空间直角坐标系与两点间的距离

一一.空间直角坐标系空间直角坐标系:数轴上的点M的坐标用一个实数x表示，它是一维坐标一维坐标；平面上的点M的坐标用有序实数对（x，y）表示，它是二维坐标二维坐标.O Ox xx xO Ox x(x,y)(x,y)y y空间内点位置能用两个数来描述吗？空间内点位置能用两个数来描述吗？该如何描述呢？该如何描述呢？中国国家大剧院中国国家大剧院 怎样确切的表示室内灯泡的位置？怎样确切的表示室内灯泡的位置？墙墙墙墙地面地面 下图是一个房间的示意图下图是一个房间的示意图,下面来下面来探讨表示电灯位置的方法探讨表示电灯位置的方法.z z134x x4y y15O(4,5,3)oxyz从空间某一个定点从空间某一个定点引三条互相垂直且有单引三条互相垂直且有单位长度的数轴，这样就位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系建立了空间直角坐标系xyz点点叫做坐标原点叫做坐标原点，x轴轴、y轴轴、z轴叫做轴叫做坐标轴坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为平面，分别称为xOy平面平面、yOz平面平面、和和 zOx平面平面oxyz在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中,让让右手拇指指向右手拇指指向x x轴的正方向，轴的正方向，食指指向食指指向y y轴的正方向，若中轴的正方向，若中指指向指指向z z轴的正方向，则称这轴的正方向，则称这个坐标系为个坐标系为右手直角坐标系右手直角坐标系说明说明:本书建立的坐标系本书建立的坐标系 都是右手直角坐标系都是右手直角坐标系.空间直角坐标系的画法空间直角坐标系的画法:oxyz轴与轴与y y轴、轴、x x轴与轴与z z轴均成轴均成1351350 0,而而z z轴垂直于轴垂直于y y轴轴1351350 01351350 0轴和轴和z z轴的单位长度相同，轴的单位长度相同，x x轴轴上的单位长度为上的单位长度为y y轴（或轴（或z z轴）轴）的单位长度的一半的单位长度的一半坐标面把空间分成坐标面把空间分成每一个部分叫每一个部分叫卦限卦限八个部分八个部分xyozxOy面面yOz面面zOx面面合作探究：合作探究：有了空间直角坐标系，那空间中的有了空间直角坐标系，那空间中的任意一点任意一点M怎样来表示它的坐标呢？怎样来表示它的坐标呢？经过经过M M点作三个平面点作三个平面分别分别垂直垂直于于x x轴、轴、y y轴和轴和z z轴，轴，它们与它们与x x轴、轴、y y轴和轴和z z轴分别轴分别交于三点，三点在相应的交于三点，三点在相应的坐标轴上的坐标坐标轴上的坐标a,b,ca,b,c组成组成的有序数组（的有序数组（a,b,c)a,b,c)叫做叫做点点M M的坐标的坐标.记为记为：M（a,b,c)yxzMOMcba 反过来，给定有序实数组反过来，给定有序实数组（x，y，z），我们可以，我们可以在在x 轴、轴、y 轴和轴和z 轴上依次取坐标为轴上依次取坐标为x，y和和z的点的点P、Q和和R，分别过，分别过P、Q和和R各作一个平面，分别垂直于各作一个平面，分别垂直于x 轴、轴、y 轴和轴和z 轴，这三个平面的唯一交点就是有序实数组轴，这三个平面的唯一交点就是有序实数组（x，y，z）确定的点确定的点MyxzMOMRQPyxzPMQOMR 这样空间一点这样空间一点M的位置可以用有序实数组（的位置可以用有序实数组（x，y，z）来表示，有序实数组（）来表示，有序实数组（x，y，z）叫做点）叫做点M 在此在此空空间直角坐标系中的坐标间直角坐标系中的坐标，记作，记作M（x，y，z）其中）其中x叫做点叫做点M的的横坐标横坐标，y叫做点叫做点M的的纵坐标纵坐标，z叫做点叫做点M的的竖坐标竖坐标CBDCADBAyxzA（0，0，0）B（12，0，0）C（12，8，0）D（0，8，0）C（12，8，5）B（12，0，5）A（0，0，5）D（0，8，5）如图，长方体如图，长方体ABCD-ABCDABCD-ABCD的边长为的边长为 AB=12AB=12，AD=8AD=8，AA=5.AA=5.