定积分的元素法PPT课件

第六章第六章 定积分应用定积分应用 上一章，已经系统地介绍了定积分的基本上一章，已经系统地介绍了定积分的基本理论和计算方法。在这一章中，将利用这些知理论和计算方法。在这一章中，将利用这些知识来分析解决一些实际问题。定积分的应用很识来分析解决一些实际问题。定积分的应用很广泛，在自然科学和生产实践中有许多实际问广泛，在自然科学和生产实践中有许多实际问题最后都归结为定积分问题。本章不仅对一些题最后都归结为定积分问题。本章不仅对一些几何物理量导出计算公式，更重要的是介绍运几何物理量导出计算公式，更重要的是介绍运用用“微元法微元法”将所求的量归结为计算某个定积将所求的量归结为计算某个定积分的分析方法。分的分析方法。重点重点微元法，面积，弧长，旋转体的体积，定微元法，面积，弧长，旋转体的体积，定积分在物理方面的应用，积分在物理方面的应用，微元法，参数方程确定的曲线所围的微元法，参数方程确定的曲线所围的面积，定积分在物理方面的应用。面积，定积分在物理方面的应用。基本要求基本要求正确理解和掌握微元法的基本思想，并正确理解和掌握微元法的基本思想，并会灵活运用它。会灵活运用它。会用直角坐标、极坐标、参数方程所给出会用直角坐标、极坐标、参数方程所给出的三种求积公式求出一些常见图形的面积。的三种求积公式求出一些常见图形的面积。会求旋转体的体积会求旋转体的体积 会求平面曲线的弧长会求平面曲线的弧长会用定积分解决物理方面的实际问题。会用定积分解决物理方面的实际问题。难点难点 通过对不均匀量（如曲边梯形的面积，通过对不均匀量（如曲边梯形的面积，变速直线运动的路程）的分析，采用变速直线运动的路程）的分析，采用“分分割、近似代替、求和、取极限割、近似代替、求和、取极限”四个基本四个基本步骤确定了它们的值，并由此抽象出定积步骤确定了它们的值，并由此抽象出定积分的概念，我们发现，定积分是确定众多分的概念，我们发现，定积分是确定众多的不均匀几何量和物理量的有效工具。那的不均匀几何量和物理量的有效工具。那么，究竟哪些量可以通过定积分来求值呢？么，究竟哪些量可以通过定积分来求值呢？我们先来回顾一下前章中讲过的方法和步我们先来回顾一下前章中讲过的方法和步骤是必要的骤是必要的。第一节第一节 定积分的微元法定积分的微元法求的步骤求的步骤分分 用分点用分点bxxxxann 110将将区间分成区间分成n个小区间个小区间11,iiiiixxxxx 粗粗把在小区间上的局部量把在小区间上的局部量iU 用某个函数用某个函数 f(x)在在),(1iiiixx 的值与的值与ix 之积代替之积代替iiixfU )(和和 把局部量的近似值累加得到总量把局部量的近似值累加得到总量的近似值的近似值即即 niiiniixfUU11)(设量非均匀地分布设量非均匀地分布 a,b 上上ixni max1 nibaiidxxfxfU10)()(lim 由此可知，若某个非均匀量在区间由此可知，若某个非均匀量在区间a,b上上满足两个条件：满足两个条件：（1）总量在区间上具有总量在区间上具有可加性可加性，即把区间，即把区间分成几个小区间时总量就等于各个小区间上分成几个小区间时总量就等于各个小区间上的局部量之和，的局部量之和，（2）局部量可用）局部量可用iixf )(近似表示近似表示它们之间只相差一个它们之间只相差一个ix 的的高阶无穷小高阶无穷小不均匀量就可以用定积分来求得不均匀量就可以用定积分来求得精精分析其实质，不难将四步简化为两步分析其实质，不难将四步简化为两步第一步第一步“分割取近似分割取近似”含含“分分”、“粗粗”两步即将区间分成子区间两步即将区间分成子区间在其上用均匀变化近似代替非均匀变化在其上用均匀变化近似代替非均匀变化求得局部量的近似值求得局部量的近似值iiixfU )(它对应着积分表达式中的被积式它对应着积分表达式中的被积式dxxf)(第二步第二步“求和取极限求和取极限”含含“和和”、“精精”两步两步:各局部量的近似各局部量的近似值相加并取极限得到总量的准确值值相加并取极限得到总量的准确值这是建立所求量的积分式的基本方法这是建立所求量的积分式的基本方法即对被积式作积分即对被积式作积分 badxxfU)(。求微元。求微元写出典型小区间写出典型小区间 ,badxxx 上的局部量上的局部量 U 的近似值的近似值dxxfdU)(这就是局部量的微元这就是局部量的微元。求积分。求积分即把微元即把微元 dU在区间在区间 a,b 上上 相当于把相当于把 dxxf)(作积分表达式作积分表达式求它在求它在 a,b 上的定积分上的定积分 即即 badxxfU)(这就是这就是微元法微元法 “无限积累无限积累”起来起来