RtBED中，tanOEF2，BE6，由勾股定理得：DE6故答案为：613【解答】（1）证明：连接OD，A22.5，BOD2A45，CDAB，CDOBOD45，OCOD，DCOCDO45，COD180454590，CODE，ODECOD90，ODEE，OD是O的半径，DE是O的切线；（2）解：CDAB，CODE，四边形CDEO是平行四边形，OECD2，DE是O的切线，ODEE，ODE90，DOE45，DEO9045DOE，ODDE，在RtODE中，OD2+DE2OE2（2）2，ODDE2，OB2，BEOEOB22，的长度，阴影部分的周长2+22+2+，故答案为：2+14【解答】（1）解：连接DE，如图，BCD+DEB180，BCD120，DEB18012060，BE为直径，BDE90，DBE30，在RtBDE中，BE2，DEBE2，BDDE3；（2）证明：连接EA，如图，BE为O的直径，BAE90，A为的中点，ABE45，BAAP，而EABA，BEP为等腰直角三角形，PEB90，PEBE，BE是O的直径，直线PE是O的切线；（3）解：过点O作OMAB于点M，则AMAB，BE为O的直径，BAE90，AEAB，A为的中点，ABAE，BEAB，BE2，ABAE，AMAB，AEAB，OMAB，OMAE，OBOE，OMAE，BAAP，AP，PMAP+AM，tanBPO15【解答】解：（1）如图，连接OD，则OAOD，ODAOAD，AD是BAC的平分线，ODACAD，ODAC，ODBC90，点D在O上，BC是O的切线；（2）BDO90，sinB，OD4，B30，DOE60，tanB，BD4，S阴影SBODS扇形ODE44816【解答】（1）证明：如图1，延长DB至H，DGBC，CBHD，AD，ACBH，AB是O的直径ACB90，A+ABC90，CBH+ABC90，ABD90，BD与O相切；（2）解：解法一：如图2，连接OF，CF平分ACB，ACFBCF，OFAB，BDAB，OFBD，EFOEDB，AEOE，OF2，BEOE+OB1+23，DE3解法二：如图2，连接OF，AEOE，OAOF2OE，RtOEF中，tanOEF2，RtBED中，tanOEF2，BE3，由勾股定理得：DE317【解答】（1）证明：AB是O的直径，ACB90，BAC+B90，又OPBC，AOPB，BAC+AOP90，PBAC，P+AOP90，PAO90，PAOA，又OA是O的半径，PA为O的切线；（2）解：由（1）得：PAOACB90，又PBAC，OPBA，OAPBCA（AAS），18【解答】（1）证明：连接OC，BD与O相切于点B，ABD90，CBE+OBC90，AB是O的直径，ACBBCD90，E是BD中点，BECE，BCECBE，OCOB，OCBOBC，BCE+OCB90，OCE90，OC是O的半径，FC是O的切线；（2）解：BD4，BCD90，点E是BD中点，BECEBD2，2EF3BE，EF3，在RtFBE中，BF，由（1）得OCFABD90，设OCx，则OFBFOBx，OF2OC2FC2，（x）2x212，解得：x，O的半径为19【解答】（1）证明：连接OC，OBOC，OCBOBC，BC平分DBA，OBCDBC，OCBDBC，OCBD，BDCD，OCCD，C是半圆O上的一点，CD与半圆O相切；（2）解：如图连接AC、AEcosABD，ABD60，由（1）可知，ABCCBD30，在RtACB中，ACB90，ABC30，AB4，BCABcos302，在RtABE中，AEB90，BAE30，AB4，BEAB2，AE2，在RtCDB中，D90，CBD30，BC2，CDBC，BD3，DEDBBE120【解答】（1）证明：连接OB，OAOB，BAEOBA，CEBC，ECBE，EBAE，OBACBE，AC是O的直径，ABC90，OBA+OBC90，CBE+OBC90，OBE90，OB是O的半径，BE与O相切；（2）解：过点D作DFAB，交AB的延长线于点F，CECB，CDBE，BDDEBE，BAEE，BEAB4，BD2，BAEE30，EBFBAE+E60，在RtBDF中，DFBDsin602，BFBDcos6021，AFAB+BF4+15，在RtADF中，tanDAF，tanBAD的值为44