以这个长方体的顶点以这个长方体的顶点A A为坐标原点，射线为坐标原点，射线ABAB，ADAD，AAAA分别为分别为x x轴、轴、y y轴和轴和z z轴的正半轴，建立空间直角轴的正半轴，建立空间直角 坐标系，求坐标系，求长方体各个顶点的坐标。长方体各个顶点的坐标。例例1 1CBDCADBAyxzA（0，0，0）B（12，0，0）C（12，8，0）D（0，8，0）C（12，8，5）B（12，0，5）A（0，0，5）D（0，8，5）在平面xOy的点有哪些?这些点的坐标有什么共性?如图，长方体如图，长方体ABCD-ABCD的边长为的边长为 AB=12，AD=8，AA=5.以这个长方体的顶点以这个长方体的顶点A为坐标原点，射线为坐标原点，射线AB，AD，AA分别为，分别为，x轴、轴、y轴和轴和z轴的正半轴，建立空间直角轴的正半轴，建立空间直角 坐标坐标系，求长方体各个顶点的坐标。系，求长方体各个顶点的坐标。例例1 1CBDCADBAyxzA（0，0，0）B（12，0，0）C（12，8，0）D（0，8，0）C（12，8，5）B（12，0，5）A（0，0，5）D（0，8，5）在平面yOz的点有哪些?这些点的坐标有什么共性?如图，长方体如图，长方体ABCD-ABCD的边长为的边长为 AB=12，AD=8，AA=5.以这个长方体的顶点以这个长方体的顶点A为坐标原为坐标原点，射线点，射线AB，AD，AA分别为，分别为，x轴、轴、y轴和轴和z轴轴的正半轴，建立空间直角的正半轴，建立空间直角 坐标系，求长方体各坐标系，求长方体各个顶点的坐标。个顶点的坐标。例例1 1CBDCADBAyxzA（0，0，0）B（12，0，0）C（12，8，0）D（0，8，0）C（12，8，5）B（12，0，5）A（0，0，5）D（0，8，5）在平面xOz的点有哪些?这些点的坐标有什么共性?在空间直角坐标系中，在空间直角坐标系中，x轴上的点、轴上的点、y轴上的点、轴上的点、z轴轴上的点，上的点，xOy坐标平面内的点、坐标平面内的点、xOz坐标平面内的点、坐标平面内的点、yOz坐标平面内的点的坐标各具有什么特点？坐标平面内的点的坐标各具有什么特点？总结总结:x轴上的点的坐标的特点：轴上的点的坐标的特点：xOy坐标平面内的点的特点：坐标平面内的点的特点：xOz坐标平面内的点的特点：坐标平面内的点的特点：yOz坐标平面内的点的特点：坐标平面内的点的特点：y轴上的点的坐标的特点：轴上的点的坐标的特点：z轴上的点的坐标的特点：轴上的点的坐标的特点：（x x，0 0，）（，y y，）（，0 0，z z）（x x，y y，）（，y y，z z）（x x，0 0，z z）xyozxoy面面yoz面面zox面面(+,+,+)(-,-,+)(-,+,+)(+,-,+)(-,+,-)(+,+,-)(-,-,-)(+,-,-)再想一想再想一想?各个卦限中的点的符号是怎样的呢各个卦限中的点的符号是怎样的呢?总结总结(1)在上方卦限在上方卦限Z坐标为正坐标为正;(2)在下方卦限在下方卦限Z坐标为负坐标为负.例例2 2 结晶体的基本单位称为晶胞，下图是食盐晶结晶体的基本单位称为晶胞，下图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为的小正方体堆胞的示意图（可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体），其中色点代表钠原子，白点代积成的正方体），其中色点代表钠原子，白点代表氯原子表氯原子.如图建立直角坐标系如图建立直角坐标系OxyzOxyz，试写出全部，试写出全部钠原子所在位置的坐标钠原子所在位置的坐标.xyzO解解：把图中的钠原子分成上、中、下三层来写它们所在位置的坐标把图中的钠原子分成上、中、下三层来写它们所在位置的坐标 上层的原子所在的平面平行于平面，与轴交点的竖坐标为上层的原子所在的平面平行于平面，与轴交点的竖坐标为1，所以，这五个钠原子所在位置的坐标分别是，所以，这五个钠原子所在位置的坐标分别是:（0，0，1），（），（1，0，1），（），（1，1，1），（），（0，1，1），），（，1）2121 中层的原子所在的平面平行于平面，与轴交点的竖坐标为，中层的原子所在的平面平行于平面，与轴交点的竖坐标为，所以，这四个钠原子所在位置的坐标分别是所以，这四个钠原子所在位置的坐标分别是（，0，），（），（1，），（），（，1，），（），（0，）；）；2121212121212121 下层的原子全部在平面上，它们所下层的原子全部在平面上，它们所在位置的竖坐标全是在位置的竖坐标全是0，所以这五个钠，所以这五个钠原子所在位置的坐标分别是原子所在位置的坐标分别是(0，0，0)，（1，0，0）,（1，1，0）,（0，1，0）,2121（，0）.xzO长长a，宽，宽b，高，高c的长方体的对角线，怎么求？