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第五章 大数定律和中心极限定理 关键词：契比雪夫不等式大数定律中心极限定理 人们在长期的实践中发现，频率以及大量测量值人们在长期的实践中发现，频率以及大量测量值的算术平均值具有稳定性，也就是说，无论个别测量值的算术平均值具有稳定性，也就是说，无论个别测量值如何，其平均结果实际上与个别测量值的特征无关，几如何，其平均结果实际上与个别测量值的特征无关，几乎不再是随机的了。这种稳定性问题如何从理论上给出乎不再是随机的了。这种稳定性问题如何从理论上给出解释？这正是解释？这正是大数定律大数定律要解决的问题。要解决的问题。长期观察表明，如果一个量是由大量的相互独立长期观察表明，如果一个量是由大量的相互独立的随机因素的影响造成的，而每一个个别因素在总影响的随机因素的影响造成的，而每一个个别因素在总影响中所起的作用都很微小，则这种量通常都服从或近似服中所起的作用都很微小，则这种量通常都服从或近似服从正态分布。这个结论的理论依据就是从正态分布。这个结论的理论依据就是中心极限定理中心极限定理。1.大数定律 在实践中，不仅事件发生的频率具有稳定性，还有大量测量值的算术平均值也具有稳定性。设,1nXX是随机变量序列，令nkknXnY11，若存在常数序列,1naa使对任意0，有 1|limnnnaYP，或0|limnnnaYP，定义1：设 是随机变量序列，是一个常数；若对任意 ，有:则称 依概率收敛于 ，记为 。,1nYY01|limaYPnn,1nYYaYPnaa定义2：则称nX服从大数定律。则：对任意的0，有:1|1|lim|lim1nkknnnXnPYP或0|1|lim1nkknXnP 若aPnX，bPnY，在点 连续，则：),(),(bagPnYnXg。),(yxg),(ba定理1：证：nknkknkknEXnXnE11111)1(222121111)1(nnnDXnXnDnkknkk1|1|1nkkXnPn时，当。由切比雪夫不等式得：2211|1|nXnPnkk证：令nkAkAkXk,2,110，发生次试验中，在第不发生次试验中，在第定理 3（贝努里大数定律）设An是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数，p 是事件 A 发生的概率，则：对任意的0，有1|limpnnPAn 或 0|limpnnPAn故 ,2,1)1(nkppDXpEXkk，1|1|lim1pXnPniin,由定理2有即 1|limpnnPAn。此定理说明了频率的稳定性此定理说明了频率的稳定性。则nkkAXn1，且nXX,1相互独立同服从于 分布)10(定理 4（辛钦大数定律）设,1nXX相互独立同分布，且具有数学期望,2,1nkEXk，则：对任意的0，有1|1|lim1niinXnP注：注：贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情况。贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情况。2.中心极限定理定义：设,1nXX是独立的随机变量序列，kkDXEX，存在，令：nkknkknkknDXEXXZ111/)(，若对任意1Rx，有xtnndtexZP2221lim。则称nX服从中心极限定理。（独立同分布的中心极限定理）设,1nXX是独立同分布的随机变量序列，且),2,1(,02kDXEXkk，则nX服从中心极限定理，即：xtnkkndtexnnXP21221lim定理1则nX服从中心极限定理，即：xtnkkknkkndtexDXXP211221)(lim定理2（李雅普诺夫定理），若存在正数，设，相互独立，且设,),2,1(,0,12221nkknkkkknBkDXEXXX0|1 122nkkknXEBn时，使得当(Liapunov定理)证：nkknX1，则对于任意 ，恒有：xtnndtexnpqnpP2221limx)1(pq由定理1有结论成立。其中nXX,1相互独立且都服从于 分布。pqDXpEXkk，。(0-1)定理3（德莫佛-拉普拉斯定理）),2,1(nn设随机变量 服从参数为n,p(0p1)的二项分布).,(pnBn，即xtnkkndtexnnXP21221lim(De Moivre-Laplace)推论：),2,1(nn设随机变量 服从参数为 n,p(0p105近似值。解：)20,2,1(121052kDVEVkk，由定理 1知：例5 一加法器同时收到20个噪声电压 ，设它们是互相独立的随机变量，且都在区间(0,10)上服从均匀分布，记)20,2,1(kVk201kkVV2012/10520-1052012/10520-VP105PV22387.020)12/10(100-VP1387.020)12/10(100-VP348.0)387.0(11 引进了大数定律的概念，要了解大数定律的意 义和内容，理解贝努里、辛钦大数定律，了解 契比雪夫大数定律。2 阐述了中心极限定理的含义及其客观背景，要 掌握独立同分布的中心极限定理和德莫佛-拉普 拉斯定理，会利用中心极限定理解决一般实际 应用问题。第五章 小 结
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