的长方体的对角线，怎么求？222cbadcbad在空间直角坐标系中点在空间直角坐标系中点O(0，0，0)到到点点P(x0，y0，z0)的距离，怎么求？的距离，怎么求？202020zyxd OPzyxdOPzyxdx0y0z0OPzyxxyz在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中,点点P(x，y，z)到到xOy平面的距离，怎么求？平面的距离，怎么求？ydxdzdxOzyOzxOy OPzyxdx0y0z0202020202020yxdzxdzydzyx 在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中,点点P(x0，y0，z0)到到坐标轴的距离，怎么求？坐标轴的距离，怎么求？zxyOP(x,y,z)222|zyxOPP(x,y,0)2222OPrxyzr如果是定长，那么表示什么图形？两点间距离公式两点间距离公式22121212|()()PPxxyy平面：类比类比猜想猜想22212121212|()()()PPxxyyzz空间：zxyOP2(x2,y2,z2)22122122121)()()(|zzyyxxPPNP1(x1,y1,z1)MH在空间直角坐标系中，点在空间直角坐标系中，点P(x1,y1,z1)和和点点Q(x2,y2,z2)的中点坐标的中点坐标(x,y,z):222212121zzzyyyxxx二、空间中点坐标公式：二、空间中点坐标公式：例例1:已知三角形的三个顶点已知三角形的三个顶点A(1,5,2)，B(2,3,4)，C(3,1,5)，求，求:(1)三角形三边的边三角形三边的边长；长；(2)BC边上中线边上中线AM的长。的长。解解:3423521222AB6541332222BC29521531222AC(2)解解:27029225251222 AM29,2,2529254221325232Mzyx设设M(x,y,z),M(x,y,z),则：则：解解:221MM,14)12()31()47(222 232MM,6)23()12()75(222 213MM,6)31()23()54(222 32MM,13MM 原结论成立原结论成立.例例2:求证以求证以 ,三点为顶点的三角形是一个等腰三角形三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.)1,3,4(1M)2,1,7(2M)3,2,5(3M设设P点坐标为点坐标为),0,0,(x 1PP 22232 x,112 x 2PP 22211 x,22 x 1PP,22PP112 x222 x,1 x所求点为所求点为).0,0,1(),0,0,1(例例3:设设P在在x轴上，它到轴上，它到 的距离为的距离为到点到点 的距离的两倍，求点的距离的两倍，求点P的坐标。的坐标。)3,2,0(1P)1,1,0(2 P解解:例例4:已知已知 ，在平面，在平面Oyz上是否存在一点上是否存在一点C，使，使 为等边三角为等边三角形，如果存在求形，如果存在求C坐标，不存在说明理由。坐标，不存在说明理由。)2,1,3(),23,3,3(BAABC解解:假设存在一点假设存在一点C(0,y,z)，满足条件：，满足条件：BCACAB2222222222103233032231333zyzy例例4:已知已知 ，在平面，在平面Oyz上是否存在一点上是否存在一点C，使，使 为等边三角为等边三角形，如果存在求形，如果存在求C坐标，不存在说明理由。坐标，不存在说明理由。)2,1,3(),23,3,3(BAABC 23,0,02,4,023024或或Czyzy所以存在一点所以存在一点C，满足条件，满足条件.练习练习